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計(jì)數(shù)原理 一、選擇題（本大題共12小題，共60分） 1. 如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 9 （正確答案）B 解：從E到F，每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段， 從E到F最短的走法，無(wú)論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同， 每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有C42C22=6種走法． 同理從F到G，最短的走法，有C31C22=3種走法． ∴小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為63=18種走法． 故選：B． 從E到F最短的走法，無(wú)論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，由組合數(shù)可得最短的走法，同理從F到G，最短的走法，有C31=3種走法，利用乘法原理可得結(jié)論． 本題考查排列組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用，得出組成矩形的條件和最短走法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題 2. 某企業(yè)有4個(gè)分廠(chǎng)，新培訓(xùn)了一批6名技術(shù)人員，將這6名技術(shù)人員分配到各分廠(chǎng)，要求每個(gè)分廠(chǎng)至少1人，則不同的分配方案種數(shù)為( ) A. 1080 B. 480 C. 1560 D. 300 （正確答案）C 解：先把6名技術(shù)人員分成4組，每組至少一人． 若4個(gè)組的人數(shù)按3、1、1、1分配，則不同的分配方案有C63=20種不同的方法． 若4個(gè)組的人數(shù)為2、2、1、1，則不同的分配方案有C62C422!?C212!=45種不同的方法． 故所有的分組方法共有20+45=65種． 再把4個(gè)組的人分給4個(gè)分廠(chǎng)，不同的方法有65A44=1560種， 故選：C． 先把6名技術(shù)人員分成4組，每組至少一人，再把這4個(gè)組的人分給4個(gè)分廠(chǎng)，利用乘法原理，即可得出結(jié)論． 本題考查組合知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確分組是關(guān)鍵． 3. 如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫(huà)，現(xiàn)要求在其余四個(gè)區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇.要求每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為( ) A. 84 B. 72 C. 64 D. 56 （正確答案）A 解：分兩種情況： (1)A、C不同色(注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的2中顏色中任意取一色)：有4322=48種； (2)A、C同色(注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的3中顏色中任意取一色)：有4313=36種． 共有84種， 故選：A 每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，然后分類(lèi)研究，A、C不同色；A、C同色兩大類(lèi) 本題考查了區(qū)域涂色、種植花草作物是一類(lèi)題目.分類(lèi)要全要細(xì)． 4. 用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為( ) A. 8 B. 24 C. 48 D. 120 （正確答案）C 解：由題意知本題需要分步計(jì)數(shù)， 2和4排在末位時(shí)，共有A21=2種排法， 其余三位數(shù)從余下的四個(gè)數(shù)中任取三個(gè)有A43=432=24種排法， 根據(jù)由分步計(jì)數(shù)原理得到符合題意的偶數(shù)共有224=48(個(gè))． 故選C． 本題需要分步計(jì)數(shù)，首先選擇2和4排在末位時(shí)，共有A21種結(jié)果，再?gòu)挠嘞碌钠溆嗳粩?shù)從余下的四個(gè)數(shù)中任取三個(gè)有A43種結(jié)果，根據(jù)由分步計(jì)數(shù)原理得到符合題意的偶數(shù)． 本題考查分步計(jì)數(shù)原理，是一個(gè)數(shù)字問(wèn)題，這種問(wèn)題是最典型的排列組合問(wèn)題，經(jīng)常出現(xiàn)限制條件，并且限制條件變化多樣，是一個(gè)易錯(cuò)題． 5. 6把椅子排成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為( ) A. 144 B. 120 C. 72 D. 24 （正確答案）D 解：使用“插空法“.第一步，三個(gè)人先坐成一排，有A33種，即全排，6種；第二步，由于三個(gè)人必須隔開(kāi)，因此必須先在1號(hào)位置與2號(hào)位置之間擺放一張凳子，2號(hào)位置與3號(hào)位置之間擺放一張凳子，剩余一張凳子可以選擇三個(gè)人的左右共4個(gè)空擋，隨便擺放即可，即有C41種辦法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，64=24． 故選：D． 使用“插空法“.