2019-2020年高三數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)精析精練13 不等式的解法.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)精析精練13 不等式的解法 【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】 解不等式對(duì)學(xué)生的運(yùn)算化簡(jiǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化能力有較高的要求，隨著高考命題原則向能力立意的進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，對(duì)解不等式的考查將會(huì)更是熱點(diǎn)，解不等式需要注意下面幾個(gè)問(wèn)題： (1)熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)的解法. (2)掌握用序軸標(biāo)根法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法. (3)掌握無(wú)理不等式的三種類型的等價(jià)形式，指數(shù)和對(duì)數(shù)不等式的幾種基本類型的解法. (4)掌握含絕對(duì)值不等式的幾種基本類型的解法. (5)在解不等式的過(guò)程中，要充分運(yùn)用自己的分析能力，把原不等式等價(jià)地轉(zhuǎn)化為易解的不等式. (6)對(duì)于含字母的不等式，要能按照正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類討論. 【例題】 【例1】 解不等式： 解：原不等式可化為：＞0， 即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0. 當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式與(x－)(x－2)＞0同解. 若≥2，即0≤a＜1時(shí)，原不等式無(wú)解；若＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1時(shí)原不等式的解為(－∞，)∪(2，+∞). 當(dāng)a＜1時(shí)，若a＜0，解集為(，2)；若0＜a＜1，解集為(2，) 綜上所述： 當(dāng)a＞1時(shí)解集為(－∞，)∪(2，+∞)； 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集為(2，)； 當(dāng)a=0時(shí)，解集為； 當(dāng)a＜0時(shí)，解集為(，2). 【例2】 設(shè)不等式x2－2ax+a+2≤0的解集為M，如果M［1，4］，求實(shí)數(shù)a的取值 范圍. 解：M［1，4］有n種情況：其一是M=，此時(shí)Δ＜0；其二是M≠，此時(shí)Δ＞0，分三種情況計(jì)算a的取值范圍. 設(shè)f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2) (1)當(dāng)Δ＜0時(shí)，－1＜a＜2，M=［1，4］ (2)當(dāng)Δ=0時(shí)，a=－1或2.當(dāng)a=－1時(shí)M={－1}［1，4］；當(dāng)a=2時(shí)，m={2}［1，4］. (3)當(dāng)Δ＞0時(shí)，a＜－1或a＞2.設(shè)方程f(x)=0的兩根x1，x2，且x1＜x2，那么M=［x1，x2］，M［1，4］1≤x1＜x2≤4 即，解得：2＜a＜， ∴M［1，4］時(shí)，a的取值范圍是(－1，). 【例3】 解關(guān)于x的不等式：． 解：原不等式等價(jià)于 ①，即. 由于，所以，所以，上述不等式等價(jià)于 ② 解答這個(gè)含參數(shù)的不等式組，必然需要分類討論，此時(shí)，分類的標(biāo)準(zhǔn)的確定就成了解答的關(guān)鍵．如何確定這一標(biāo)準(zhǔn)？ （1）當(dāng)時(shí)，不等式組②等價(jià)于 此時(shí)，由于，所以 ． 從而 ． （2）當(dāng)時(shí)，不等式組②等價(jià)于 所以 ． （3）當(dāng)時(shí)，不等式組②等價(jià)于 此時(shí)，由于，所以，． 綜上可知： 當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為； 當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為； 當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為． 【例4】 解關(guān)于的不等式： 解：原不等式等價(jià)于 ，∴當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為 當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為 【例5】 設(shè)函數(shù)， （1）當(dāng)時(shí)，解不等式； （2）求的取值范圍，使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)． 講解：（1）時(shí)，可化為：，等價(jià)于： ① 或 ② 解①得 ，解②得 ． 所以，原不等式的解集為 ． （2）任取，且，則 要使函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)，需且只需： 恒成立，（或恒成立）． 因此，只要求出在條件“，且”之下的最大、最小值即可．為了探求這個(gè)代數(shù)式的最值，我們可以考慮極端情況，如：，容易知道，此時(shí)；若考慮，則不難看出，此時(shí)，至此我們可以看出：要使得函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，只需． 事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，由于恒成立，所以，．所以，在條件“，且”之下，必有：． 所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減． 