2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.1 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 第1課時(shí) 數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法學(xué)案 新人教A版必修5.doc
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第1課時(shí) 數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法 學(xué)習(xí)目標(biāo):1.理解數(shù)列的概念(重點(diǎn)).2.掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用(重點(diǎn)).3.能根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)). [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1.?dāng)?shù)列的概念及一般形式 思考1:(1)數(shù)列的項(xiàng)和它的項(xiàng)數(shù)是否相同? (2)數(shù)列1,2,3,4,5,數(shù)列5,3,2,4,1與{1,2,3,4,5}有什么區(qū)別? [提示] (1)數(shù)列的項(xiàng)與它的項(xiàng)數(shù)是不同的概念.?dāng)?shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù),是一個(gè)函數(shù)值,也就是相當(dāng)于f(n),而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置序號(hào),它是自變量的值,相當(dāng)于f(n)中的n.(2)數(shù)列1,2,3,4,5和數(shù)列5,3,2,4,1為兩個(gè)不同的數(shù)列,因?yàn)槎叩脑仨樞虿煌?,而集合{1,2,3,4,5}與這兩個(gè)數(shù)列也不相同,一方面形式上不一致,另一方面,集合中的元素具有無(wú)序性. 2.?dāng)?shù)列的分類 類別 含義 按項(xiàng)的 個(gè)數(shù) 有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列 無(wú)窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列 按項(xiàng)的 變化趨 勢(shì) 遞增數(shù)列 從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 遞減數(shù)列 從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 常數(shù)列 各項(xiàng)相等的數(shù)列 擺動(dòng)數(shù)列 從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 3.數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 4.?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系 從函數(shù)的觀點(diǎn)看,數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù),關(guān)系如下表: 定義域 正整數(shù)集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n}) 解析式 數(shù)列的通項(xiàng)公式 值域 自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值構(gòu)成 表示方法 (1)通項(xiàng)公式(解析法);(2)列表法;(3)圖象法 思考:數(shù)列的通項(xiàng)公式an=f(n)與函數(shù)解析式y(tǒng)=f(x)有什么異同? [提示] 如圖,數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})為定義域的函數(shù),an=f(n)當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.不同之處是定義域,數(shù)列中的n必須是從1開(kāi)始且連續(xù)的正整數(shù),函數(shù)的定義域可以是任意非空數(shù)集. [基礎(chǔ)自測(cè)] 1.思考辨析 (1)數(shù)列1,1,1,…是無(wú)窮數(shù)列.( ) (2)數(shù)列1,2,3,4和數(shù)列1,2,4,3是同一個(gè)數(shù)列.( ) (3)有些數(shù)列沒(méi)有通項(xiàng)公式.( ) [答案] (1)√ (2) (3)√ 提示:(1)正確.每項(xiàng)都為1的常數(shù)列,有無(wú)窮多項(xiàng). (2)錯(cuò)誤.雖然都是由1,2,3,4四個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列,但是兩個(gè)數(shù)列中后兩個(gè)數(shù)順序不同,不是同一個(gè)數(shù)列. (3)正確.某些數(shù)列的第n項(xiàng)an和n之間可以建立一個(gè)函數(shù)關(guān)系式,這個(gè)數(shù)列就有通項(xiàng)公式,否則,不能建立一個(gè)函數(shù)關(guān)系式,這個(gè)數(shù)列就沒(méi)有通項(xiàng)公式. 2.600是數(shù)列12,23,34,45,…的第________項(xiàng). 24 [an=n(n+1)=600=2425,所以n=24.] 3.?dāng)?shù)列{an}滿足an=log2(n2+3)-2,則log23是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):91432112】 3 [令an=log2(n2+3)-2=log23,解得n=3.] 4.?dāng)?shù)列1,2, ,,,…中的第26項(xiàng)為_(kāi)_______. 2 [因?yàn)閍1=1=,a2=2=, a3=,a4=,a5=,所以an=, 所以a26===2.] [合 作 探 究攻 重 難] 數(shù)列的概念及分類 已知下列數(shù)列: ①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016; ②1,,,…,,…; ③1,-,,…,,…; ④1,0,-1,…,sin,…; ⑤2,4,8,16,32,…; ⑥-1,-1,-1,-1. 其中,有窮數(shù)列是________,無(wú)窮數(shù)列是________,遞增數(shù)列是________,遞減數(shù)列是________,常數(shù)列是________,擺動(dòng)數(shù)列是________(填序號(hào)). ①⑥?、冖邰堍荨、佗荨、凇、蕖、邰堋①為有窮數(shù)列且為遞增數(shù)列;②為無(wú)窮、遞減數(shù)列;③為無(wú)窮、擺動(dòng)數(shù)列;④是擺動(dòng)數(shù)列,是無(wú)窮數(shù)列,也是周期為4的周期數(shù)列;⑤為遞增數(shù)列,也是無(wú)窮數(shù)列;⑥為有窮數(shù)列,也是常數(shù)列.] [規(guī)律方法] 1.