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古典概型 一、選擇題（本大題共12小題，共60分） 1. 為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是( ) A. 13 B. 12 C. 23 D. 56 （正確答案）C 解：從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，有C42=6種方法，紅色和紫色的花在同一花壇，有2種方法，紅色和紫色的花不在同一花壇，有4種方法，所以所求的概率為46=23． 另解：由列舉法可得，紅、黃、白、紫記為1，2，3，4， 即有(12,34)，(13,24)，(14,23)，(23,14)，(24,13)，(34,12)， 則P=46=23． 故選：C． 確定基本事件的個數(shù)，利用古典概型的概率公式，可得結論． 本題考查等可能事件的概率計算與分步計數(shù)原理的應用，考查學生的計算能力，比較基礎． 2. 小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1，2，3，4，5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是( ) A. 815 B. 18 C. 115 D. 130 （正確答案）C 解：從M，I，N中任取一個字母，再從1，2，3，4，5中任取一個數(shù)字，取法總數(shù)為： (M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)共15種． 其中只有一個是小敏的密碼前兩位． 由隨機事件發(fā)生的概率可得，小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是115． 故選：C． 列舉出從M，I，N中任取一個字母，再從1，2，3，4，5中任取一個數(shù)字的基本事件數(shù)，然后由隨機事件發(fā)生的概率得答案． 本題考查隨機事件發(fā)生的概率，關鍵是列舉基本事件總數(shù)時不重不漏，是基礎題． 3. 從甲、乙等5名學生中隨機選出2人，則甲被選中的概率為( ) A. 15 B. 25 C. 825 D. 925 （正確答案）B 解：從甲、乙等5名學生中隨機選出2人， 基本事件總數(shù)n=C52=10， 甲被選中包含的基本事件的個數(shù)m=C11C41=4， ∴甲被選中的概率p=mn=410=25． 故選：B． 從甲、乙等5名學生中隨機選出2人，先求出基本事件總數(shù)，再求出甲被選中包含的基本事件的個數(shù)，同此能求出甲被選中的概率． 本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用． 4. 擲一枚均勻的硬幣3次，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)恰好為兩次的概率為( ) A. 38 B. 14 C. 58 D. 12 （正確答案）A 解：擲一枚均勻的硬幣3次，共有8種不同的情形： 正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反， 其中滿足條件的有3種情形： 正正反，正反正，反正正， 故所求的概率為p=38． 故選：A． 擲一枚均勻的硬幣3次，利用列舉法求出共有8種不同的情形，再求出滿足出現(xiàn)正面向上的次數(shù)恰好為兩次的基本事件個數(shù)，由此能求出出現(xiàn)正面向上的次數(shù)恰好為兩次的概率． 本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用． 5. 口袋中有100個大小相同的紅球、白球、黑球，其中紅球45個，從口袋中摸出一個球，摸出白球的概率為0.23，則摸出黑球的概率為( ) A. 0.32 B. 0.45 C. 0.64 D. 0.67 （正確答案）A 解：∵口袋中有100個大小相同的紅球、白球、黑球，其中紅球45個， 從口袋中摸出一個球，摸出白球的概率為0.23， ∴口袋中有100-45-0.23100=32個黑球， ∴摸出黑球的概率為p=32100=0.32． 故選：A． 先求出口袋中有100-45-0.23100=32個黑球，由此能求出摸出黑球的概率． 本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用． 6. 連續(xù)兩次拋擲一枚骰子，記錄向上的點數(shù)，則向上的點數(shù)之差的絕對值為2的概率是( ) A. 19 B. 29 C. 49 D. 13 （正確答案）B 【分析】 本題主要考查古典概型下求概率的問題，屬于基礎題． 這個題目的基本事件空間是學生很熟悉的那36個基本事件，所以只需要從中找出符合要求的基本事件即可． 【解答】 解：連續(xù)兩次拋擲一枚骰子，記錄向上的點數(shù)， 基本事件總數(shù)n=66=36， 向上的點數(shù)之差的絕對值為2包含的基本事件有： (1,3)，(3,1)，(2,4)，(4,2)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)， 共有8個， ∴向上的點數(shù)之差的絕對值為2的概率： p=836=29． 故選B． 7. 盒中裝有形狀，大小完全相同的5個小球，其中紅色球3個，黃色球2個，若從中隨機取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率等于( ) A. 310 B. 25 C. 12 D. 35 （正確答案）D 解：盒中裝有形狀，大小完全相同的5個小球，其中紅色球3個，黃色球2個， 從中隨機取出2個球， 基本事件總數(shù)n=C52=10， 所取出的2個球顏色不同包含的基本事件個數(shù)m=C21C31=6， 所取出的2個球顏色不同的概率等于p=mn=610=35． 