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習題課 變軌問題 雙星問題
[學習目標] 1.理解赤道物體、同步衛(wèi)星和近地衛(wèi)星的區(qū)別.2.會分析衛(wèi)星(或飛船)的變軌問題.3.掌握雙星的運動特點及其問題的分析方法．
一、“赤道上物體”“同步衛(wèi)星”和“近地衛(wèi)星”的比較
例1 如圖1所示，A為地面上的待發(fā)射衛(wèi)星，B為近地圓軌道衛(wèi)星，C為地球同步衛(wèi)星．三顆衛(wèi)星質(zhì)量相同，三顆衛(wèi)星的線速度大小分別為vA、vB、vC，角速度大小分別為ωA、ωB、ωC，周期分別為TA、TB、TC，向心加速度分別為aA、aB、aC，則( )
圖1
A．ωA＝ωC<ωB B．TA＝TC
aB
答案 A
解析 同步衛(wèi)星與地球自轉(zhuǎn)同步，故TA＝TC，ωA＝ωC，由v＝ωr及a＝ω2r得
vC>vA，aC>aA
同步衛(wèi)星和近地衛(wèi)星，根據(jù)＝m＝mω2r＝mr＝ma，知vB>vC，ωB>ωC，TBaC.
故可知vB>vC>vA，ωB>ωC＝ωA，TBaC>aA.選項A正確，B、C、D錯誤．
同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星、赤道上物體的比較
1．同步衛(wèi)星和近地衛(wèi)星：
相同點：都是萬有引力提供向心力
即都滿足＝m＝mω2r＝mr＝ma.
由上式比較各運動量的大小關系，即r越大，v、ω、a越小，T越大．
2．同步衛(wèi)星和赤道上物體
相同點：周期和角速度相同
不同點：向心力來源不同
對于同步衛(wèi)星有＝ma＝mω2r
對于赤道上物體，有＝mg＋mω2r，
因此要通過v＝ωr，a＝ω2r比較兩者的線速度和向心加速度的大?。?
針對訓練1 (多選)關于近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星、赤道上的物體，以下說法正確的是( )
A．都是萬有引力等于向心力
B．赤道上的物體和同步衛(wèi)星的周期、線速度、角速度都相等
C．赤道上的物體和近地衛(wèi)星的線速度、周期不同
D．同步衛(wèi)星的周期大于近地衛(wèi)星的周期
答案 CD
解析 赤道上的物體是由萬有引力的一個分力提供向心力，A項錯誤；赤道上的物體和同步衛(wèi)星有相同周期和角速度，但線速度不同，B項錯誤；同步衛(wèi)星和近地衛(wèi)星有相同的中心天體，根據(jù)＝m＝mr得v＝，T＝2π，由于r同>r近，故v同T近，D項正確；赤道上物體、近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星三者間的周期關系為T赤＝T同>T近，根據(jù)v＝ωr可知v赤T2，B項正確；
在Q點從軌道1到軌道2需要做離心運動，故需要加速．
所以在Q點v2Q>v1Q，C項錯誤；
在同一點P，由＝ma知，衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點的向心加速度等于它在軌道3上經(jīng)過P點的向心加速度，D項錯誤．
判斷衛(wèi)星變軌時速度、向心加速度變化情況的思路：
(1)判斷衛(wèi)星在不同圓軌道的運行速度大小時，可根據(jù)“越遠越慢”的規(guī)律判斷．
(2)判斷衛(wèi)星在同一橢圓軌道上不同點的速度大小時，可根據(jù)開普勒第二定律判斷，即離中心天體越遠，速度越小．
(3)判斷衛(wèi)星由圓軌道進入橢圓軌道或由橢圓軌道進入圓軌道時的速度大小如何變化時，可根據(jù)離心運動或近心運動的條件進行分析．
(4)判斷衛(wèi)星的向心加速度大小時，可根據(jù)a＝＝G判斷．