第一步，三個(gè)人先坐成一排，有A33種，即全排，6種；第二步，由于三個(gè)人必須隔開(kāi)，因此必須先在1號(hào)位置與2號(hào)位置之間擺放一張凳子，2號(hào)位置與3號(hào)位置之間擺放一張凳子，剩余一張凳子可以選擇三個(gè)人的左右共4個(gè)空擋，隨便擺放即可，即有C41種辦法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得結(jié)論． 本題考查排列知識(shí)的運(yùn)用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是關(guān)鍵． 6. 將4個(gè)紅球與2個(gè)藍(lán)球(這些球只有顏色不同，其他完全相同)放入一個(gè)33的格子狀木柜里(如圖所示)，每個(gè)格至多放一個(gè)球，則“所有紅球均不位于相鄰格子”的放法共有( )種． 7. A. 30 B. 36 C. 60 D. 72 （正確答案）C 解：第一類(lèi)，當(dāng)4個(gè)紅球在4個(gè)頂角的位置時(shí)，藍(lán)球放在剩下5個(gè)格種任選兩個(gè)，故有C52=10種，如圖 第二類(lèi)，當(dāng)有一個(gè)紅球再最中間時(shí)，其它三個(gè)紅球只能放在頂角位置，有出C43=4種，藍(lán)球放在剩下5個(gè)格種任選兩個(gè)，C43C52=40種，如圖 第三類(lèi)，當(dāng)4個(gè)紅球放在每外圍三個(gè)格的中間時(shí)，藍(lán)球在剩下5個(gè)格種任選兩個(gè)有C52=10種，如圖 根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，故有10+40+10=60． 故選：C． 對(duì)紅球的位置分類(lèi)討論：第一類(lèi)，當(dāng)4個(gè)紅球在4個(gè)頂角的位置時(shí)，藍(lán)球放在剩下5個(gè)格種任選兩個(gè)；第二類(lèi)，當(dāng)有一個(gè)紅球再最中間時(shí)，其它三個(gè)紅球只能放在頂角位置，藍(lán)球放在剩下5個(gè)格種任選兩個(gè)；第三類(lèi)，當(dāng)4個(gè)紅球放在每外圍三個(gè)格的中間時(shí)，藍(lán)球放在剩下5個(gè)格種任選兩個(gè)，即可得出． 本題主要考查了分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，關(guān)鍵是如何分類(lèi)，屬于中檔題． 8. 4名學(xué)生參加3項(xiàng)不同的競(jìng)賽，每名學(xué)生必須參加其中的一項(xiàng)競(jìng)賽，有( )種不同的結(jié)果． A. 34 B. A43 C. C43 D. 43 （正確答案）A 解：由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問(wèn)題， 首先第一名學(xué)生從三種不同的競(jìng)賽中選有三種不同的結(jié)果， 第二名學(xué)生從三種不同的競(jìng)賽中選有3種結(jié)果， 同理第三個(gè)和第四個(gè)同學(xué)從三種競(jìng)賽中選都有3種結(jié)果， ∴根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到共有3333=34 故選A． 本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問(wèn)題，首先第一名學(xué)生從三種不同的競(jìng)賽中選有三種不同的結(jié)果，第二名學(xué)生從三種不同的競(jìng)賽中選有3種結(jié)果，同理第三個(gè)和第四個(gè)同學(xué)從三種競(jìng)賽中選都有3種結(jié)果，相乘得到結(jié)果數(shù)． 解答此題，先考慮學(xué)生問(wèn)題還是競(jìng)賽問(wèn)題才能很好地完成這件事，易把兩問(wèn)結(jié)果混淆；另外，每位學(xué)生選定競(jìng)賽或每項(xiàng)競(jìng)賽選定學(xué)生這一做法對(duì)完成整個(gè)事件的影響理解錯(cuò)誤導(dǎo)致原理弄錯(cuò)，其原因是對(duì)題意理解不清，對(duì)事情完成的方式有錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)． 9. 某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的6個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了3個(gè)新節(jié)目，如果將這3個(gè)節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為( ) A. 504 B. 210 C. 336 D. 120 （正確答案）A 解：∵由題意知將這3個(gè)節(jié)目插入節(jié)目單中，原來(lái)的節(jié)目順序不變， ∴三個(gè)新節(jié)目一個(gè)一個(gè)插入節(jié)目單中， 原來(lái)的6個(gè)節(jié)目形成7個(gè)空，在這7個(gè)位置上插入第一個(gè)節(jié)目，共有7種結(jié)果， 原來(lái)的6個(gè)和剛插入的一個(gè)，形成8個(gè)空，有8種結(jié)果，同理最后一個(gè)節(jié)目有9種結(jié)果 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到共有插法種數(shù)為789=504， 故選A． 由題意知將這3個(gè)節(jié)目插入節(jié)目單中，原來(lái)的節(jié)目順序不變，三個(gè)新節(jié)目一個(gè)一個(gè)插入節(jié)目單中，原來(lái)的6個(gè)節(jié)目形成7個(gè)空，在這7個(gè)位置上插入第一個(gè)節(jié)目，共有7種結(jié)果；用同樣的方法插入第二個(gè)和第三個(gè)節(jié)目，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果． 