故選：D． 先求出基本事件總數(shù)n=C52=10，再求出所取出的2個球顏色不同包含的基本事件個數(shù)m=C21C31=6，由此能求出所取出的2個球顏色不同的概率． 本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用． 8. 我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是( ) A. 112 B. 114 C. 115 D. 118 （正確答案）C 【分析】 本題考查古典概型，利用列舉法先求出不超過30的所有素數(shù)，利用古典概型的概率公式進行計算即可． 【解答】 解：在不超過30的素數(shù)中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10個， 從中選2個不同的數(shù)有C102=45種， 和等于30的有(7,23)，(11,19)，(13,17)，共3種， 則對應的概率P=345=115， 故選C． 9. 七巧板是我們祖先的一項創(chuàng)造，被譽為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形(兩塊全等的小三角形、一塊中三角形和兩塊全等的大三角形)、一塊正方形和一塊平行四邊形組成的.如圖是一個用七巧板拼成的正方形中任取一點，則此點取自黑色部分的概率是( ) A. 316 B. 38 C. 14 D. 18 （正確答案）A 解：設AB=2，則BC=CD=DE=EF=1， ∴S△BCI=122222=14， S平行四邊形EFGH=2S△BCI=214=12， ∴所求的概率為 P=S△BCI+S平行四邊形EFGHS正方形ABCD=14+1222=316． 故選：A． 設邊長AB=2，求出△BCI和平行四邊形EFGH的面積，計算對應的面積比即可． 本題考查了幾何概型的概率計算問題，是基礎題． 10. 從分別標有1，2，…，9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是( ) A. 518 B. 49 C. 59 D. 79 （正確答案）C 解：從分別標有1，2，…，9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，共有C92=36種不同情況， 且這些情況是等可能發(fā)生的， 抽到在2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的情況有C51C41=20種， 故抽到在2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率P=2036=59， 故選：C． 計算出所有情況總數(shù)，及滿足條件的情況數(shù)，代入古典概型概率計算公式，可得答案． 本題考查的知識點是古典概型及其概率計算公式，難度不大，屬于基礎題． 11. 在{1,3，5}和{2,4}兩個集合中各取一個數(shù)組成一個兩位數(shù)，則這個數(shù)能被4整除的概率是( ) A. 13 B. 12 C. 16 D. 14 （正確答案）D 解：符合條件的所有兩位數(shù)為： 12，14，21，41，32，34，23，43，52，54，25，45共12個， 能被4整除的數(shù)為12，32，52共3個， 所求概率p=312=14． 故選：D． 利用列舉法求出符合條件的所有兩位數(shù)的個數(shù)和能被4整除的數(shù)的個數(shù)，由此能求出這個數(shù)能被4整除的概率． 本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用． 12. 將一枚骰子先后拋擲2次，則向上的點數(shù)之和是5的概率為( ) A. 136 B. 19 C. 736 D. 112 （正確答案）B 解：根據(jù)題意，記“向上的點數(shù)之和為5”為事件A， 先后拋擲骰子2次，每次有6種情況，共66=36個基本事件， 則事件A中含有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)共4個基本事件， ∴P(A)=436=19 故選B． 由分步計數(shù)原理，計算可得將一顆骰子先后拋擲2次，含有36個等可能基本事件，而通過列舉可得滿足“向上的點數(shù)之和為5”的基本事件，根據(jù)古典概型公式得到結果． 本題考查等可能事件的概率計算，解題的關鍵是用列舉法得到事件A包含的基本事件的數(shù)目． 二、填空題（本大題共4小題，共20分） 13. 從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機抽取兩個數(shù)，則取出的數(shù)中一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)的概率為______． （正確答案）23 解：從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機抽取兩個數(shù)， 基本事件總數(shù)n=C42=6， 取出的數(shù)中一個是奇數(shù)一個包含的基本事件個數(shù)m=C21C21=4， ∴取出的數(shù)中一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)的概率p=mn=46=23． 故答案為：23． 