針對訓練2 (多選)如圖4所示，發(fā)射同步衛(wèi)星的一般程序是：先讓衛(wèi)星進入一個近地的圓軌道，然后在P點變軌，進入橢圓形轉(zhuǎn)移軌道(該橢圓軌道的近地點為近地圓軌道上的P點，遠地點為同步圓軌道上的Q點)，到達遠地點Q時再次變軌，進入同步軌道．設衛(wèi)星在近地圓軌道上運行的速率為v1，在橢圓形轉(zhuǎn)移軌道的近地點P點的速率為v2，沿轉(zhuǎn)移軌道剛到達遠地點Q時的速率為v3，在同步軌道上的速率為v4，三個軌道上運動的周期分別為T1、T2、T3, 則下列說法正確的是( )
圖4
A．在P點變軌時需要加速，Q點變軌時要減速
B．在P點變軌時需要減速，Q點變軌時要加速
C．T1＜T2＜T3
D．v2＞v1＞v4＞v3
答案 CD
解析 衛(wèi)星在橢圓形轉(zhuǎn)移軌道的近地點P時做離心運動，所受的萬有引力小于所需要的向心力，即G＜m，而在圓軌道時萬有引力等于向心力，即G＝m，所以v2＞v1；同理，由于衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道上Q點做離心運動，可知v3＜v4，故選項A、B錯誤；又由人造衛(wèi)星的線速度v＝可知v1＞v4，由以上所述可知選項D正確；由于軌道半徑(半長軸)r1＜r2＜r3，由開普勒第三定律＝k(k為常量)得T1＜T2＜T3，故選項C正確．
三、雙星問題
例3 兩個靠得很近的天體，離其他天體非常遙遠，它們以其連線上某一點O為圓心各自做勻速圓周運動，兩者的距離保持不變，科學家把這樣的兩個天體稱為“雙星”，如圖5所示．已知雙星的質(zhì)量分別為m1和m2，它們之間的距離為L，求雙星的運行軌道半徑r1和r2及運行周期T.
圖5
答案 r1＝ r2＝ T＝
解析 雙星間的引力提供了各自做圓周運動的向心力
對m1：＝m1r1ω2，
對m2：＝m2r2ω2，
且r1＋r2＝L，
解得r1＝，
r2＝.
由G＝m1r1及r1＝得
周期T＝.
1．雙星問題的特點
(1)兩星的運動軌道為同心圓，圓心是它們之間連線上的某一點．
(2)兩星的向心力大小相等，由它們間的萬有引力提供．
(3)兩星的運動周期、角速度相同．
(4)兩星的軌道半徑之和等于兩星之間的距離，即r1＋r2＝L.
2．雙星問題的處理方法：雙星間的萬有引力提供了它們做圓周運動的向心力，即＝m1ω2r1＝m2ω2r2.
針對訓練 3 如圖6所示，兩個星球A、B組成雙星系統(tǒng)，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動．已知A、B星球質(zhì)量分別為mA、mB，萬有引力常量為G，求(其中L為兩星中心距離，T為兩星的運動周期)．
圖6
答案
解析 設A、B兩個星球做圓周運動的半徑分別為rA、rB.則rA＋rB＝L，對星球A：G＝mArA，對星球B：G＝mBrB，聯(lián)立以上三式求得＝.
1．(“同步衛(wèi)星”與“赤道物體”及近地衛(wèi)星的比較)(多選)如圖7所示，同步衛(wèi)星與地心的距離為r，運行速率為v1，向心加速度為a1，地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a2，第一宇宙速度為v2，地球半徑為R，則下列比值正確的是( )
圖7
A.＝ B.＝()2 C.＝ D.＝
答案 AD
解析 地球同步衛(wèi)星：軌道半徑為r，運行速率為v1，向心加速度為a1；
地球赤道上的物體：軌道半徑為R，隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a2；
以第一宇宙速度運行的衛(wèi)星為近地衛(wèi)星，其軌道半徑為R.
對于衛(wèi)星，其共同特點是萬有引力提供向心力，則G＝m，故 ＝.
對于同步衛(wèi)星和地球赤道上的物體，其共同特點是角速度相等，則a＝ω2r，故 ＝.