本題考查分步計(jì)數(shù)原理，是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，解題時(shí)注意題目條件中對(duì)于原來(lái)6個(gè)節(jié)目的順序要求不變，所以采用插入法． 10. 從5名學(xué)生中選出4名分別參加A，B，C，D四科競(jìng)賽，其中甲不能參加A，B兩科競(jìng)賽，則不同的參賽方案種數(shù)為( ) A. 24 B. 48 C. 72 D. 120 （正確答案）C 解：∵從5名學(xué)生中選出4名分別參加A，B，C，D四科競(jìng)賽，其中甲不能參加A，B兩科競(jìng)賽， ∴可分為以下幾步： (1)先從5人中選出4人，分為兩種情況：有甲參加和無(wú)甲參加． 有甲參加時(shí)，選法有：C43=4種； 無(wú)甲參加時(shí)，選法有：C44=1種. (2)安排科目 有甲參加時(shí)，先排甲，再排其它人.排法有：A21A33=12種. 無(wú)甲參加時(shí)，排法有A44=24種. 綜上，412+124=72． ∴不同的參賽方案種數(shù)為72． 故答案為：72． 本題可以先從5人中選出4人，分為有甲參加和無(wú)甲參加兩種情況，再將甲安排參加C、D科目，然后安排其它學(xué)生，通過(guò)乘法原理，得到本題的結(jié)論 本題是一道排列組合題，要考慮特殊元素，本題還考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，本題有一定難度，屬于中檔題． 11. 考生甲填報(bào)某高校專(zhuān)業(yè)意向，打算從5個(gè)專(zhuān)業(yè)中挑選3個(gè)，分別作為第一、第二、第三志愿，則不同的填法有( ) A. 10種 B. 60種 C. 125種 D. 243種 （正確答案）B 解：從中選3個(gè)并分配到3個(gè)志愿中，故有A53=60種， 故選：B． 從中選3個(gè)并分配到3個(gè)志愿中，問(wèn)題得以解決． 本題考查了簡(jiǎn)單的排列組合問(wèn)題，關(guān)鍵是分清是排列還是組合，屬于基礎(chǔ)題． 12. 某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目，2個(gè)小品類(lèi)節(jié)目和1個(gè)相聲類(lèi)節(jié)目的演出順序，則同類(lèi)節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是( ) A. 72 B. 120 C. 144 D. 168 （正確答案）B 解：分2步進(jìn)行分析： 1、先將3個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目全排列，有A33=6種情況，排好后，有4個(gè)空位， 2、因?yàn)?個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目不能相鄰，則中間2個(gè)空位必須安排2個(gè)節(jié)目， 分2種情況討論： ①將中間2個(gè)空位安排1個(gè)小品類(lèi)節(jié)目和1個(gè)相聲類(lèi)節(jié)目，有C21A22=4種情況， 排好后，最后1個(gè)小品類(lèi)節(jié)目放在2端，有2種情況， 此時(shí)同類(lèi)節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是642=48種； ②將中間2個(gè)空位安排2個(gè)小品類(lèi)節(jié)目，有A22=2種情況， 排好后，有6個(gè)空位，相聲類(lèi)節(jié)目有6個(gè)空位可選，即有6種情況， 此時(shí)同類(lèi)節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是626=72種； 則同類(lèi)節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是48+72=120種． 故選：B． 根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①先將3個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目全排列，②因?yàn)?個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目不能相鄰，則分2種情況討論中間2個(gè)空位安排情況，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算每一步的情況數(shù)目，進(jìn)而由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案． 本題考查計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，注意分步方法的運(yùn)用，既要滿(mǎn)足題意的要求，還要計(jì)算或分類(lèi)簡(jiǎn)便． 13. 某公司慶?；顒?dòng)需從甲、乙、丙等5名志愿者中選2名擔(dān)任翻譯，2名擔(dān)任向?qū)В€有1名機(jī)動(dòng)人員，為來(lái)參加活動(dòng)的外事人員提供服務(wù)，并且翻譯和向?qū)Ф急仨氂幸蝗诉x自甲、乙、丙，則不同的選法有( ) A. 20 B. 22 C. 24 D. 36 （正確答案）D 解：∵翻譯和向?qū)Ф急仨氂幸蝗诉x自甲、乙、丙， ∴有A32=6種方法， 其余3人全排，有A33=6種方法， 根據(jù)乘法原理，有66=36種方法， 故選D． 翻譯和向?qū)葌€(gè)安排1人，其余3人全排，即可得出結(jié)論． 本題考查計(jì)數(shù)原理運(yùn)用，注意要根據(jù)題意，進(jìn)而按一定順序分情況討論，對(duì)于有限制條件的元素要首先安排． 二、填空題（本大題共4小題，共20分） 14. 