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模塊綜合測評
(時間：120分鐘，滿分：160分)
一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填在題中的橫線上)
1．若空間三點(diǎn)A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共線，則p＋q＝________.
[解析] 易得＝(1，－1,3)，＝(p－1，－2，q＋4)．∵∥，∴＝＝，∴p＝3，q＝2，p＋q＝5.
[答案] 5
2．設(shè)命題p：|4x－3|≤1；命題q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若非p是非q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是________.
【導(dǎo)學(xué)號：71392224】
[解析] 先列出命題非p和非q：|4x－3|>1和x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)>0，分別解得非p：x>1或x<；非q：x>a＋1或x
1)．
[答案] x2－＝1(x>1)
11．在四面體OABC中，點(diǎn)M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點(diǎn)，若＝＋＋，則使G與M，N共線的x的值為________.
【導(dǎo)學(xué)號：71392227】
[解析] 若G，M，N共線，則存在實數(shù)λ使＝λ，
即－＝λ(－)，
∴＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)＋λ(＋)＝＋＋，
∴∴x＝1.
[答案] 1
12．動圓的圓心在拋物線y2＝8x上，且動圓恒與直線x＋2＝0相切，則動圓必過定點(diǎn)________．
[解析] 拋物線y2＝8x，p＝4，其準(zhǔn)線方程為x＝－2，焦點(diǎn)為F(2,0)，設(shè)動圓圓心為P，由已知點(diǎn)P到準(zhǔn)線x＋2＝0的距離為其半徑r，且點(diǎn)P在拋物線上，∴點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離也為r，
∴動圓必過定點(diǎn)F(2,0)．
[答案] (2,0)
13．如果橢圓＋＝1的弦被點(diǎn)(4,2)平分，則這條弦所在的直線方程是________．
[解析] 設(shè)弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入橢圓方程，得9x＋36y＝936,9x＋36y＝936 ，兩式相減，得9(x1＋x2)(x1－x2)＋36(y1＋y2)(y1－y2)＝0，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式＝4，＝2，所以k＝＝－，所以所求直線方程為y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.
[答案] x＋2y－8＝0
14．設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)P(－1,0)的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)，若FQ＝2，則直線的斜率等于________．
[解析] 設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，聯(lián)立消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系，xA＋xB＝－，于是xQ＝＝－1，把xQ帶入y＝k(x＋1)，得到y(tǒng)Q＝，根據(jù)FQ＝＝2，解得k＝1.
[答案] 1
二、解答題(本大題共6小題，共90分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15．(本小題滿分14分)已知命題p：方程－＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，命題q：雙曲線－＝1的離心率e∈(1,2)．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數(shù)m的取值范圍．
[解] 由方程－＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，得解得0＜m＜，
由雙曲線－＝1的離心率e∈(1,2)，
得解得0＜m＜15，
由“p或q”為真，“p且q”為假，知命題p、q必有一真一假，
①若p真q假，則解集為?.
②若p假q真，則∴≤m＜15.
綜上可知，所求實數(shù)m的取值范圍是.
16．(本小題滿分14分)在四棱錐VABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.
(1)證明：AB⊥平面VAD；
(2)求二面角AVDB的平面角的余弦值.
【導(dǎo)學(xué)號：71392228】
[解] 取AD的中點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，由題意知，VO⊥底面ABCD，則可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)AD＝2，則A(1,0,0)，D(－1，0,0)，B(1,2,0)，V(0,0，)．
(1)證明：易得＝(0,2,0)，＝(1,0，－)．
∵＝(0,2,0)(1,0，－)＝0，
∴⊥，即AB⊥VA.
又AB⊥AD，AD∩VA＝A，∴AB⊥平面VAD.
(2)易得＝(1,0，)．設(shè)E為DV的中點(diǎn)，連接EA，EB，則E，∴＝，＝.
∵＝(1,0，)＝0，
∴⊥，即EB⊥DV.
同理得EA⊥DV，∴∠AEB為所求二面角的平面角，
∴cos〈，〉＝＝.
故所求二面角的平面角的余弦值為.
