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1、1第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型21 向量的內積、長度及正交性向量的內積、長度及正交性定義定義1：設：設 n 維向量維向量1122,nnxyxyxyxy記作記作1122nnx yx yx y1122 , nnx yx yx yx yx y 稱稱為向量為向量 x與與 y的內積，的內積，3內積有下列性質：內積有下列性質：(1) x, y = y, x ;(2) l lx, y = l l x, y ;(3) x + y, z = x, z + y, z ; (4) x, x 0, x 0; x, x = 0, x = 0.柯西柯西-施瓦茨施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式

2、：不等式：2 , , , x yx xy y 22,0, , 2 , , 0 , , , xty xtytx xx y ty y tx yx xy y4定義定義2：稱：稱 為向量為向量 x 的長度，記作的長度，記作 , x x|x特別地，當特別地，當| 1x 時，稱時，稱 x為單位向量。為單位向量。向量長度有下列性質：向量長度有下列性質：(1) | x | 0, x 0; | x | = 0, x = 0;(2) |l lx | = |l l| | x| ;(3) | x + y | | x | + | y|; 5稱稱 , arccos,0,0|x yxyxy 為向量為向量 x與與 y的夾角。

3、的夾角。若若 = 900 , 則稱向量則稱向量 x與與 y 正交，記作正交，記作 x y 。x y x, y = 0 , 11|x yxy , cos,0,0|x yxyxy 設設6定理定理1：若向量組：若向量組12,m 中不含零向量，且兩兩正交，中不含零向量，且兩兩正交，則向量組則向量組12,m 線性無關。線性無關。11220mmxxx1122,0mmjjjjxxxx設設0jx7例例1：設在向量空間：設在向量空間3R中，中，12111 ,211 求向量求向量3 ，使得，使得123, 兩兩正交。兩兩正交。8解：設解：設12111121A 解線性方程組解線性方程組0Ax 則解向量必與則解向量必與

4、12, 都正交，都正交，101010A得得基礎解系基礎解系101 3 取取，則，則123, 兩兩正交。兩兩正交。9定義定義 3. 設設 n 維向量維向量 是向量空間是向量空間 V 的的 一個基，若一個基，若 兩兩正交，且都兩兩正交，且都是是 單位向量，則稱單位向量，則稱 是是V 的一個的一個 規(guī)范正交基規(guī)范正交基 (標準正交基標準正交基).12,re ee12,re ee12,re ee10施密特施密特 ( Schimidt ) 正交化過程正交化過程:12,ra aa使得使得與與12,rb bb等價。等價。求正交向量組求正交向量組12,rb bb設向量組設向量組線性無關，線性無關，12,ra

5、aa11a1= b1a2a2 = b2a2 b1 = a1 b2 = a2- a2 21211222121111,| |,ab abb aaababbb b 12令令111222111121121112211;,;,;,rrrrrrrrrbab ababb bb ab abababbbb bb bbb 則則12,rb bb是正交向量組，并且向量組是正交向量組，并且向量組12,kb bb與與向量組向量組12,(1)ka aakr等價。等價。13基的規(guī)范正交化基的規(guī)范正交化設設12,ra aa是向量空間是向量空間 V 的一個基，求的一個基，求V 的一個的一個規(guī)范規(guī)范正交基。正交基。首先，利用施密特

6、正交化過程把首先，利用施密特正交化過程把正交化正交化為正交向量組為正交向量組12,rb bb然后，再把然后，再把12,rb bb單位化，即單位化，即121212,|rrrbbbeeebbb則則12,re ee是是V 的一個規(guī)范正交基。的一個規(guī)范正交基。12,ra aa14例例2: 設設1231142 ,3,1110aaa 試用施密特正試用施密特正交化交化過程把這組向量規(guī)范正交化。過程把這組向量規(guī)范正交化。15解：先正交化，令解：先正交化，令111222111132333121122(1,2, 1) ; ,45( 1,3,1)(1,2, 1)( 1,1,1) ; ,63 , ,2(1,0,1)