用1，2，3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)五位數(shù)，要求相鄰的位置的數(shù)字不能相同，則不同的五位數(shù)共有______ 種(以數(shù)字作答)． （正確答案）42 解：第一類(lèi)：其中一個(gè)數(shù)字用3次，另外兩個(gè)數(shù)字用1次，把3個(gè)相同的數(shù)字排除一排，再將另外兩個(gè)數(shù)字插入到所形成的2個(gè)空中(不包含兩端)共有A22C31=6種， 第二類(lèi)，其中一個(gè)數(shù)字用1次，另外兩個(gè)數(shù)字用2次，若把相同的兩個(gè)數(shù)字互相間隔，(例如2323)，再把另一個(gè)數(shù)字插入前4個(gè)數(shù)字所形成的5個(gè)空中的任意一個(gè)空，有C31A22A51=30種， 若若把相同的兩個(gè)數(shù)字有只有一組相鄰，(例如2332)，把另一個(gè)數(shù)字插入前相鄰的數(shù)字中間，有C31A22=6種， 根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，共有6+30+6=42種， 故答案為：42． 根據(jù)重復(fù)數(shù)字的個(gè)數(shù)，分兩類(lèi)，第一類(lèi)：其中一個(gè)數(shù)字用3次，另外兩個(gè)數(shù)字用1次，第二類(lèi)，其中一個(gè)數(shù)字用1次，另外兩個(gè)數(shù)字用2次，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得． 本題考查了分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，關(guān)鍵是分類(lèi)，屬于中檔題． 15. 用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被3整除的四位數(shù)有______個(gè). （正確答案）96 解：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)能被3整除，符合題意的有： 一類(lèi)：含0、3則需1、4 和2、5各取1個(gè)，可組成C21C21C31A33； 二類(lèi)：含0或3中一個(gè)均不適合題意； 三類(lèi)：不含0，3，由1、2、4、5可組成A44個(gè)， 共有C21C21C31A33+A44=96個(gè)． 故答案為：96． 各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)能被3整除，符合題意的有：一類(lèi)：含0、3則需1、4 和2、5各取1個(gè)，可組成C21C21C31A33；二類(lèi)：含0或3中一個(gè)均不適合題意；三類(lèi)：不含0，3，由1、2、4、5可組成A44個(gè)，相加得到結(jié)果． 本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，本題是一個(gè)數(shù)字問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是注意0不能在首位，注意分類(lèi)和分步的應(yīng)用． 16. 學(xué)校安排4名教師在六天里值班，每天只安排一名教師，每人至少安排一天，至多安排兩天，且這兩天要相連，那么不同的安排方法種數(shù)是______(用數(shù)字作答) （正確答案）144 解：由題意知本題是一個(gè)簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題， 排四名老師時(shí)：有12，34，5，6和12，3，45，6和12，3，4，56和1，23，45，6和1，23，4，56和1，2，34，56，共6種情形． ∴根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知四名時(shí)有6(4321)=144， 故答案為：144． 本題是一個(gè)簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，分為排三名老師時(shí)和排四名老師時(shí)兩大類(lèi)結(jié)果，分別列舉出這兩種情況的結(jié)果，用分步計(jì)數(shù)表示出結(jié)果數(shù)，再用分類(lèi)加法得到結(jié)果． 本題考查計(jì)數(shù)問(wèn)題，對(duì)于復(fù)雜一點(diǎn)的計(jì)數(shù)問(wèn)題，有時(shí)分類(lèi)以后，每類(lèi)方法并不都是一步完成的，必須在分類(lèi)后又分步，綜合利用兩個(gè)原理解決，即類(lèi)中有步，步中有類(lèi)． 17. 在冬奧會(huì)志愿者活動(dòng)中，甲、乙等5人報(bào)名參加了A，B，C三個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作，因工作需要，每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需1名志愿者，且甲不能參加A，B項(xiàng)目，乙不能參加B，C項(xiàng)目，那么共有______種不同的志愿者分配方案.(用數(shù)字作答) （正確答案）21 解：若甲，乙都參加，則甲只能參加C項(xiàng)目，乙只能參見(jiàn)A項(xiàng)目，B項(xiàng)目有3種方法， 若甲參加，乙不參加，則甲只能參加C項(xiàng)目，A，B項(xiàng)目，有A32=6種方法， 若甲參加，乙不參加，則乙只能參加A項(xiàng)目，B，C項(xiàng)目，有A32=6種方法， 若甲不參加，乙不參加，有A33=6種方法， 根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，共有3+6+6+6=21種． 由題意可以分為四類(lèi)，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得． 