17．(本小題滿分14分)橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，一條直線l經(jīng)過點(diǎn)F1與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．
(1)求△ABF2的周長；
(2)若l的傾斜角為，求△ABF2的面積．
[解] (1)由橢圓的定義，得AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a，又AF1＋BF1＝AB，
所以，△ABF2的周長＝AB＋AF2＋BF2＝4a.
又因為a2＝4，所以a＝2，故△ABF2的周長為8.
(2)由條件，得F1(－1,0)，因為AB的傾斜角為，所以AB的斜率為1，
故直線AB的方程為y＝x＋1.
由消去x，得7y2－6y－9＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得y1＝，y2＝，
所以S＝F1F2|y1－y2|＝2＝.
18．(本小題滿分16分)在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E為BB1的中點(diǎn)．
圖2
(1)證明：AC⊥D1E；
(2)求DE與平面AD1E所成角的正弦值．
[解] (1)證明：連接BD，∵ABCDA1B1C1D1是長方體，
∴D1D⊥平面ABCD, 又AC?平面ABCD，∴D1D⊥AC，
在長方形ABCD中，AB＝BC，∴BD⊥AC，又BD∩D1D＝D，
∴AC⊥平面BB1D1D, 而D1E?平面BB1D1D，∴AC⊥D1E.
(2)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，
則A(1,0,0)，D1(0,0,2)，E(1,1,1)，B(1,1,0)，＝(0,1,1)，＝(－1,0,2)，＝(1,1,1)．
設(shè)平面AD1E的法向量為n＝(x，y，z)，
則∴令z＝1，
則n＝(2，－1,1)，
cos〈n，〉＝＝＝，
所以DE與平面AD1E所成角的正弦值為.
19. (本小題滿分16分)如圖3，已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N分別是CC1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線A1B1上，且A1P＝λA1B1.
圖3
(1)證明：無論λ取何值，總有AM⊥PN；
(2)當(dāng)λ取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求該角取最大值時的正切值；
(3)是否存在點(diǎn)P，使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30？若存在，試確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請說明理由.
【導(dǎo)學(xué)號：71392229】
[解] 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(0，0,1)，B1(1,0,1)，
M，N.
∵＝λ＝λ(1,0,0)＝(λ，0,0)，∴P(λ，0,1)，
∴＝，＝.
(1)證明：∵＝，∴＝0＋－＝0，
∴⊥，∴無論λ取何值，總有AM⊥PN.
(2)∵m＝是平面ABC的一個法向量，
∴sin θ＝|cos〈m〉|＝＝，又θ∈，∴當(dāng)λ＝時，sin θ取得最大值，即θ取得最大值，此時sin θ＝，cos θ＝，∴tan θ＝2.
(3)假設(shè)存在點(diǎn)P滿足題意，設(shè)n＝(x，y，z)是平面PMN的法向量，由
得
令x＝3，得y＝1＋2λ，z＝2－2λ，
∴n＝(3,1＋2λ，2－2λ)，由(2)知平面ABC的一個法向量為m＝(0,0,1)，
∴|cos〈m，n〉|＝＝，化簡得4λ2＋10λ＋13＝0(*)，
∵Δ＝100－4413＝－108<0，
∴方程(*)無解，
∴不存在點(diǎn)P使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30.
20. (本小題滿分16分)如圖4，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)，圓O：x2＋y2＝b2，過橢圓C的上頂點(diǎn)A的直線l：y＝kx＋b分別交圓O，橢圓C于不同的兩點(diǎn)P，Q，設(shè)＝λ.
圖4
(1)若點(diǎn)P(－3,0)，點(diǎn)Q(－4，－1)，求橢圓C的方程；
(2)若λ＝3，求橢圓C的離心率e的取值范圍．
[解] (1)由P在圓O：x2＋y2＝b2上，得b＝3，
又點(diǎn)Q在橢圓C上，得＋＝1，解得a2＝18.
∴橢圓C的方程是＋＝1.
(2)由解得x＝0或xp＝－.
由解得x＝0或xQ＝－.
∵＝λ，λ＝3，
∴＝.
∴＝，即＝.
∴k2＝＝＝＝4e2－1.
∵k2＞0，
∴4e2－1＞0.
又0＜e＜1，
∴＜e＜1.
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