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課時跟蹤訓練(十七) 回歸分析的基本思想及其初步應用
(時間45分鐘)
題型對點練(時間20分鐘)
題組一 求線性回歸方程
1．已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假設根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸方程為＝x＋.若某同學根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結(jié)論正確的是( )
A.>b′，>a′ B.>b′，
a′ D.，a′＝－2<.
[答案] C
2．對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖(1)；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖(2)，由這兩個散點圖可以判斷( )
A．變量x與y正相關，u與v正相關
B．變量x與y正相關，u與v負相關
C．變量x與y負相關，u與v正相關
D．變量x與y負相關，u與v負相關
[解析] 夾在帶狀區(qū)域內(nèi)的點，總體呈上升趨勢的屬于正相關，總體呈下降趨勢的屬于負相關．由這兩個散點圖可以判斷，變量x與y負相關，u與v正相關，故選C.
[答案] C
3．某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：
單價x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
銷量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回歸直線方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
(2)預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從(1)中的關系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應定為多少元？(利潤＝銷售收入－成本)
[解] (1)由于＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.
所以＝－＝80＋208.5＝250，從而回歸直線方程為＝－20x＋250.
(2)設工廠獲得的利潤為L元，依題意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－202＋361.25.
當且僅當x＝8.25時，L取得最大值．
故當單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤．
題組二 線性回歸分析
4．對變量x，y進行回歸分析時，依據(jù)得到的4個不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是( )
[解析] 用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高．
[答案] A
5．在回歸分析中，相關指數(shù)R2的值越大，說明殘差平方和( )
A．越大 B．越小
C．可能大也可能小 D．以上均錯
[解析] 因為R2＝1－，所以當R2越大時，(yi－i)2越小，即殘差平方和越?。?
[答案] B
6．通過下面的殘差圖，我們發(fā)現(xiàn)在采集樣本點的過程中，樣本點數(shù)據(jù)不準確的為( )
A．第四個 B．第五個 C．第六個 D．第七個
[解析] 由題圖可知第六個數(shù)據(jù)的偏差最大，故選C.
[答案] C
7．在一段時間內(nèi)，某淘寶網(wǎng)店一種商品的銷售價格x元和日銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)為：
價格x元
22
20
18
16
14
日銷售量y件
37
41
43
50
56
求出y關于x的回歸方程，并說明該方程擬合效果的好壞．
參考數(shù)據(jù)：xiyi＝3992，x＝1660.
[解] 作出散點圖(此處略)，觀察散點圖，可知這些點散布在一條直線的附近，故可用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)．
因為＝＝18，
＝＝45.4.
所以＝＝－2.35，
＝45.4－(－2.35)18＝87.7.
所以回歸方程為＝－2.35x＋87.7.
yi－i與yi－的值如下表：
yi－i
1
0.3
－2.4
－0.1
1.2
yi－
－8.4
－4.4
－2.4
4.6
10.6
計算得(yi－i)2＝8.3，
(yi－)2＝229.2，
所以R2＝1－≈0.964.
因為0.964很接近于1，所以該模型的擬合效果比較好．
題組三 非線性回歸分析
8．若一函數(shù)模型為y＝sin2α＋2sinα＋1，為將y轉(zhuǎn)化為t的回歸直線方程，則需做變換t＝( )
A．sin2α B．(sinα＋1)2
C.2 D．以上都不對
[解析] 因為y是關于t的回歸直線方程，實際上就是y是關于t的一次函數(shù)，又因為y＝(sinα＋1)2，若令t＝(sinα＋1)2，則可得y與t的函數(shù)關系式為y＝t，此時變量y與變量t是線性相關關系．故選B.
[答案] B
9．在彩色顯影中，由經(jīng)驗可知：形成染料光學密度y與析出銀的光學密度x由公式y(tǒng)＝Ae (b<0)表示．現(xiàn)測得試驗數(shù)據(jù)如下：
xi
0.05
0.06
0.25
0.31
0.07
0.10
yi
0.10
0.14
1.00
1.12
0.23
0.37
xi
0.38
0.43
0.14
0.20
0.47
yi
1.19
1.25
0.59
0.79
1.29
試求y對x的回歸方程．
[解] 由題意知，對于給定的公式y(tǒng)＝Ae(b<0)兩邊取自然對數(shù)，得lny＝lnA＋，與線性回歸方程相對照可以看出，只要取u＝，v＝lny，a＝lnA，就有v＝a＋bu.