2．(衛(wèi)星的變軌問題)(多選)肩負著“落月”和“勘察”重任的“嫦娥三號”沿地月轉(zhuǎn)移軌道直奔月球，如圖8所示，在距月球表面100 km的P點進行第一次制動后被月球捕獲，進入橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后，衛(wèi)星在P點又經(jīng)過第二次“剎車制動”，進入距月球表面100 km的圓形工作軌道Ⅱ，繞月球做勻速圓周運動，在經(jīng)過P點時會再一次“剎車制動”進入近月點距月球表面15公里的橢圓軌道Ⅲ，然后擇機在近月點下降進行軟著陸，則下列說法正確的是( )
圖8
A．“嫦娥三號”在軌道Ⅰ上運動的周期最長
B．“嫦娥三號”在軌道Ⅲ上運動的周期最長
C．“嫦娥三號”經(jīng)過P點時在軌道Ⅱ上運動的線速度最大
D．“嫦娥三號”經(jīng)過P點時，在三個軌道上的加速度相等
答案 AD
解析 由于“嫦娥三號”在軌道Ⅰ上運動的半長軸大于在軌道Ⅱ上運動的半徑，也大于軌道Ⅲ的半長軸，根據(jù)開普勒第三定律可知，“嫦娥三號”在各軌道上穩(wěn)定運行時的周期關系為TⅠ＞TⅡ＞TⅢ，故A正確，B錯誤；“嫦娥三號”在由高軌道降到低軌道時，都要在P點進行“剎車制動”，所以經(jīng)過P點時，在三個軌道上的線速度關系為vⅠ＞vⅡ＞vⅢ，所以C錯誤；由于“嫦娥三號”在P點時的加速度只與所受到的月球引力有關，故D正確．
3．(雙星問題)如圖9所示，兩顆星球組成的雙星，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的O點做周期相同的勻速圓周運動．現(xiàn)測得兩顆星之間的距離為L，質(zhì)量之比為m1∶m2＝3∶2，下列說法中正確的是( )
圖9
A．m1、m2做圓周運動的線速度之比為3∶2
B．m1、m2做圓周運動的角速度之比為3∶2
C．m1做圓周運動的半徑為L
D．m2做圓周運動的半徑為L
答案 C
解析 設雙星m1、m2距轉(zhuǎn)動中心O的距離分別為r1、r2，雙星繞O點轉(zhuǎn)動的角速度為ω，據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得
G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，又r1＋r2＝L，m1∶m2＝3∶2
所以可解得r1＝L，r2＝L
m1、m2運動的線速度分別為v1＝r1ω，v2＝r2ω，
故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3.
綜上所述，選項C正確．
一、選擇題
考點一 “同步衛(wèi)星”和“赤道物體”及近地衛(wèi)星的比較
1.如圖1所示，地球赤道上的山丘e、近地衛(wèi)星p和同步衛(wèi)星q均在赤道平面上繞地心做勻速圓周運動．設e、p、q的線速度大小分別為v1、v2、v3，向心加速度分別為a1、a2、a3，則( )
圖1
A．v1＞v2＞v3 B．v1＜v2＜v3
C．a(chǎn)1＞a2＞a3 D．a(chǎn)1＜a3＜a2
答案 D
解析 衛(wèi)星的速度v＝，可見衛(wèi)星距離地心越遠，即r越大，則線速度越小，所以v3＜v2.q是同步衛(wèi)星，其角速度ω與地球自轉(zhuǎn)角速度相同，所以其線速度v3＝ωr3＞v1＝ωr1，選項A、B均錯誤．由G＝ma，得a＝，同步衛(wèi)星q的軌道半徑大于近地衛(wèi)星p的軌道半徑，可知向心加速度a3＜a2.由于同步衛(wèi)星q的角速度ω與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同，即與地球赤道上的山丘e的角速度相同，但q的軌道半徑大于e的軌道半徑，根據(jù)a＝ω2r可知a1＜a3.根據(jù)以上分析可知，選項D正確，選項C錯誤．
2．設地球半徑為R，a為靜止在地球赤道上的一個物體，b為一顆近地繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星，c為地球的一顆同步衛(wèi)星，其軌道半徑為r.下列說法中正確的是( )
A．a(chǎn)與c的線速度大小之比為
B．a(chǎn)與c的線速度大小之比為
C．b與c的周期之比為
D．b與c的周期之比為
答案 D