本題考查了分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，關(guān)鍵是分類(lèi)，屬于中檔題． 三、解答題（本大題共3小題，共40分） 18. 設(shè)n∈N*，對(duì)1，2，……，n的一個(gè)排列i1i2……in，如果當(dāng)sit，則稱(chēng)(is,it)是排列i1i2……in的一個(gè)逆序，排列i1i2……in的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱(chēng)為其逆序數(shù).例如：對(duì)1，2，3的一個(gè)排列231，只有兩個(gè)逆序(2,1)，(3,1)，則排列231的逆序數(shù)為2.記fn(k)為1，2，…，n的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個(gè)數(shù)． (1)求f3(2)，f4(2)的值； (2)求fn(2)(n≥5)的表達(dá)式(用n表示)． （正確答案）解：(1)記μ(abc)為排列abc得逆序數(shù)，對(duì)1，2，3的所有排列，有 μ(123)=0，μ(132)=1，μ(231)=2，μ(321)=3， ∴f3(0)=1，f3(1)=f3(2)=2， 對(duì)1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，將數(shù)字4添加進(jìn)去，4在新排列中的位置只能是最后三個(gè)位置． 因此，f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5； (2)對(duì)一般的n(n≥4)的情形，逆序數(shù)為0的排列只有一個(gè)：12…n，∴fn(0)=1． 逆序數(shù)為1的排列只能是將排列12…n中的任意相鄰兩個(gè)數(shù)字調(diào)換位置得到的排列，fn(1)=n-1． 為計(jì)算fn+1(2)，當(dāng)1，2，…，n的排列及其逆序數(shù)確定后，將n+1添加進(jìn)原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三個(gè)位置． 因此，fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n． 當(dāng)n≥5時(shí)，fn(2)=[fn(2)-fn-1(2)]+[fn-1(2)-fn-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2) =(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=n2-n-22． 因此，當(dāng)n≥5時(shí)，fn(2)=n2-n-22． (1)由題意直接求得f3(2)的值，對(duì)1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，將數(shù)字4添加進(jìn)去，4在新排列中的位置只能是最后三個(gè)位置，由此可得f4(2)的值； (2)對(duì)一般的n(n≥4)的情形，可知逆序數(shù)為0的排列只有一個(gè)，逆序數(shù)為1的排列只能是將排列12…n中的任意相鄰兩個(gè)數(shù)字調(diào)換位置得到的排列，fn(1)=n-1． 為計(jì)算fn+1(2)，當(dāng)1，2，…，n的排列及其逆序數(shù)確定后，將n+1添加進(jìn)原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三個(gè)位置，可得fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n，則當(dāng)n≥5時(shí)，fn(2)=[fn(2)-fn-1(2)]+[fn-1(2)-fn-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)，則fn(2)(n≥5)的表達(dá)式可求． 本題主要考查計(jì)數(shù)原理、排列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力，是中檔題． 19. 男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？ (1)男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名； (2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員； (3)隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加； (4)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員． （正確答案）解：(1)由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問(wèn)題， 首先選3名男運(yùn)動(dòng)員，有C63種選法． 再選2名女運(yùn)動(dòng)員，有C42種選法． 共有C63?C42=120種選法． (2)法一(直接法)：“至少1名女運(yùn)動(dòng)員”包括以下幾種情況： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男． 由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得有C41?C64+C42?C63+C43?C62+C44?C61=246種選法． 法二(間接法)：“至少1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”． 從10人中任選5人，有C105種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有C65種. 