7、. , ,bab ababb bb ab ababbb bb b 161112223331(1,2, 1) ,|61( 1,1,1) ,|31(1,0,1) .|2bebbebbeb 再單位化，令再單位化，令則則123,e e e即為所求。即為所求。17定義定義4 若若 n 階矩陣階矩陣 A 滿足滿足A AE 則稱則稱 A 為為正交矩陣正交矩陣, 且且121111212212221212(,)(,)1,0,nnnnnnnnnijijijAA Aijij 令令故故1AA 18特征值及二次型問題是線性代數的重要問題。特征值及二次型問題是線性代數的重要問題。1PAP 12nl ll ll l 12d

8、iag(,)nl lll ll 其中其中19設設 A是是 n 階方陣階方陣, P為為 n 階可逆陣階可逆陣此過程的逆推在最后一步要求矩陣此過程的逆推在最后一步要求矩陣 P是可逆的。是可逆的。1PAP APP121212(,)(,)diag,nnnA ppppppl lll ll121122(,)(,)nnnAp ApAppppllllll,1,2,iiiAppinl l12(,)nset Pppp 20 2 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量定義定義1: 設設 A 是是 n 階方陣，若數階方陣，若數 l l 和非零向量和非零向量 x， (0)Axx xl l則稱則稱 l l 是是 A

9、 的一個的一個特征值，特征值，x 為為 A 的對應于特征值的對應于特征值 l l 的特征向量的特征向量。使得使得21Axxl l 0AE xl l或或 0EA xl l0AEl l0EAl l 由由()l l 而而0,x 既齊次線性方程組既齊次線性方程組 有非零解有非零解()l l 方程組方程組 的解空間稱為對應于的解空間稱為對應于 l l 的的特征子空間特征子空間.()l l 22注：注：（2）一個特征向量只能對應于一個特征值。）一個特征向量只能對應于一個特征值。（1）方陣的對應于同一個特征值的特征向量不唯一。）方陣的對應于同一個特征值的特征向量不唯一。（3）對應于同一個特征值的若干個特征向

10、量的線性組）對應于同一個特征值的若干個特征向量的線性組 合仍是對應于這個特征值的特征向量。合仍是對應于這個特征值的特征向量。23111212122212nnnnnnaaaaaaAEaaal ll ll ll l 為矩陣為矩陣 A 的的特征多項式特征多項式，記作，記作 f (l l)定義定義2：111212122212,nnnnnnaaaaaaAaaa 設設則則稱稱2411122( ) |()()()det( )nnnnfAEaaaAllllllll 設設( )0fl l 在在 C 中的中的 n 個根為個根為12,nl l l ll l即即A的的 n 個特征值個特征值則則12112212det(

11、 )nnnnaaaAlllllll lll ll 25解：解：1、由矩陣、由矩陣 A 的特征方程，求出特征值的特征方程，求出特征值.例例6： 求矩陣求矩陣的特征值和特征向量的特征值和特征向量.110430102A AEl l11011430(2)43102l ll llllll ll l 特征值為特征值為 l l = 2, 1 2210llll262、把每個特征值、把每個特征值 l l 代入線性方程組代入線性方程組 0,AE xl l求出基礎解系。求出基礎解系。當當 l l = 2時，解線性方程組時，解線性方程組 20AE x 3102410100AE 1000100001200 xx 得基礎

12、解系得基礎解系:1001p 27解線性方程組解線性方程組當當 時，時，1l l 0AE x 210420101AE 1010120001323020 xxxx 得基礎解系得基礎解系2121p 28解：解：例例7： 求矩陣求矩陣的特征值和特征向量的特征值和特征向量,211020413A AEl l 221102021413l ll ll ll ll l 特征值為特征值為 l l = - -1, 2并求可逆矩陣并求可逆矩陣P, 使使APP1 為對角陣為對角陣.29當當 l l = - -1時，解線性方程組時，解線性方程組 0AE x 111030414AE 101010000 13200 xxx