解析 物體a與同步衛(wèi)星c角速度相等，由v＝rω可得，二者線速度大小之比為，選項A、B均錯誤；而b、c均為衛(wèi)星，由T＝2π可得，二者周期之比為，選項C錯誤，D正確．
3．(多選)我國發(fā)射的“北斗系列”衛(wèi)星中同步衛(wèi)星到地心距離為r，運行速率為v1，向心加速度為a1；在地球赤道上的觀測站的向心加速度為a2，近地衛(wèi)星做圓周運動的速率為v2，向心加速度為a3，地球的半徑為R，則下列比值正確的是( )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
答案 AB
解析 由于在地球赤道上的觀測站的運動和同步衛(wèi)星的運動具有相同的角速度，根據(jù)a＝rω2可知＝，A項正確，D項錯誤；再根據(jù)近地衛(wèi)星做圓周運動的向心加速度為a3，由萬有引力定律和牛頓第二定律F＝＝ma可知＝，由＝，＝知＝，因此B項正確，C項錯誤．
4．(多選)如圖2所示，a、b、c是在地球大氣層外圓形軌道上運行的3顆人造衛(wèi)星，下列說法正確的是( )
圖2
A．b、c的線速度大小相等，且大于a的線速度
B．a(chǎn)加速可能會追上b
C．c加速可追上同一軌道上的b，b減速可等到同一軌道上的c
D．a(chǎn)衛(wèi)星由于某種原因，軌道半徑緩慢減小，仍做勻速圓周運動，則其線速度將變大
答案 BD
解析 因為b、c在同一軌道上運行，故其線速度大小、加速度大小均相等．又由b、c軌道半徑大于a軌道半徑，由v＝可知，vb＝vc＜va，故選項A錯誤；當a加速后，會做離心運動，軌道會變成橢圓，若橢圓與b所在軌道相切(或相交)，且a、b同時來到切(或交)點時，a就追上了b，故選項B正確；當c加速時，c受的萬有引力F＜m，故它將偏離原軌道，做離心運動，當b減速時，b受的萬有引力F＞m，它將偏離原軌道，做向心運動，所以無論如何c也追不上b，b也等不到c，故選項C錯誤；對a衛(wèi)星，當它的軌道半徑緩慢減小時，由v＝可知，r減小時，v逐漸增大，故選項D正確．
考點二 衛(wèi)星的變軌問題
5．(多選)如圖3，航天飛機在完成太空任務后，在A點從圓形軌道Ⅰ進入橢圓軌道Ⅱ，B為軌道Ⅱ上的近地點，關于航天飛機的運動，下列說法中正確的有( )
圖3
A．在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的速度小于經(jīng)過B的速度
B．在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的速度小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過A的速度
C．在軌道Ⅱ上運動的周期小于在軌道Ⅰ上運動的周期
D．在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的加速度小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過A的加速度
答案 ABC
6．如圖4所示，我國發(fā)射“神舟十號”飛船時，先將飛船發(fā)送到一個橢圓軌道上，其近地點M距地面200 km，遠地點N距地面340 km.進入該軌道正常運行時，通過M、N點時的速率分別是v1和v2.當某次飛船通過N點時，地面指揮部發(fā)出指令，點燃飛船上的發(fā)動機，使飛船在短時間內(nèi)加速后進入離地面340 km的圓形軌道，開始繞地球做勻速圓周運動，這時飛船的速率為v3，比較飛船在M、N、P三點正常運行時(不包括點火加速階段)的速率大小和加速度大小，下列結(jié)論正確的是( )
圖4
A．v1＞v3＞v2，a1＞a3＞a2
B．v1＞v2＞v3，a1＞a2＝a3
C．v1＞v2＝v3，a1＞a2＞a3
D．v1＞v3＞v2，a1＞a2＝a3
答案 D
考點三 雙星問題
7．某雙星由質(zhì)量不等的星體S1和S2構(gòu)成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點C做勻速圓周運動．由天文觀察測得其運動周期為T，S1到C點的距離為r1，S1和S2之間的距離為r，已知引力常量為G，由此可求出S2的質(zhì)量為( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 設S1和S2的質(zhì)量分別為m1、m2，對于S1有
G＝m12r1，得m2＝.