這是v對u的線性回歸直線方程，對此我們再套用相關性檢驗，求回歸系數(shù)b和a.題目中所給的數(shù)據(jù)由變量置換u＝，v＝lny，變?yōu)槿缦卤硭镜臄?shù)據(jù).
ui
20.000
16.667
4.000
3.226
14.286
10.000
vi
－2.303
－1.966
0
0.113
－1.470
－0.994
ui
2.632
2.326
7.143
5.000
2.128
vi
0.174
0.223
－0.528
－0.236
0.255
可求得b≈－0.146，a≈0.548，
∴＝0.548－0.146u.
綜合提升練(時間25分鐘)
一、選擇題
1．如圖所示是四個殘差圖，其中回歸模型的擬合效果最好的是( )
[解析] 選項A與B中的殘差圖都是水平帶狀分布，并且選項B的殘差圖散點分布集中，在更狹窄的范圍內(nèi)，所以B中回歸模型的擬合效果最好，選B.
[答案] B
2．某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：
廣告費用x(萬元)
4
2
3
5
銷售額y(萬元)
49
26
39
54
根據(jù)上表可得回歸方程＝x＋中的為9.4，據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為( )
A．63.6萬元 B．65.5萬元
C．67.7萬元 D．72.0萬元
[解析] 樣本點的中心是(3.5,42)，則＝－＝42－9.43.5＝9.1，所以回歸直線方程是＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得＝65.5.
[答案] B
3．某飲料店的日銷售收入y(單位：百元)與當天平均氣溫x(單位：度)之間有下列數(shù)據(jù)：
x
－2
－1
0
1
2
y
5
4
2
2
1
甲、乙、丙三位同學對上述數(shù)據(jù)進行了研究，分別得到了x與y之間的三個線性回歸方程：①＝－x＋2.8，②＝－x＋3，③＝－1.2x＋2.6；其中正確的是( )
A．① B．② C．③ D．①③
[解析] 回歸方程＝x＋表示的直線必過點(，)，即必過點(0,2.8)，而給出的三個線性回歸方程中，只有①表示的直線過點(0,2.8)，故正確的是①，故選A.
[答案] A
二、填空題
4．在研究氣溫和熱茶銷售杯數(shù)的關系時，若求得相關指數(shù)R2≈0.85，則表明氣溫解釋了________的熱茶銷售杯數(shù)變化，而隨機誤差貢獻了剩余的________，所以氣溫對熱茶銷售杯數(shù)的效應比隨機誤差的效應大得多．
[解析] 由相關指數(shù)R2的意義可知，R2≈0.85表明氣溫解釋了85%，而隨機誤差貢獻了剩余的15%.
[答案] 85% 15%
5．某種商品的廣告費支出x與銷售額y之間有如下關系：(單位：萬元)
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
y與x的線性回歸方程為＝6.5x＋17.5，當廣告費支出5萬元時，殘差為________．
[解析] 當廣告費x＝5時，＝6.55＋17.5＝50，殘差為60－50＝10.
[答案] 10
三、解答題
6．在一段時間內(nèi)，某種商品的價格x(萬元)和需求量y(t)之間的一組數(shù)據(jù)為：
價格x
1.4
1.6
1.8
2
2.2
需求量y
12
10
7
5
3
(1)畫出散點圖；
(2)求出y對x的線性回歸方程；
(3)如果價格定為1.9萬元，預測需求量大約是多少．
[解] (1)散點圖如圖所示．
(2)采用列表的方法計算與.
＝9＝1.8，
＝37＝7.4，
＝＝＝－11.5，
＝－ ＝7.4＋11.51.8＝28.1，
所以y對x的線性回歸方程為＝＋x＝28.1－11.5x.
(3)當x＝1.9時，＝28.1－11.51.9＝6.25(t)，
所以價格定為1.9萬元時，需求量大約是6.25 t.
7．已知某種商品的價格x(單位：元/件)與需求量y(單位：件)之間的關系有如下一組數(shù)據(jù)：
x
14
16
18
20
22
y
12
10
7
5
3
求y對x的回歸直線方程，并說明回歸模型擬合效果的好壞．
[解]?。?14＋16＋18＋20＋22)＝18，＝(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
x＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，
y＝122＋102＋72＋52＋32＝327，
xiyi＝1412＋1610＋187＋205＋223＝620，
所以＝＝＝－1.15，
＝7.4＋1.1518＝28.1，
所以所求回歸直線方程是＝－1.15x＋28.1.
列出殘差表：
yi－i
0
0.3
－0.4
－0.1
0.2
yi－
4.6
2.6
－0.4
－2.4
－4.4
所以(yi－i)2＝0.3，
(yi－)2＝53.2，
R2＝1－≈0.994，
所以回歸模型的擬合效果很好．
2018-2019年高中數(shù)學 第三章 統(tǒng)計案例 課時跟蹤訓練17 回歸分析的基本思想及其初步應用 新人教A版選修2-3.doc
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