13、得基礎解系得基礎解系:1101p 30當當 l l = 2時，解線性方程組時，解線性方程組 20AE x 4112000411AE 411000000 12340 xxx得基礎解系得基礎解系:2011p 3104p 31 411010101321),(pppP 2211APP設設則則32性質性質：若：若l l 是是 A 的特征值的特征值, 即即 Ax = l lx (x0)，則，則(1) kl l 是是 kA 的特征值的特征值(k是常數是常數)，且，且 kAx = kl lx(2) l lm 是是 Am 的特征值的特征值(m是正整數是正整數)，且，且 Amx = l lmx(3) 若若 A可逆

14、，則可逆，則l l- -1是是 A- -1的特征值的特征值, 且且 A- -1x = l l- -1x l l- -1| A| 是是 A* *的特征值，且的特征值，且 A* * x = l l- -1|A|x(4) j j (x)為為 x 的多項式，則的多項式，則 j j (l l)是是 j j (A)的特征值的特征值, 且且 j j (A) x = j j (l l) x(5) 矩陣矩陣 A和和 AT的特征值相同的特征值相同, 特征多項式相同。特征多項式相同。33例例3： (1) 設設 l l 為矩陣為矩陣 A的特征值，求的特征值，求 的特征值的特征值223AAE (2) 若若 3 階陣階陣

15、 A有特征值有特征值 1, - -1, 2，求，求 。|32|AAE 223AAE有特征值有特征值223llll解解: (1)(2) 3階陣階陣 A有特征值有特征值 1, - -1, 2，故，故|2A ，A可逆可逆。32AAE 有特征值有特征值 - -1，- -3，3|32| 9AAE 34例：設例：設111222111A 求求：(1) A的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。(2) 求可逆矩陣求可逆矩陣 P，使得，使得 為對角陣。為對角陣。1PAP 35解解： (1) 21112221112AEl llllll lllll 0,2l l得得36 111222111 000000111 A1

16、230 xxx得基礎解系得基礎解系12110 ,110pp 0l l 0Ax 當當時，解時，解37 000210111111202113 0002101011323020 xxxx 得基礎解系得基礎解系3121p 2l l (2)0AE x當當時，解時，解2AE38取取 123Pppp 111012101 002 1PAP 問題：問題：矩陣矩陣 P是否唯一？矩陣是否唯一？矩陣 是否唯一？是否唯一？3912,mppp依次是與之對應的特征向量。依次是與之對應的特征向量。方陣方陣 A 的的屬于不同特征值的特征向量屬于不同特征值的特征向量線性無關。線性無關。定理定理2：設：設 是方陣是方陣 A的的 m

17、 個特征值，個特征值，12,ml l l ll l若若 各不相等，則各不相等，則 12,ml l l ll l12,mppp線性無關。線性無關。40. 02211 mmpxpxpx則則 ,02211 mmpxpxpxA, 0222111 mmmpxpxpxl ll ll l證明：證明：設常數設常數 使得使得12,mx xx類推之，有類推之，有. 0222111 mmkmkkpxpxpxl ll ll l 1, 2 , 1 mk41把上列各式合寫成矩陣形式，得把上列各式合寫成矩陣形式，得 11221112211111,mmmmmmmpxpxpxl ll ll ll ll ll l0 等號左邊的等

18、號左邊的Vandermonde矩陣當矩陣當 各不相同時是可逆的各不相同時是可逆的 il l42等號兩邊同時右乘它的逆矩陣，有等號兩邊同時右乘它的逆矩陣，有 1122,0,mmx px pxp 即即 01,2,.jjx pjm又因為又因為 為特征向量，為特征向量，0,jp jp所以所以0jx 12,mppp線性無關。線性無關。433 相似矩陣相似矩陣定義定義: 設設 A, B 都是都是 n 階矩陣，若存在可逆矩陣階矩陣，若存在可逆矩陣 P，使得，使得1PAPB 則稱則稱 A 相似于矩陣相似于矩陣 B ，或稱矩陣，或稱矩陣 A 與矩陣與矩陣 B 相似。相似。運算運算 稱為對稱為對 A 作相似變換，

