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專題04 數(shù)列問(wèn)題 1．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理科）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中的條件可得， 整理解得，所以，故選B． 【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，在解題的過(guò)程中，需要利用題中的條件，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到與的關(guān)系，從而求得結(jié)果. 2．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理科）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則_________． 【答案】 【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的求和問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，需要先利用題中的條件，類比著往后寫一個(gè)式子，之后兩式相減，得到相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，從而確定出該數(shù)列是等比數(shù)列，之后令，求得數(shù)列的首項(xiàng)，最后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求解即可，只要明確對(duì)既有項(xiàng)又有和的式子的變形方向即可得結(jié)果. 3．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ理科）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，． （1）求的通項(xiàng)公式； （2）求，并求的最小值． 【解析】（1）設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15． 由a1=–7得d=2． 所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n–9． （2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16． 所以當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為–16． 【名師點(diǎn)睛】數(shù)列是特殊的函數(shù)，研究數(shù)列最值問(wèn)題，可利用函數(shù)性質(zhì)，但要注意其定義域?yàn)檎麛?shù)集這一限制條件.（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式得結(jié)果；（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得關(guān)于n的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸以及自變量為正整數(shù)求函數(shù)最值. 4．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理科）等比數(shù)列中，． （1）求的通項(xiàng)公式； （2）記為的前項(xiàng)和．若，求． 【解析】（1）設(shè)的公比為，由題設(shè)得. 由已知得，解得（舍去），或. 故或. （2）若，則.由得，此方程沒(méi)有正整數(shù)解. 若，則.由得，解得. 綜上，. 1．等差數(shù)列、等比數(shù)列一直是高考的熱點(diǎn)，尤其是等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)、前n項(xiàng)和等為考查的重點(diǎn)，有時(shí)會(huì)將等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和及性質(zhì)綜合進(jìn)行考查. 2．在高考中常出兩道客觀題或一道解答題，若是以客觀題的形式出現(xiàn)，一般一道考查數(shù)列的定義、性質(zhì)或求和的簡(jiǎn)單題，另一道則是結(jié)合其他知識(shí)，考查遞推數(shù)列等的中等難度的題.若在解答題中出現(xiàn)，則一般結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列考查數(shù)列的通項(xiàng)，前n項(xiàng)和等知識(shí)，難度中等. 指點(diǎn)1：等差數(shù)列及其前項(xiàng)和 1．求解等差數(shù)列通項(xiàng)公式的方法主要有兩種：（1）定義法.（2）前項(xiàng)和法，即根據(jù)前項(xiàng)和與的關(guān)系求解. 2．等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用方法： 根據(jù)不同的已知條件選用不同的求和公式，若已知首項(xiàng)和公差，則使用；若已知通項(xiàng)公式，則使用，同時(shí)注意與性質(zhì)“”的結(jié)合使用. 【例1】已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足. （1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【解析】（1）依題意，，即，所以，則， 故. 因?yàn)?，所以①? 當(dāng)時(shí)，②， ①②得，即. 當(dāng)時(shí)，滿足上式. ∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為. （2）由（1）知，，， 記數(shù)列的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為， 則， ， 故數(shù)列的前項(xiàng)和為. 指點(diǎn)2：等比數(shù)列及其前項(xiàng)和 1．求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，一般先求出首項(xiàng)與公比，再利用求解．但在某些情況下，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式的變形可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程． 2．當(dāng)時(shí)，若已知，則用求解較方便；若已知，則用求解較方便. 【例2】已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 指點(diǎn)3：數(shù)列的綜合應(yīng)用 1．解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題時(shí)，若同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列，部分項(xiàng)成等比數(shù)列，則要把成等差數(shù)列和成等比數(shù)列的項(xiàng)分別抽出來(lái)，研究這些項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系；若兩個(gè)數(shù)列是通過(guò)運(yùn)算綜合在一起的，則要把兩個(gè)數(shù)列分開(kāi)求解. 2．?dāng)?shù)列常與函數(shù)、不等式結(jié)合起來(lái)考查，其中數(shù)列與不等式的結(jié)合是考查的熱點(diǎn)，注意知識(shí)之間的靈活運(yùn)用. 【例3】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，． （1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若，且，求． （2）因?yàn)?，所以，解得或? 又，所以，因?yàn)?，所以，即? 所以． 【例4】已知公差大于零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)的值． （3）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的均成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，所以， 又，所以，是方程的兩個(gè)根， 由解得，， 設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，所以， 所以，，所以，解得， 所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為． （2）由（1）知，，所以， 所以，，， 因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，即， 即，解得（舍去）， 當(dāng)時(shí)，，易知數(shù)列是等差數(shù)列，滿足題意． 故非零常數(shù)的值為． （3）由題可得， 利用裂項(xiàng)相消法可得，故， 所以存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的均成立， 所以的最小值為． 1．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則 A．18 B．27 C．36 D．45 【答案】B 【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得， 而，所以，所以，故選B． 2．已知等比數(shù)列中，，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則 A．36 B．28 C．45 D．32 【答案】B 【解析】由題可得：，所以，故，所以是以公差為1的等差數(shù)列，故，故選B． 3．中國(guó)人在很早就開(kāi)始研究數(shù)列，中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》、《算法統(tǒng)宗》中都有大量古人研究數(shù)列的記載.現(xiàn)有數(shù)列題目如下：數(shù)列的前項(xiàng)和，，等比數(shù)列滿足， ，則 A．4 B．5 C．9 D．16 【答案】C 4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，. （1）求的通項(xiàng)公式； （2）若，求的前項(xiàng)和. 【解析】（1）①，當(dāng)時(shí)，②. ①-②得，，， 所以. 當(dāng)時(shí)，，得，則. 所以是從第二項(xiàng)起，以2為公比的等比數(shù)列. 則，. 所以. （2）易知. ③， ④， ③-④得 . 所以. 5．已知數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，且，，. （1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：. 【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，數(shù)列的公差為， 由題意得，，解得， 所以. （2）因?yàn)椋? 所以 ， 因?yàn)?，所以? 又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增， 所以當(dāng)時(shí)，取最小值， 所以.