當(dāng)時(shí)，由（1）可以看出：特例的情況下，存在．由此可以猜想：函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)．為了說(shuō)明這一點(diǎn)，只需找到，使得即可．簡(jiǎn)便起見，不妨取，此時(shí)，可求得，也即：，所以，在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)． 另解：，對(duì)，易知： 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 所以當(dāng)時(shí)，， 從而只須，必有，函數(shù)在上單調(diào)遞減。 【例6】 已知f(x)是定義在［－1，1］上的奇函數(shù)，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］， m+n≠0時(shí)＞0. (1)用定義證明f(x)在［－1，1］上是增函數(shù)； (2)解不等式：f(x+)＜f()； (3)若f(x)≤t2－2at+1對(duì)所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 解：(1)證明：任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］， 則f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=(x1－x2) ∵－1≤x1＜x2≤1， ∴x1+(－x2)≠0，由已知＞0，又 x1－x2＜0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在［－1，1］上為增函數(shù). (2)解：∵f(x)在［－1，1］上為增函數(shù)， ∴ 解得：{x|－≤x＜－1，x∈R} (3)解：由(1)可知f(x)在［－1，1］上為增函數(shù)，且f(1)=1， 故對(duì)x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1， 所以要f(x)≤t2－2at+1對(duì)所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立， 即要t2－2at+1≥1成立，故t2－2at≥0， 記g(a)=t2－2at，對(duì)a∈［－1，1］，g(a)≥0， 只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0， g(－1)≥0，g(1)≥0，解得，t≤－2或t=0或t≥2. ∴t的取值范圍是：{t|t≤－2或t=0或t≥2}. 【例7】 給出一個(gè)不等式（x∈R）。 經(jīng)驗(yàn)證：當(dāng)c=1, 2, 3時(shí)，對(duì)于x取一切實(shí)數(shù)，不等式都成立。 試問(wèn)：當(dāng)c取任何正數(shù)時(shí)，不等式對(duì)任何實(shí)數(shù)x是否都成立？若能成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)求出c的取值范圍，使不等式對(duì)任何實(shí)數(shù)x都能成立。 解：令f(x)=，設(shè)u=(u≥) 則f(x)= (u≥) ∴f(x) 要使不等式成立，即f(x)－≥0 ∵u≥>0 ∴只須u－1≥0 ∴u2c≥1 u2≥ ∴x2+c≥ ∴x2≥－c 故當(dāng)c=時(shí)， 原不等式不是對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，即原不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x不都成立 要使原不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，即使x2≥－c對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立。 ∵x2≥0 故－c≤0 ∴c≥1(c>0) ∴c≥1時(shí)，原不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都能成立。 【不等式的解法練習(xí)1】 1．不等式的解集是 （ D ） （A）{} （B）{} （C）{} （D）{} 2．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則 的取值范圍是（ B ） （A） （B）（1，2） （C） （D）（0，1） 3．不等式成立的一個(gè)充分但不必要條件是 （ B ） （A） （B） （C） （D） 4．三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是 （ B ） （A） （B） （C） （D） 5．若全集是( B ) A． B． C． D． 6．下列命題中，正確的是( C ) A．若 B．若 C．若 D．若 7．若是任意實(shí)數(shù)，且，則( D ) A． B． C． D． 8．設(shè)，則下列四數(shù)中最大的是( A ) A． B． C． D． 9．不等式恒成立，則的取值范圍為( D ) A． B．C． D． 10．不等式的解集是( B ) A． B． C． D． 11．當(dāng) 成立的充要條件是( C ) A． B． C． D． 12．已知，那么的最小值是( B ) A．6 B． C． D． 13．不等式組的解集是( D ) A． B． C． D． 14．不等式的解集是( C ) A． B． C． D． 15．的大小順序是 16．若，則的取值范圍是 。 17．不等式的解集是 18．關(guān)于的不等式的解集是空集，那么的取值區(qū)間是 [0，4] 19. 解不等式： 解：∵ a+a=(a2+)ax，變形原不等式，得 a (1) 當(dāng)0 < a < 1時(shí)，a，則a2 < ax < a-2，∵-2 < x < 2 (2) 當(dāng)a>1時(shí)，a，則a-2 < ax < a2，∴-2下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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