19、作相似變換，1PAP可逆矩陣可逆矩陣 P 稱為相似變換矩陣。稱為相似變換矩陣。44注：注：矩陣相似關系是一種等價關系矩陣相似關系是一種等價關系（1）反身性：）反身性： A 與與 A 相似。相似。（2）對稱性：若）對稱性：若 A 與與 B 相似，則相似，則 B 與與 A 相似。相似。（3）傳遞性：若）傳遞性：若 A 與與 B 相似，相似，B 與與 C 相似，相似， 則則 A 與與 C 相似相似45定理定理3: 相似矩陣有相同的特征多項式、特征值相似矩陣有相同的特征多項式、特征值.111| | |()| |PAPBBEPAPEPAE PAEllllllll 46（2）有相同特征多項式的矩陣不一定相

20、似。）有相同特征多項式的矩陣不一定相似。注注：（1）與單位矩陣相似的與單位矩陣相似的n 階矩陣只有單位陣本身，階矩陣只有單位陣本身， 與數量矩陣與數量矩陣kE 相似的相似的n階方陣只有數量陣階方陣只有數量陣kE。推論：若矩陣推論：若矩陣 A與對角陣與對角陣 相似，相似，12nl ll ll l 則則 是是 A 的的 n個特征值。個特征值。12,nl lll ll47矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件（利用相似變換把方陣對角化）（利用相似變換把方陣對角化）定理定理4： n 階矩陣階矩陣 A 與對角陣相似（與對角陣相似（A可對角化）可對角化）A有有n個線性無關的特征向量。個線性無關的特征向量。4

21、81PAP ,1,2,iiiAppinl l121122(,)(,)nnnAp ApAppppllllll121212(,)(,)nnnA ppppppl ll ll lAPP12(,)nset Pppp 49(2) 可逆矩陣可逆矩陣 P由由 A的的 n個線性無關的特征向量做為個線性無關的特征向量做為 列向量構成。列向量構成。(但逆命題不成立但逆命題不成立)推論：若推論：若 n 階方陣階方陣 A有有 n個互不相同的特征值個互不相同的特征值,則則 A可對角化。（與對角陣相似）可對角化。（與對角陣相似）注注：(1) 若若 A與與 相似相似, 則則 的主對角元素即為的主對角元素即為 A的特征值，的特

22、征值，50例例1:1: 判斷下列實矩陣能否化為對角陣？判斷下列實矩陣能否化為對角陣？122(1) 224242A 212(2) 533102A 51解解: : 722 l ll l122(1)224242AEl ll ll ll l 得得2, 7l l52得基礎解系得基礎解系12221 ,0 .01pp 當當 l l = 2 時，齊次線性方程組為時，齊次線性方程組為 20AE x 1222244244AE 122000000 123220 xxx53得基礎解系得基礎解系3122p 13231020 xxxx 當當 l l = 7 時，齊次線性方程組為時，齊次線性方程組為 70AE x 8227

23、254245AE 101 2011000 54123,ppp線性無關線性無關即即 A有有3個線性無關的特征向量，個線性無關的特征向量，所以所以 A可以對角化?？梢詫腔?。55212(2)533102AEl llllll l 310l l 1l l 56得基礎解系得基礎解系11 ,1 所以所以 A不能化為對角矩陣不能化為對角矩陣.當當 l l = 1 時，齊次線性方程組為時，齊次線性方程組為 0AE x 312523101AE 101011000 132300 xxxx 57定理：設定理：設 A為為 n 階矩陣，階矩陣，l l為為A的特征多項式的特征多項式 |A- -l lE| = 0 的的k重

24、根，則重根，則 A相似于對角陣的充要條件是相似于對角陣的充要條件是 R(A- -l lE) = n- -k581. 由特征值、特征向量求矩陣由特征值、特征向量求矩陣例例3：已知方陣：已知方陣 的特征值是的特征值是A1230,1,3,llllll相應的特征向量是相應的特征向量是1231111 ,0 ,2 ,111 求矩陣求矩陣 A59解：因為解：因為 A有有 3 個不同的特征值，所以個不同的特征值，所以 A可以對角化?？梢詫腔＜创嬖诳删仃嚰创嬖诳删仃嘝 , 使得使得1PAP 其中其中111102 ,111P 01,3 1111333110,22111636P 601AP P 11133311

