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限時檢測提速練(十九)　小題考法——函數的圖象與性質 1．(2018湖南一模)下列函數中，既是偶函數，又是在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞減的函數為(　　) A．y＝x3 B．y＝ln C．y＝2|x| D．y＝cos x 解析：選B　對于A，函數是奇函數，不滿足題意；對于B，∵ln ＝ln ，∴函數是偶函數，在區(qū)間(0，＋∞)上，y＝－ln x，y′＝－＜0，∴函數單調遞減，故滿足題意；對于C，∵2|－x|＝2x，∴函數是偶函數，在區(qū)間(0，＋∞)上，y＝2x，y′＝2xln 2＞0，∴函數單調遞增，故不滿足題意；對于D，函數是偶函數，在區(qū)間(0，＋∞)上，不是單調函數，故不滿足題意，故選B． 2．(2018棗莊一模)函數f(x)＝ln(|x|－1)＋x的大致圖象為(　　) 解析：選A　由題意，函數滿足|x|－1＞0，則x＞1或x＜－1, 當x＞1時，f(x)＝ln(x－1)＋x為單調遞增函數，當x＝－2時，f(－2)＝ln(|－2|－1)－2＝－2＜0，故選A． 3．(2018安徽江南十校聯(lián)考)f(x)是R上奇函數，對任意實數x都有f(x)＝－f，當x∈時，f(x)＝log2(2x－1)，則f(2 018)＋f(2 019)＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 解析：選A　∵f(x)＝－f， ∴f(x－3)＝－f＝f(x)， ∴f(x)是以3為周期的奇函數， ∴f(2 018)＋f(2 019)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＝－log2(2－1)＝0． 本題選擇A選項． 4．函數y＝的圖象大致為(　　) 解析：選A　當x>2時，2－x<0，ex>0，(x－1)2>0，∴y<0，此時函數的圖象在x軸的下方，排除B；當x<2且x≠1時，2－x>0，ex>0，(x－1)2>0，∴y>0，此時函數的圖象在x軸的上方，故選A． 5．(2018遼寧模擬)設函數f(x)＝－x2＋，則不等式f(2x－3)＜f(1)成立的x的取值范圍是(　　) A．(1,2) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) 解析：選B　f(x)為偶函數，且x≥0時，f(x)＝－x2＋單調遞減．由f(2x－3)＜f(1)得f(|2x－3|)＜f(1)，∴|2x－3|＞1，解得x＜1，或x＞2.∴x的取值范圍是(－∞，1)∪(2，＋∞)．故選B． 6．已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若對?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，則實數m的取值范圍是(　　) A． B． C． D． 解析：選D　對?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)?f(x1)min≥g(x2)min. 又f(x)min＝f(0)＝0，g(x)min＝g(2)＝－m，則0≥－m，解得m≥． 7．(2018江西、湖南十四校聯(lián)考)已知函數f(x)為偶函數，當x∈[－1，1]時，f(x)＝，且f(x＋1)為奇函數，則f＝(　　) A． B．－ C．－ D． 解析：選C　由函數f(x)為偶函數，則f(－x)＝f(x)，f(x＋1)為奇函數，則f(－x＋1)＝－f(x＋1)，據此有f(－x)＝f[－(x＋1)＋1]＝－f(x＋1＋1)＝f(x)，即f(x)＝－f(x＋2)，f(x＋2)＝－f(x＋4)，據此得f(x)是最小正周期為4的周期函數，則f＝f＝f＝f＝－f＝－. 本題選擇C選項． 8．(2018茂名聯(lián)考)已知函數f(x)＝＋，則(　　) A． 函數f(x)在區(qū)間(－1,3)上單調遞增 B． 函數f(x)在區(qū)間(－1,3)上單調遞減 C． 函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱 D． 函數f(x)的圖象關于點(1,0)對稱 解析：選C　因為f(x)＝＋， 所以f(2－x)＝＋＝＋， 因此有f(2－x)＝f(x)，所以函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，故選項C正確，D錯誤． 又f(0)＝0＋＝，f(1)＝＋＝，f(2)＝＋0＝， 則f(0)＜f(1)＞f(2)，函數f(x)在區(qū)間(－1,3)上不具有單調性，所以選項A，B錯誤. 本題選擇C選項． 9．