從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機抽取兩個數(shù)，先求出基本事件總數(shù)，再求出取出的數(shù)中一個是奇數(shù)一個包含的基本事件個數(shù)，由此能求出取出的數(shù)中一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)的概率． 本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用． 14. 將2本不同的數(shù)學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數(shù)學書相鄰的概率為______ ． （正確答案）23 解：2本不同的數(shù)學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，所有的基本事件有共有A33=6種結果， 其中2本數(shù)學書相鄰的有(數(shù)學1，數(shù)學2，語文)，(數(shù)學2，數(shù)學1，語文)，(語文，數(shù)學1，數(shù)學2)，(語文，數(shù)學2，數(shù)學1)共4個，故本數(shù)學書相鄰的概率P=46=23． 故答案為：23． 首先求出所有的基本事件的個數(shù)，再從中找到2本數(shù)學書相鄰的個數(shù)，最后根據(jù)概率公式計算即可． 本題考查了古典概型的概率公式的應用，關鍵是不重不漏的列出滿足條件的基本事件． 15. 從集合{1,2，3，4}中任取兩個不同的數(shù)，則這兩個數(shù)的和為3的倍數(shù)的槪率為______． （正確答案）13 解：從集合{1,2，3，4}中任取兩個不同的數(shù)， 基本事件總數(shù)n=C42=6， 這兩個數(shù)的和為3的倍數(shù)包含的基本事件有：(1,2)，(2,4)，共2個， ∴這兩個數(shù)的和為3的倍數(shù)的槪率p=26=13． 故答案為：13． 先求出基本事件總數(shù)n=C42=6，再利用列舉法求出這兩個數(shù)的和為3的倍數(shù)包含的基本事件個數(shù)，由此能求出這兩個數(shù)的和為3的倍數(shù)的槪率． 本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用． 16. 某人隨機播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，則甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是______． （正確答案）56 解：∵隨機播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首， ∴基本事件總數(shù)n=C42=6， 甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的對立事件是甲、乙2首歌曲都沒有被播放， ∴甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率： p=1-C22C42=56． 故答案為：56． 先求出基本事件總數(shù)n=C42=6，甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的對立事件是甲、乙2首歌曲都沒有被播放，由此能求出甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率． 本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用． 三、解答題（本大題共3小題，共40分） 17. 20名學生某次數(shù)學考試成績(單位：分)的頻率分布直方圖如圖： (Ⅰ)求頻率分布直方圖中a的值； (Ⅱ)分別求出成績落在[50,60)與[60,70)中的學生人數(shù)； (Ⅲ)從成績在[50,70)的學生任選2人，求此2人的成績都在[60,70)中的概率． （正確答案）解：(Ⅰ)根據(jù)直方圖知組距=10，由(2a+3a+6a+7a+2a)10=1，解得a=0.005． (Ⅱ)成績落在[50,60)中的學生人數(shù)為20.0051020=2， 成績落在[60,70)中的學生人數(shù)為30.0051020=3． (Ⅲ)記成績落在[50,60)中的2人為A，B，成績落在[60,70)中的3人為C，D，E，則成績在[50,70)的學生任選2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10個， 其中2人的成績都在[60,70)中的基本事件有CD，CE，DE共3個， 故所求概率為P=310． (Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖求出a的值； (Ⅱ)由圖可知，成績在[50,60)和[60,70)的頻率分別為0.1和0.15，用樣本容量20乘以對應的頻率，即得對應區(qū)間內的人數(shù)，從而求出所求． (Ⅲ)分別列出滿足[50,70)的基本事件，再找到在[60,70)的事件個數(shù)，根據(jù)古典概率公式計算即可． 本題考查頻率分布直方圖的應用以及古典概型的概率的應用，屬于中檔題． 18. 