25、101110210221113111636 110121011 612. 求方陣的冪求方陣的冪例例4：設：設 求求45,23A 100.A解：解：4523AEl ll ll l (2)(1)0llll121,2.llll A可以對角化?？梢詫腔｝R次線性方程組為齊次線性方程組為當當 時，時，11l l 0AE x12xx 令令 得基礎解系得基礎解系:21x 111p 62齊次線性方程組為齊次線性方程組為當當 時，時，22l l 20AE x1252xx 得基礎解系得基礎解系:252p 令令12(,)Ppp 1512 得得1251311P 112PAP 631001001APP 1001510

26、2513120211 1001001525( 1)013121102 100100101101252552132252 64例例2 設設,()m nn mARBRnm, 證明證明n mnmEBAEABllllll 111110( )0000rrrr rrm rrn mn rrErank ArPAQIPABPPAQQ BPI Q BPCCI C 證明：設證明：設65 1111111110mmrn mmrn mrmrrrrrmr rm rrrEABEPI CPEI CccccccccEClllllll ll ll ll lllll 66 11111100rrrn mrn r rn rnnn mrr

27、rn rr mn mnmmQ BAQQ BPPAQQ BPICCICEBAEQCI QECEBAEABEABllllllllllllllllllll 同同理理：674 對稱矩陣的對角化對稱矩陣的對角化 實對稱矩陣是一類特殊的矩陣，它們一定可實對稱矩陣是一類特殊的矩陣，它們一定可以對角化。以對角化。即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣 P, 使得使得1PAP 找到正交矩陣找到正交矩陣 Q，使得，使得1Q AQQ AQ 68定理定理5：實對稱矩陣的特征值為實數：實對稱矩陣的特征值為實數. .證：設證：設 是是 的任一特征值，的任一特征值，l lA是對應于是對應于 的特征向量，的特征向量，l l 則則All

28、 12(,)0nxxx 用用 表示表示 的共軛復數，的共軛復數， 表示表示 的共軛復向量。的共軛復向量。l ll l 69考慮考慮1212(,)nnxxx xxx 1122nnxxxxxx222120nxxx因因Allll =AAA 故故 = ,Al l 及及700llllllll即即 為實數。為實數。l l又又 是實對稱矩陣，是實對稱矩陣，AAA.TAA 于是于是()()()()0AAl ll l ll ll ll 且且71定理定理6：實對稱矩陣的對應于不同特征值的：實對稱矩陣的對應于不同特征值的 特征向量正交。特征向量正交。12,pp是依次與之對應的特征向量，是依次與之對應的特征向量，證：

29、設證：設 是對稱矩陣是對稱矩陣 的兩個特征值，且的兩個特征值，且12,llllA12,llll 111222,AppAppllll72112112121212122212()()()()p pppAppp A ppApppp pllllllll 12120.Tp pllll121212,0,0Tp pppllllA為實對稱矩陣，為實對稱矩陣，TAA即即 正交。正交。12,pp73定理定理7：設設 A 為為 n 階實對稱矩陣，階實對稱矩陣，則必存在則必存在 n 階正交矩陣階正交矩陣 P 使得使得1PAP 其中其中 是以是以 A 的的 n個特征值為對角元素的個特征值為對角元素的對角陣。對角陣。74

30、()knR AEl l推論推論: 設設 A 為為 n 階實對稱矩陣，階實對稱矩陣，l l 為為 A 的特征方的特征方 程的程的 k 重根，則重根，則()R AEnkl l即即75例例1：設：設問問 x =？，矩陣？，矩陣 A可以對角化？可以對角化？00111100Ax 解解：011110AExl ll ll ll l 2(1) (1)l ll l 0 761l l 是特征方程是特征方程| |A - - l lE| |= 0的二重根。的二重根。于是于是( (Al lE )x = 0 的基礎解系應有二個解向量，即的基礎解系應有二個解向量，即R( (Al lE ) = 110110110001101

