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課時分層作業(yè)(十一)　拋物線的幾何性質 (建議用時：40分鐘) [基礎達標練] 一、填空題 1．拋物線焦點在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點A，AF＝5，則該拋物線的方程是________． [解析]　設拋物線的標準方程為y2＝2ax(a≠0)，設A(m，－3)． 由拋物線定義得5＝AF＝， 又(－3)2＝2am， ∴a＝1或a＝9， 故所求拋物線的標準方程為y2＝2x或y2＝18x. [答案]　y2＝2x或y2＝18x 2．拋物線y2＝4x的弦AB垂直于x軸，若AB＝4，則焦點到弦AB的距離為________． [解析]　由題意我們不妨設A(x,2)，則(2)2＝4x，∴x＝3，∴直線AB的方程為x＝3，拋物線的焦點為(1,0)，∴焦點到弦AB的距離為2. [答案]　2 3．在拋物線y2＝16x內，過點(2,1)且被此點平分的弦AB所在直線的方程是________． [解析]　顯然斜率不存在時的直線不符合題意．設直線斜率為k，則直線方程為y－1＝k(x－2)①，由消去x得ky2－16y＋16(1－2k)＝0，∴y1＋y2＝＝2(y1，y2分別是A，B的縱坐標)，∴k＝8，代入①得y＝8x－15. [答案]　y＝8x－15 4．已知過拋物線Γ：x＝－的焦點F的直線交拋物線Γ于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，若x1＋x2＝－7，則AB的值為________. 【導學號：71392104】 [解析]　因為x＝－，所以y2＝－2x，所以拋物線Γ的準線方程為x＝，根據(jù)拋物線的定義知AF＝－x1，BF＝－x2，所以AB＝AF＋BF＝1－(x1＋x2)＝1－(－7)＝8. [答案]　8 5．直線y＝k(x＋1)與拋物線y2＝8x有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是________． [解析]　聯(lián)立直線與拋物線方程，得所以ky2－8y＋8k＝0. 由題意得解得－＜k＜，且k≠0. 所以實數(shù)k的取值范圍是(－，0)∪(0，)． [答案]　(－，0)∪(0，) 6．已知拋物線E：y2＝4x的焦點為F，P是E的準線l上一點，Q是直線PF與E的一個交點．若＝，則直線PF的方程為________. 【導學號：71392105】 [解析]　拋物線E：y2＝4x的焦點F(1,0)，設Q到l的距離為d，則QF＝d. ∵＝，∴||＝||＝d，∴直線的傾斜角為45或135，∴直線的斜率為1， ∴直線的方程為x＋y－1＝0或x－y－1＝0. [答案]　x＋y－1＝0或x－y－1＝0 7．如圖243是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2 m，水面寬4 m．水位下降1 m后，水面寬_________ m. 圖243 [解析]　建立如圖所示平面直角坐標系，設拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)．由題意A(2，－2)，代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.設B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面寬為2 m. [答案]　2 8．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是________． [解析]　拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1，由拋物線定義知，點P到直線l2的距離等于點P到焦點F的距離，作PA⊥l1垂足為A，則點P到l1，l2的距離之和d＝PA＋PF，當P，A，F(xiàn)三點共線時，d取得最小值，最小值即為點F到直線l1的距離，由點到直線的距離公式得dmin＝＝2. [答案]　2 二、解答題 9．已知拋物線y2＝2px (p>0)有一個內接直角三角形，直角頂點在原點，兩直角邊OA與OB的長分別為1和8，求拋物線的方程. 【導學號：71392106】 [解]　設直線OA的方程為y＝kx，k≠0，則直線OB的方程為y＝－x， 由得x＝0(舍)或x＝， ∴A點坐標為，B點坐標為(2pk2，－2pk)， 由|OA|＝1，|OB|＝8， 可得 解方程組得k6＝64，即k2＝4. 則p2＝＝，又p>0，則p＝， 故所求拋物線方程為y2＝x. 10．已知過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)兩點，且|AB|＝9. (1)求該拋物線的方程； (2)O為坐標原點，C為拋物線上一點，若＝＋λ，求λ的值． [解]　(1)直線AB的方程是y＝2，與y2＝2px聯(lián)立，從而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，由拋物線定義得，|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9， 所以p＝4，從而拋物線方程為y2＝8x. (2)由于p＝4,4x2－5px＋p2＝0可化簡為x2－5x＋4＝0，從而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，從而A(1，－2)，B(4，4)；設C(x3，y3)，則＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2. [能力提升練] 1．等腰直角三角形AOB內接于拋物線y2＝2px(p>0)，O為拋物線的頂點，OA⊥OB，則△AOB的面積為________． [解析]　由條件，不妨設lOA為y＝x，解方程組得x＝2p，所以A(2p,2p)．故S△AOB＝2(2p)(2p)＝4p2. [答案]　4p2 2．過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F作傾斜角為45的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的長為8，則p＝________. [解析]　設A(x1，y1)，B(x2，y2)．因為直線傾斜角為45，過拋物線焦點，所以可設直線方程為y＝x－，代入拋物線方程得＝2px，即x2－3px＋＝0，故x1＋x2＝3p，由拋物線的定義可知，|AB|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝4p＝8，因此p＝2. [答案]　2 3．已知拋物線y＝x2與雙曲線－x2＝1(a＞0)有共同的焦點F，O為坐標原點，P在x軸上方且在雙曲線上，則的最小值為________． [解析]　拋物線y＝x2的焦點F為(0,2)，則雙曲線－x2＝1中，c＝2，則a2＝3. 即雙曲線方程為－x2＝1，設P(m，n)，則n2－3m2＝3， 則＝(m，n)(m，n－2)＝m2＋n2－2n＝－1＋n2－2n＝－2n－1＝－，所以當n＝時，的最小值為3－2. [答案]　3－2 4．如圖244，拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸．證明：直線AC經(jīng)過原點O. 【導學號：71392107】 圖244 [證明]　法一：設直線AB的方程為y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C.聯(lián)立方程，得 消去x，得y2－－p2＝0，∴y1y2＝－p2，kOA＝，kOC＝＝. 又∵y＝2px1，∴kOC＝＝kOA，∴AC經(jīng)過原點O. 當k不存在時，AB⊥x軸，同理可得kOA＝kOC，所以AC經(jīng)過原點O. 法二：因為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，由于直線AB斜率不確定，所以經(jīng)過點F的直線AB的方程可設為x＝my＋，代入拋物線方程消去x得y2－2pmy－p2＝0.若設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1，y2是該方程的兩個根，所以y1y2＝－p2. 因為BC∥x軸，且點C在準線x＝－上，所以點C的坐標為，故直線CO的斜率為k＝＝＝，即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點O. 法三：如圖，過A作AD⊥l，D為垂足，則AD∥EF∥BC， 設AC與EF相交于點N，則＝＝， ＝.由拋物線的定義可知AF＝AD，BF＝BC，∴EN＝＝＝NF. 即點N是EF的中點，與拋物線的頂點O重合，所以直線AC經(jīng)過原點O.