(2018南充三模)已知函數f(x)在定義域(0，＋∞)上是單調函數，若對于任意x∈(0，＋∞)，都有f＝2，則f的值是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：選B　因為函數f(x)在定義域(0，＋∞)上是單調函數，且f＝2，所以f(x)－為一個常數，則f(x)＝＋n，令這個常數為n，則有f(x)－＝n，且f(n)＝2，將f(n)＝2代入上式可得f(n)＝＋n＝2，解得n＝1，所以f(x)＝1＋，所以f＝6，故選B． 10．(2018湖北聯(lián)考)我國古代太極圖是一種優(yōu)美的對稱圖．如果一個函數的圖象能夠將圓的面積和周長分成兩個相等的部分，我們稱這樣的函數為圓的“太極函數”．下列命題中錯誤命題的個數是(　　) P1：對于任意一個圓其對應的太極函數不唯一； P2：如果一個函數是兩個圓的太極函數，那么這兩個圓為同心圓； P3：圓(x－1)2＋(y－1)2＝4的一個太極函數為f(x)＝x3－3x2＋3x； P4：圓的太極函數均是中心對稱圖形； P5：奇函數都是太極函數； P6：偶函數不可能是太極函數． A．2 B．3 C．4 D．5 解析：選C　由定義可知過圓心O的任一直線都是圓O的太極函數，故P1正確；當兩圓的圓心在同一條直線上時，那么該直線表示的函數為太極函數，故P2錯誤；∵f(x)＝x3－3x2＋3x＝(x－1)3＋1，∴f(x)的圖象關于點(1,1)成中心對稱，又∵圓(x－1)2＋(y－1)2＝4關于點(1,1)成中心對稱，故f(x)＝x3－3x2＋3x可以為圓(x－1)2＋(y－1)2＝4的一個太極函數，故P3正確；太極函數的圖象一定過圓心，但不一定是中心對稱圖形，例如： 故P4錯誤；奇函數的圖象關于原點對稱，其圖象可以將任意以原點為圓心的圓面積及周長進行平分，故奇函數可以為太極函數，故P5錯誤；如圖所示， 偶函數可以是太極函數，故P6錯誤；則錯誤的命題有4個，故選C． 11．(2018綿陽三診)奇函數f(x)的圖象關于點(1,0)對稱，f(3)＝2，則f(1)＝________． 解析：由題設有f(－x)＝－f(x)，f(2－x)＋f(x)＝0，從而有f(x－2)＝f(x)，f(x)為周期函數且周期為2，所以f(1)＝f(3)＝2． 答案：2 12．(2018齊齊哈爾二模)若函數f(x)是偶函數，且當x≥0時，f(x)＝lg(x＋1), 則滿足f(2x＋1)＜1的實數x取值范圍是________． 解析：∵函數f(x)是偶函數，且x≥0時，f(x)＝lg(x＋1)， ∴x≥0時， f(x)單調遞增，∴x＜0時，f(x)單調遞減． 又f(9)＝lg(9＋1)＝1， ∴不等式f(2x＋1)＜1可化為f(2x＋1)＜f(9)， ∴|2x＋1|＜9，∴－9＜2x＋1＜9，解得－5＜x＜4， ∴實數x取值范圍是(－5,4)． 答案：(－5,4) 13．已知函數f(x)＝，下列關于函數f(x)的結論： ①y＝f(x)的值域為R； ②y＝f(x)在(0，＋∞)上單調遞減； ③y＝f(x)的圖象關于y軸對稱； ④y＝f(x)的圖象與直線y＝ax(a≠0)至少有一個交點． 其中正確結論的序號是________． 解析：函數f(x)＝＝其圖象如圖所示，由圖象可知f(x)的值域為(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①錯；f(x)在(0,1)和(1，＋∞)上單調遞減，而在(0，＋∞)上不是單調的，故②錯；f(x)的圖象關于y軸對稱，故③正確；由于f(x)在每個象限都有圖象，所以與過原點的直線y＝ax(a≠0)至少有一個交點，故④正確． 答案：③④ 14．(2018大同二模)已知函數f(x)＝(x＋2 012)(x＋2 014)(x＋2 016)(x＋2 018)，x∈R，則函數f(x)的最小值是________． 解析：設t＝x＋2 015，t∈R， 則f(x)＝(x＋2 012)(x＋2 014)(x＋2 016)(x＋2 018)，x∈R化為g(t)＝(t－3)(t－1)(t＋1)(t＋3)＝(t2－1)(t2－9)＝t4－10t2＋9＝(t2－5)2－16, 當t2＝5，g(t)有最小值－16，即x＝－2 015時，函數f(x)的最小值是－16，故答案為－16． 答案：－16 15．(2018襄陽模擬)若函數y＝f(x)對定義域D內的每一個x1，都存在唯一的x2∈D，使得f(x1)f(x2)＝1成立，則稱f(x)為“自倒函數”，給出下列命題： ①f(x)＝sin x＋是自倒函數； ②自倒函數f(x)可以是奇函數； ③自倒函數f(x)的值域可以是R； ④若y＝f(x)，y＝g(x)都是自倒函數且定義域相同，則y＝f(x)g(x)也是自倒函數． 則以上命題正確的是________．(寫出所有正確的命題的序號) 解析：因為f(x)＝sin x＋∈[－1，＋1]， 所以∈[－1，＋1]， 因此y＝f(x)滿足“自倒函數”定義； 因為奇函數f(x)＝滿足“自倒函數”定義，所以②對； 自倒函數f(x)不可以為零； 因為f(x)＝，g(x)＝－，都是自倒函數且定義域相同，但y＝f(x)g(x)＝－不是自倒函數(不唯一)，因此命題正確的是①②． 答案：①②