31、000AExx 1x 77例例1：設：設求正交矩陣求正交矩陣 P ，使得，使得 為對角陣。為對角陣。1PAP 解解：32422423AEl ll ll ll l 218l ll l 0 1231,8.llllll 324202423A 78當當 時，齊次線性方程組為時，齊次線性方程組為121llll 0AE x 424212424AE 212000000 得基礎解系得基礎解系112 ,0p 202 .1p 123220 xxx79先正交化：先正交化：1112,0bp 1222111014,41222,55105bpbpbbb 再單位化：再單位化：1112,50 2412355 80當當 時，齊

32、次線性方程組為時，齊次線性方程組為38l l 80AE x 5248282425AE 101011 2000 132312xxxx 得基礎解系得基礎解系311 2 ,1p 單位化得單位化得3211,32 81123(,)P 得正交矩陣得正交矩陣14235352213535520335 有有1118PAP 82例例2：設：設220212 ,020A 解：解：l ll ll ll l 20212022EA 214 l ll ll l0 1234,1,2.llllll 求正交矩陣求正交矩陣 P ，使得，使得 為對角陣。為對角陣。1PAP 83當當 時，由時，由14l l 40,AE x2204232

33、024AE 102012000 122 .1p 即即13232020 xxxx 得基礎解系得基礎解系把把 單位化，得單位化，得1p1212 ,31 84當當 時，由時，由21l l 0,AE x120202021AE 120021000 221.2p 即即12322020 xxxx 得基礎解系得基礎解系把把 單位化，得單位化，得2p2211,32 85當當 時，由時，由22l l 20,AE x4202232022AE 201210000 312 .2p 即即13122020 xxxx 得基礎解系得基礎解系把把 單位化，得單位化，得3p3112 .32 86 1232211,212 ,3122

34、P 得正交矩陣得正交矩陣1400010.002PAP 有有875 二次型及其標準形二次型及其標準形1. 二次型、二次型的矩陣、二次型的秩二次型、二次型的矩陣、二次型的秩稱為二次型。稱為二次型。22212111222121213131123231,1(,)222 22 nnnnnnnnnnf x xxa xa xa xa x xa x xa x xa x xaxx含有含有 個變量個變量 的二次齊次多項式的二次齊次多項式12,nx xxn定義定義1：88例如：例如：22( , )45f x yxxyy22( , , )2f x y zxyxzyz1234122324(,)f x xxxx xx x

35、x x是二次型。是二次型。22( , )5f x yxy22( , )22f x yxyx不是二次型。不是二次型。89只含有平方項的二次型只含有平方項的二次型2222211nnykykykf 稱為二次型的標準形（或法式）。稱為二次型的標準形（或法式）。例如：例如： 222123123,245fx xxxxx 222123123,44fx xxxxx 為二次型的標準形。為二次型的標準形。902211111222121122211222212 nnnnnnnnnnnfaaxaxaxaxxaxxxxxaaaxxxxx ijjiaa 取取2ijijijijjiija x xa x xa x x則則則二

36、次型可以表示為則二次型可以表示為,1nijiji ja x x 9111112211()nna xa xxxa21122222()nna xxxaa x 1122()nnnnnna xa xxa x9211112212112222112221(,)nnnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xax xxx 1111121212222122(,) nnnnnnnnxaaaaaaxaaxxxxa 9312 nxxxx 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 令令T fx Ax 則則其中其中 A 為對稱矩陣。為對稱矩陣。二次型的矩陣表示二次型的矩陣表示9411

37、23231201(,)20 21032xxxxxx 22123131223 (,)34f x xxxxx xx x例如：二次型例如：二次型95 任給一個二次型，就唯一確定一個對稱矩陣；任給一個二次型，就唯一確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一確定一個二次型反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一確定一個二次型因此二次型與對稱矩陣之間存在一一對應的關系因此二次型與對稱矩陣之間存在一一對應的關系1 1T fx AxA 96則對稱矩陣則對稱矩陣 A 稱為二次型稱為二次型 f 的矩陣，的矩陣，二次型二次型 f 稱為對稱矩陣稱為對稱矩陣 A 的二次型，的二次型，對稱矩陣對稱矩陣 A 的秩稱為二次型