【考點】雙星問題
【題點】雙星問題
8．兩個質(zhì)量不同的天體構(gòu)成雙星系統(tǒng)，它們以二者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，下列說法正確的是( )
A．質(zhì)量大的天體線速度較大
B．質(zhì)量小的天體角速度較大
C．兩個天體的向心力大小一定相等
D．兩個天體的向心加速度大小一定相等
答案 C
解析 雙星系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的，故它們的角速度相等，故B項錯誤；兩個星球間的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第三定律可知，兩個天體的向心力大小相等，而天體質(zhì)量不一定相等，故兩個天體的向心加速度大小不一定相等，故C項正確，D錯誤；根據(jù)牛頓第二定律，有：
G＝m1ω2r1＝m2ω2r2
其中：r1＋r2＝L
故r1＝L
r2＝L
故＝＝
故質(zhì)量大的天體線速度較小，故A錯誤．
【考點】雙星問題
【題點】雙星問題
9．冥王星與其附近的另一星體卡戎可視為雙星系統(tǒng)，質(zhì)量比約為7∶1，同時繞它們連線上某點O做勻速圓周運動，由此可知，冥王星繞O點運動的( )
A．軌道半徑約為卡戎的
B．角速度大小約為卡戎的
C．線速度大小約為卡戎的7倍
D．向心力大小約為卡戎的7倍
答案 A
解析 雙星系統(tǒng)內(nèi)的兩顆星運動的角速度相同，B錯誤．雙星的向心力為二者間的萬有引力，所以向心力大小相同，D錯誤．根據(jù)m1ω2r1＝m2ω2r2，得＝＝，A正確．根據(jù)v＝ωr，得＝＝，C錯誤．
【考點】雙星問題
【題點】雙星問題
10．(多選)宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以二者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，而不會因為萬有引力的作用而吸引到一起．如圖5所示，某雙星系統(tǒng)中A、B兩顆天體繞O點做勻速圓周運動，它們的軌道半徑之比rA∶rB＝1∶2，則兩顆天體的( )
圖5
A．質(zhì)量之比mA∶mB＝2∶1
B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶2
C．線速度大小之比vA∶vB＝1∶2
D．向心力大小之比FA∶FB＝2∶1
答案 AC
解析 雙星都繞O點做勻速圓周運動，由兩者之間的萬有引力提供向心力，角速度相等，設為ω.根據(jù)牛頓第二定律，對A星：G＝mAω2rA①
對B星：G＝mBω2rB②
聯(lián)立①②得mA∶mB＝rB∶rA＝2∶1.
根據(jù)雙星運行的條件有：角速度之比ωA∶ωB＝1∶1，由v＝ωr得線速度大小之比vA∶vB＝rA∶rB＝1∶2，向心力大小之比FA∶FB＝1∶1，選項A、C正確，B、D錯誤．
【考點】雙星問題
【題點】雙星問題
二、非選擇題
11．(變軌問題)中國自行研制、具有完全自主知識產(chǎn)權(quán)的“神舟號”飛船，目前已經(jīng)達到或優(yōu)于國際第三代載人飛船技術(shù)，其發(fā)射過程簡化如下：飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射，由長征運載火箭送入近地點為A、遠地點為B的橢圓軌道上，A點距地面的高度為h1，飛船飛行5圈后進行變軌，進入預定圓軌道，如圖6所示．設飛船在預定圓軌道上飛行n圈所用時間為t，若已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，求：
圖6
(1)飛船在B點經(jīng)橢圓軌道進入預定圓軌道時是加速還是減速？
(2)飛船經(jīng)過橢圓軌道近地點A時的加速度大小．
(3)橢圓軌道遠地點B距地面的高度h2.
答案 (1)加速 (2) (3)－R
解析 (2)在地球表面有mg＝①
根據(jù)牛頓第二定律有：G＝maA②
由①②式聯(lián)立解得，飛船經(jīng)過橢圓軌道近地點A時的加速度大小為aA＝.
(3)飛船在預定圓軌道上飛行時由萬有引力提供向心力，有G＝m(R＋h2)③
由題意可知，飛船在預定圓軌道上運行的周期為T＝④
由①③④式聯(lián)立解得h2＝－R.
12．(雙星問題)太陽系以外存在著許多恒星與行星組成的雙星系統(tǒng)，它們運行的原理可以理解為：質(zhì)量為M的恒星和質(zhì)量為m的行星(M＞m)在它們之間的萬有引力作用下有規(guī)律地運動著．如圖7所示，我們可認為行星在以某一定點C為中心、半徑為a的圓周上做勻速圓周運動(圖中沒有表示出恒星)．已知引力常量為G，恒星和行星的大小可忽略不計．
圖7
(1)試在圖中粗略畫出恒星運動的軌道和位置；
(2)試計算恒星與點C間的距離和恒星的運行速率．
答案 見解析
解析 (1)恒星運動的軌道和位置大致如圖．
(2)對行星m：F＝mω2a①
對恒星M：F′＝Mω2RM②
根據(jù)牛頓第三定律，F(xiàn)與F′大小相等
由①②得：RM＝a
對恒星M：＝G
代入數(shù)據(jù)得：v＝.
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