某保險的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該保險的投保人成為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下： 上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 設該險種一續(xù)保人一年內出險次數(shù)與相應概率如下： 一年內出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (Ⅰ)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率； (Ⅱ)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率； (Ⅲ)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值． （正確答案）解：(Ⅰ)∵某保險的基本保費為a(單位：元)， 上年度出險次數(shù)大于等于2時，續(xù)保人本年度的保費高于基本保費， ∴由該險種一續(xù)保人一年內出險次數(shù)與相應概率統(tǒng)計表得： 一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率： p1=1-0.30-0.15=0.55． (Ⅱ)設事件A表示“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，事件B表示“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”， 由題意P(A)=0.55，P(AB)=0.10+0.05=0.15， 由題意得若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費， 則其保費比基本保費高出60%的概率： p2=P(B|A)=P(AB)P(A)=0.150.55=311． (Ⅲ)由題意，續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為： 0.85a0.30+a0.15+1.25a0.2+1.5a0.20+1.75a0.1+2a0.05a=1.23， ∴續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23． (Ⅰ)上年度出險次數(shù)大于等于2時，續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，由此利用該險種一續(xù)保人一年內出險次數(shù)與相應概率統(tǒng)計表根據(jù)對立事件概率計算公式能求出一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率． (Ⅱ)設事件A表示“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，事件B表示“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，由題意求出P(A)，P(AB)，由此利用條件概率能求出若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，則其保費比基本保費高出60%的概率． (Ⅲ)由題意，能求出續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值． 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式、條件概率計算公式的合理運用． 19. 高中生在被問及“家，朋友聚集的地方，個人空間”三個場所中“感到最幸福的場所在哪里？”這個問題時，從中國某城市的高中生中，隨機抽取了55人，從美國某城市的高中生中隨機抽取了45人進行答題.中國高中生答題情況是：選擇家的占25、朋友聚集的地方占310、個人空間占310.美國高中生答題情況是：朋友聚集的地方占35、家占15、個人空間占15． (Ⅰ)請根據(jù)以上調查結果將下面22列聯(lián)表補充完整；并判斷能否有95%的把握認為“戀家(在家里感到最幸福)”與國別有關； 在家里最幸福 在其它場所幸福 合計 中國高中生 美國高中生 合計 (Ⅱ)從被調查的不“戀家”的美國學生中，用分層抽樣的方法選出4人接受進一步調查，再從4人中隨機抽取2人到中國交流學習，求2人中含有在“個人空間”感到幸福的學生的概率． 附：k2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d． P(k2≥k0) 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 10.828 （正確答案）解：(Ⅰ)由已知得， 在家里最幸福 在其它場所幸福 合計 中國高中生 22 33 55 美國高中生 9 36 45 合計 31 69 100 ∴K2=100(2236-933)231695545=1001133123≈4.628>3.841， ∴有95%的把握認為“戀家”與否與國別有關； (Ⅱ)用分層抽樣的方法抽出4人，其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人， 在“個人空間”感到幸福的有1人，分別設為a1，a2，a3，b； ∵Ω={(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,b)，(a2,a3)，(a2,b)，(a3,b)}，∴n=6； 設“含有在“個人空間”感到幸福的學生”為事件A， A={(a1,b)，(a2,b)，(a3,b)}，∴m=3； 則所求的概率為P(A)=mn=36=12． (Ⅰ)根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結論； (Ⅱ)根據(jù)分層抽樣原理，利用列舉法求出基本事件數(shù)，計算所求的概率值． 本題考查了獨立性檢驗的應用問題，也考查了列舉法求古典概型的概率問題，是基礎題．