所以“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法有C105-C65=246種． (3)法一(直接法)：“只有男隊(duì)長(zhǎng)”的選法為C84種； “只有女隊(duì)長(zhǎng)”的選法為C84種； “男、女隊(duì)長(zhǎng)都入選”的選法為C83種； ∴共有2C84+C83=196種． 法二(間接法)：“至少要有一名隊(duì)長(zhǎng)”的反面是“一個(gè)隊(duì)長(zhǎng)都沒(méi)有”． 從10人中任選5人，有C105種選法，其中一個(gè)隊(duì)長(zhǎng)都沒(méi)有有C85種選法． ∴“至少1名隊(duì)長(zhǎng)”的選法有C105-C85=196種選法． (4)當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人選法任意，共有C94種選法． 不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選男隊(duì)長(zhǎng)，共有C84種選法． 其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有C54種， ∴不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)共有C84-C54種選法． 既有隊(duì)長(zhǎng)又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有C94+C84-C54=191種． (1)本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問(wèn)題，首先選3名男運(yùn)動(dòng)員，有C63種選法.再選2名女運(yùn)動(dòng)員，有C42種選法.利用乘法原理得到結(jié)果． (2)至少1名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.分別寫(xiě)出這幾種結(jié)果，利用分類(lèi)加法原理得到結(jié)果.本題也可以從事件的對(duì)立面來(lái)考慮，寫(xiě)出所有的結(jié)果減去都是男運(yùn)動(dòng)員的結(jié)果數(shù)． (3)只有男隊(duì)長(zhǎng)的選法為C84種，只有女隊(duì)長(zhǎng)的選法為C84種，男、女隊(duì)長(zhǎng)都入選的選法為C83種，把所有的結(jié)果數(shù)相加． (4)當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人選法任意，共有C94種選法.不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選男隊(duì)長(zhǎng)，共有C84種選法.其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有C54種，得到結(jié)果． 本題考查分步計(jì)數(shù)原理，考查分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，在比較復(fù)雜的題目中，會(huì)同時(shí)出現(xiàn)分類(lèi)和分步，本題是一個(gè)比較綜合的題目． 20. (1)用紅、黃、藍(lán)、白四種不同顏色的鮮花布置如圖一所示的花圃，要求同一區(qū)域上用同一種顏色鮮花，相鄰區(qū)域用不同顏色鮮花，問(wèn)共有多少種不同的擺放方案？ (2)用紅、黃、藍(lán)、白、橙五種不同顏色的鮮花布置如圖二所示的花圃，要求同一區(qū)域上用同一種顏色鮮花，相鄰區(qū)域使用不同顏色鮮花． ①求恰有兩個(gè)區(qū)域用紅色鮮花的概率； ②記花圃中紅色鮮花區(qū)域的塊數(shù)為S，求它的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(S)． （正確答案）解：(1)根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，擺放鮮花的不同方案有：4322=48種 (2)①設(shè)M表示事件“恰有兩個(gè)區(qū)域用紅色鮮花”， 如圖二，當(dāng)區(qū)域A、D同色時(shí)，共有54313=180種； 當(dāng)區(qū)域A、D不同色時(shí)，共有54322=240種；因此，所有基本事件總數(shù)為：180+240=420種.(由于只有A、D，B、E可能同色，故可按選用3色、4色、5色分類(lèi)計(jì)算，求出基本事件總數(shù)為A53+2A54+A55=420種)它們是等可能的.又因?yàn)锳、D為紅色時(shí)，共有433=36種；B、E為紅色時(shí)，共有433=36種；因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72種.所以，P(M)=72420=635 ②隨機(jī)變量ξ的分布列為： ξ 0 1 2 P 635 2335 635 所以，E(ξ)=0635+12335+2635=1 (1)對(duì)于圖一根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理依次擺放鮮花，可直接解得． (2)對(duì)于圖二求恰有兩個(gè)區(qū)域用紅色鮮花的概率.設(shè)M表示事件“恰有兩個(gè)區(qū)域用紅色鮮花”，把圖二5個(gè)區(qū)域中的4個(gè)區(qū)域用A、B、D、E分別表示出來(lái)，然后分類(lèi)討論出①當(dāng)區(qū)域A、D同色時(shí)和②當(dāng)區(qū)域A、D不同色時(shí)的總的排列種數(shù).再求出有兩個(gè)區(qū)域同用紅色的種數(shù)，列出分布列，利用期望的公式求出期望． 此題主要考查分布乘法計(jì)數(shù)原理和簡(jiǎn)單的排列組合問(wèn)題在實(shí)際中的應(yīng)用，題中涉及到分類(lèi)討論思想，在高考中屬于常用思想，同學(xué)們需要多加注意．