38、的秩稱為二次型 f 的秩。的秩。T fx Ax 設二次型設二次型定義定義2：97例例1：求二次型：求二次型 f 的矩陣的矩陣22212412233427224fxxxx xx xx x 1100121001020027A 解：解：98231310101A 例例2：求對稱矩陣：求對稱矩陣 A 所對應的二次型所對應的二次型2221231213262fxxxx xx x 解：解：99( )2 0 3r AAc 例例3：已知二次型：已知二次型 f 的秩為的秩為2，求參數，求參數c。22212312132355266fxxcxx xx xx x 51315333Ac 解：解：1002. 非退化線性變換（

39、可逆線性變換）非退化線性變換（可逆線性變換） nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111線性變換線性變換（2）101系數矩陣系數矩陣 nnnnnncccccccccC2122221112111122,nnxyxyxyxy則線性變換可寫成：則線性變換可寫成：x = Cy102若若 C 是可逆矩陣，則稱線性變換是可逆矩陣，則稱線性變換 x = Cy 是非退化線性變換，是非退化線性變換，若若 C 是正交矩陣，則稱線性變換是正交矩陣，則稱線性變換 x = Cy 是正交變換。是正交變換。二次型的主要問題是：二次型的主要問題是： 求可逆的線性變換

40、求可逆的線性變換 x = Cy 把二次型把二次型 f 變?yōu)闃藴市巫優(yōu)闃藴市?2221122nnxCyfx Axk yk yk y 1033. 矩陣的合同矩陣的合同若有非退化線性變換若有非退化線性變換 x = Cy ， ()()()xCyfx AxCyA CyyC AC y 則有則有 )2( )1(仍是對稱矩陣仍是對稱矩陣C AC ()( )R C ACR A 104合同的性質：合同的性質：(1) 反身性：反身性： A 與與 A合同。合同。(2) 對稱性：若對稱性：若 A 與與 B 合同，則合同，則 B 與與 A合同。合同。(3) 傳遞性：若傳遞性：若 A 與與 B 合同，合同，B 與與 C合同

41、，合同， 則則 A 與與 C 合同。合同。矩陣的合同：設矩陣的合同：設 A, B 都是都是 n 階矩陣，若存在可逆矩陣階矩陣，若存在可逆矩陣C， 使得使得 , 則稱矩陣則稱矩陣 A 與矩陣與矩陣 B 合同合同.C ACB 矩陣的合同關系是一種等價關系。矩陣的合同關系是一種等價關系。105將此結論用于二次型化標準形將此結論用于二次型化標準形, 即利用正交變換即利用正交變換 x = P y對于任意實對稱矩陣對于任意實對稱矩陣 A，總存在正交矩陣，總存在正交矩陣 P使得，使得，1PAPP AP ()()xPyfx AxPyA Py 1()()yP AP yyPAP y1066 化二次型為標準形化二次

42、型為標準形2222211nnykykyk yyT ()yC AC y112212nnn(,)kykyy yyky fx Ax xCy 非退化線性變換非退化線性變換1071. 正交相似變換法正交相似變換法主軸定理：主軸定理： 任給二次型任給二次型T,1,nijiji jfa x xx Ax 總有正交變換總有正交變換,xPy 使之化為標準形使之化為標準形2222211nnyyyfl ll ll l 全部特征值全部特征值. .是二次型是二次型 f 的矩陣的矩陣 A 的的其中其中12n,l lll ll108例例14 求一個正交變換求一個正交變換,xPy 把二次型把二次型121323222fx xx

43、xx x化為標準形。化為標準形。解：二次型的矩陣解：二次型的矩陣011101110A 10921111|11111101120(1) 110(1) (2)011AElllllllllllllllll lllllllll 特征值為特征值為 l l = - -1, 2110當當 l l = 1 時，解方程時，解方程()0AE x123111111111000111000-0AExxx得基礎解系得基礎解系12111001pp ，111正交化正交化1112221111,11,22ppp 單位化單位化1211111,12602 112當當 l l = 2 2 時，解方程時，解方程(2)0AE x1323

