《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第2節(jié) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)案 理 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第2節(jié) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)案 理 北師大版(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
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2、 1
第二節(jié) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示
[考綱傳真] (教師用書獨具)1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.
(對應(yīng)學(xué)生用書第71頁)
[基礎(chǔ)知識填充]
1.平面向量基本定理
(1)定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于
3、這一平面內(nèi)的任一向量a,存在唯一一對實數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)基底:不共線的向量e1,e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.
2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模
設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則
a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
λa=(λx1,λy1),|a|=.
(2)向量坐標(biāo)的求法
①若向量的起點是坐標(biāo)原點,則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).
②設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1),
||=.
3.平面向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè)a=(x1,
4、y1),b=(x2,y2),其中a≠0,b≠0.a,b共線?x1y2-x2y1=0.
[知識拓展]
1.若a與b不共線,λa+μb=0,則λ=μ=0.
2.設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),如果x2≠0,y2≠0,則a∥b?=.
[基本能力自測]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底.( )
(2)在△ABC中,設(shè)=a,=b,則向量a與b的夾角為∠ABC.( )
(3)若a,b不共線,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,則λ1=λ2,μ1=μ2.( )
(4)平面向量的基底不唯一,只要
5、基底確定后,平面內(nèi)的任何一個向量都可被這組基底唯一表示.( )
(5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件可表示成=.( )
(6)當(dāng)向量的起點在坐標(biāo)原點時,向量的坐標(biāo)就是向量終點的坐標(biāo).( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)√
2.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,3),那么|a+b|等于 ( )
A.5 B.
C. D.13
B [因為a+b=(2,-1)+(1,3)=(3,2),所以|a+b|==.]
3.設(shè)e1,e2是平面內(nèi)一組基底,若λ1e1+λ2e2=0,則λ1+λ2=________.
6、
0 [假設(shè)λ1≠0,由λ1e1+λ2e2=0,得e1=-e2,∴e1與e2共線,這與e1,e2是平面內(nèi)一組基底矛盾,故λ1=0,同理,λ2=0,∴λ1+λ2=0.]
4.(20xx·全國卷Ⅱ)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,則m=________.
-6 [∵a=(m,4),b=(3,-2),a∥b,
∴-2m-4×3=0,∴m=-6.]
5.(教材改編)已知?ABCD的頂點A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),則頂點D的坐標(biāo)為________.
(1,5) [設(shè)D(x,y),則由=,得(4,1)=(5-x,6-y),
即解得]
(對應(yīng)學(xué)生用
7、書第72頁)
平面向量基本定理及其應(yīng)用
(1)如圖4-2-1,在三角形ABC中,BE是邊AC的中線,O是BE邊的中點,若=a,=b,則=( )
圖4-2-1
A.a(chǎn)+b B.a(chǎn)+b
C.a(chǎn)+b D.a(chǎn)+b
(2)在平行四邊形ABCD中,E和F分別是邊CD和BC的中點,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,則λ+μ=________.
(1)D (2) [(1)∵在三角形ABC中,BE是AC邊上的中線,
∴=.
∵O是BE邊的中點,
∴=(+)=+=a+b.
(2)選擇,作為平面向量的一組基底,則=+,=+,=+,
又=λ+μ=+,
于是得解得
所以λ+μ
8、=.]
[規(guī)律方法] 平面向量基本定理應(yīng)用的實質(zhì)和一般思路
(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.
(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運(yùn)算來解決.
[跟蹤訓(xùn)練] 如圖4-2-2,以向量=a,=b為鄰邊作?OADB,=,=,用a,b表示,,.
圖4-2-2
[解] ∵=-=a-b,
==a-b,
∴=+=a+b.
∵=a+b,
∴=+=+
==a+b,
∴=-=a+b-a-b=a-b.
綜上,=a+b,=a+b,=a-b.
9、
平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).設(shè)=a,=b,=c,且=3c,=-2b,
(1)求3a+b-3c;
(2)求滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n;
(3)求M,N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo).
【導(dǎo)學(xué)號:79140151】
[解] 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)
=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
∴解得
(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點.∵=-=3c,
∴=3c+=(3
10、,24)+(-3,-4)=(0,20).
∴M(0,20).
又∵=-=-2b,
∴=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),
∴N(9,2),∴=(9,-18).
[規(guī)律方法] 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧
(1)利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解,若已知有向線段兩端點的坐標(biāo),則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).
(2)解題過程中,常利用“向量相等,則坐標(biāo)相同”這一結(jié)論,由此可列方程(組)進(jìn)行求解.
[跟蹤訓(xùn)練] (1)已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,則頂點D的坐標(biāo)為( )
A. B.
C.(3,2) D.(1,3)
11、
(2)在△ABC中,點P在BC上,且=2,點Q是AC的中點,若=(4,3),=(1,5),則=( )
A.(-2,7) B.(-6,21)
C.(2,-7) D.(6,-21)
(1)A (2)B [(1)設(shè)D(x,y),=(x,y-2),=(4,3),
又=2,∴∴故選A.
(2)∵=2,∴=3=3(+).∵Q是AC的中點,∴=2,又=+,∴=3[+2(+)]=(-6,21).]
平面向量共線的坐標(biāo)表示
已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)當(dāng)k為何值時,ka-b與a+2b共線;
(2)若=2a+3b,=a+mb,且A,B,C三點共線,求m的值.
12、
[解] (1)∵a=(1,0),b=(2,1),
∴ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),
a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2),
∵ka-b與a+2b共線,
∴2(k-2)-(-1)×5=0,
∴k=-.
(2)=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),
=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m).
∵A,B,C三點共線,
∴∥,
∴8m-3(2m+1)=0,
∴m=.
[規(guī)律方法] 1.向量共線的充要條件
(1)a∥b?a=λb(b≠0);
(2)a∥b?x1y2-x2y1=0(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)).當(dāng)涉及
13、向量或點的坐標(biāo)問題時一般利用(2)比較方便.
2.與向量共線有關(guān)的題型與解法
(1)證三點共線:可先證明相關(guān)的兩向量共線,再說明兩向量有公共點;
(2)已知向量共線,求參數(shù):可利用向量共線的充要條件列方程(組)求解.
[跟蹤訓(xùn)練] (1)(20xx·鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測)已知a=(2,m),b=(1,-2),若a∥(a+2b),則m的值是( )
A.-4 B.1
C.0 D.-2
(2)已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三點共線,則實數(shù)k的值是________.
【導(dǎo)學(xué)號:79140152】
(1)A (2)- [(1)a+2b=(4,m-4),由a∥(a+2b),得2(m-4)=4m,m=-4,故選A.
(2)=-=(4-k,-7),
=-=(-2k,-2).
∵A,B,C三點共線,
∴,共線,
∴-2×(4-k)=-7×(-2k),
解得k=-.]