44、211101021210110112000 xxAExx 得基礎解系得基礎解系3111p 單位化單位化311131 11312221231112631111,12632210632PPAPP APfyyy 1142. 拉格朗日配方法拉格朗日配方法用二個例題來介紹拉格朗日用二個例題來介紹拉格朗日 ( Lagrange ) 配方法。配方法。例例15 把二次型把二次型22212312132325226fxxxx xx xx x化為標準形，并求合同變換矩陣?；癁闃藴市?，并求合同變換矩陣。115解：注意到解：注意到 f 中含有中含有 x1 的平方項，把含的平方項，把含 x1 的項合并配方，的項合并配方，

45、22222123232323232221232233()2256()44fxxxxxx xxxx xxxxxx xx11231122223333111,010001uxxxxuuxxuuxxu 令令116222221223312344(2)fuuu uuuuu再類似地考慮含再類似地考慮含 u2 的項的項, 11112232233331002,012001yuuyyuuuyyuuy 令令于是標準形為于是標準形為2212fyy，合同變換矩陣為，合同變換矩陣為111100111010012012001001001C117例例16 把二次型把二次型121323226fx xx xx x化為標準形，并求

46、合同變換矩陣?；癁闃藴市?，并求合同變換矩陣。118解：注意到解：注意到 f 中不含中不含 x1 的平方項，但含有的平方項，但含有 x1 x2 項，項，令令11211212223333110,110001xuuxuxuuxuxuxu 則則221213232248fuuu uu u再利用前例的作法再利用前例的作法2221332232()228fuuuuu u1131122223333101,010001vuuuvvuuvvuuv 令令119再令再令則則222222132231233222822(2)6fvvvv vvvvv11112232233331002,012001yvvyyvvvyyvvy

47、因此因此222123226fyyy，合同變換矩陣為，合同變換矩陣為110101100113110010012111001001001001C1207 正定二次型正定二次型定理定理9: 設二次型設二次型T,fx Ax 秩為秩為 r ，可逆變換，可逆變換,xCy xPz分別把二次型變?yōu)闃藴市畏謩e把二次型變?yōu)闃藴市?221122(0)rnifk yk yk yk 2221122(0)rrifyyyl ll ll ll l 則則12,rk kk與與12,rl lll ll中值為正的個數相等。中值為正的個數相等。并把其中值為正的個數稱為二次型的并把其中值為正的個數稱為二次型的正慣性指數，正慣性指數，其中

48、值為負的個數稱為二次型的其中值為負的個數稱為二次型的負慣性指數。負慣性指數。121定義定義10: 設二次型設二次型T( ),f xx Ax 若對任意若對任意0 x都有都有( )0f x ，則稱，則稱 f 為正定為正定二次型，并二次型，并稱稱 A 為正定矩陣；為正定矩陣；若對任意若對任意0 x都有都有( )0f x ，則稱，則稱 f 為負定為負定二次型二次型并并稱稱 A 為負定矩陣為負定矩陣 ，也記作也記作 A 0 .122定理定理10: 二次型二次型T( )f xx Ax 為正定為正定二次型的充要條件是二次型的充要條件是 f 標準形的標準形的 n 個系數全是正的，即其正慣性指數是個系數全是正的，即其正慣性指數是 n 。2221122( )()0nnxCyf xf Cyyyyllllll 推論推論: 對稱對稱矩陣矩陣 A 為正定的為正定的充要條件是充要條件是 A 的特征值的特征值全是全是 正的。正的。123定理定理11: 對稱對稱矩陣矩陣 A 為正定的為正定的充要條件是：充要條件是： A 的各階主子的各階主子 式式全是正的；全是正的； 對稱對稱矩陣矩陣 A 為負定的為負定的充要條件是：充要條件是： A 的奇數階主的奇數階主 子式子式是負的，偶是負的，偶奇數階主子式奇數階主子式是正的。是正的。