與集合中元素的性質(zhì)相比較,數(shù)列中的項(xiàng)的性質(zhì)具有以下特點(diǎn): (1)確定性:一個(gè)數(shù)是或不是某一數(shù)列中的項(xiàng)是確定的,集合中的元素也具有確定性; (2)可重復(fù)性:數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù),而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)(即互異性); (3)有序性:一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān),而且與這些數(shù)的排列順序有關(guān),而集合中的元素沒(méi)有順序(即無(wú)序性); (4)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù),而集合中的元素還可以代表除數(shù)字外的其他事物. 2.判斷數(shù)列是哪一種類型的數(shù)列時(shí)要緊扣概念及數(shù)列的特點(diǎn).對(duì)于遞增、遞減、擺動(dòng)還是常數(shù)列要從項(xiàng)的變化趨勢(shì)來(lái)分析;而有窮還是無(wú)窮數(shù)列則看項(xiàng)的個(gè)數(shù)有限還是無(wú)限. [跟蹤訓(xùn)練] 1.給出下列數(shù)列: (1)2010~2017年某市普通高中生人數(shù)(單位:萬(wàn)人)構(gòu)成數(shù)列82,93,105,118,132,147,163,180. (2)無(wú)窮多個(gè)構(gòu)成數(shù)列, , , ,…. (3)-2的1次冪,2次冪,3次冪,4次冪,…構(gòu)成數(shù)列-2,4,-8,16,-32,…. 其中,有窮數(shù)列是________,無(wú)窮數(shù)列是________,遞增數(shù)列是________,常數(shù)列是________,擺動(dòng)數(shù)列是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):91432113】 (1) (2)(3) (1) (2) (3) [(1)為有窮數(shù)列;(2)(3)是無(wú)窮數(shù)列,同時(shí)(1)也是遞增數(shù)列;(2)為常數(shù)列;(3)為擺動(dòng)數(shù)列.] 由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式 寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)是下列各數(shù): (1)-1,,-,; (2),3,,; (3)0.9,0.99,0.999,0.999 9; (4)3,5,3,5. 思路探究:①求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),是否應(yīng)考慮將個(gè)別項(xiàng)或各項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃??②?shù)列的通項(xiàng)公式唯一嗎? [解] (1)任何一個(gè)整數(shù)都可以看成一個(gè)分?jǐn)?shù),所以此數(shù)列可以看做是自然數(shù)列的倒數(shù), 正負(fù)相間用(-1)的多少次冪進(jìn)行調(diào)整,其一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n. (2)數(shù)列可化為,,,,即,,,,…,每個(gè)根號(hào)里面可分解成兩數(shù)之積,前一個(gè)因數(shù)為常數(shù)3,后一個(gè)因數(shù)為2n-1,故原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an==. (3)原數(shù)列可變形為,,,,…,故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=1-. (4)數(shù)列給出前4項(xiàng),其中奇數(shù)項(xiàng)為3,偶數(shù)項(xiàng)為5,所以通項(xiàng)公式的一種表示方法為an=.此數(shù)列還可以這樣考慮,3與5的算術(shù)平均數(shù)為=4,4+1=5,4-1=3,因此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式又可以寫(xiě)為an=4+(-1)n. [規(guī)律方法] 1.據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí),需仔細(xì)觀察分析,抓住以下幾方面的特征: ①分式中分子、分母的特征; ②相鄰項(xiàng)的變化特征; ③拆項(xiàng)后的特征; ④各項(xiàng)符號(hào)特征等,并對(duì)此進(jìn)行歸納、聯(lián)想. 2.觀察、分析數(shù)列中各項(xiàng)的特點(diǎn)是最重要的,觀察出項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系、規(guī)律,利用我們熟知的一些基本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉(zhuǎn)換而使問(wèn)題得到解決,對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化,可用(-1)n或(-1)n+1來(lái)調(diào)整. [跟蹤訓(xùn)練] 2.寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式: (1)0,3,8,15,24,…; (2)1,-3,5,-7,9,…; (3)1,2,3,4,…; (4)1,11,111,1 111,…. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):91432114】 [解] (1)觀察數(shù)列中的數(shù),可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=n2-1(n∈N*). (2)數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值為1,3,5,7,9,…,是連續(xù)的正奇數(shù),并且數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為正,偶數(shù)項(xiàng)為負(fù),所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n+1(2n-1)(n∈N*). (3)此數(shù)列的整數(shù)部分1,2,3,4,…恰好是序號(hào)n,分?jǐn)?shù)部分與序號(hào)n的關(guān)系為,故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=n+=(n∈N*). (4)原數(shù)列的各項(xiàng)可變?yōu)?,99,999,9 999,…,易知數(shù)列9,99,999,9 999,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=10n-1,所以原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(10n-1)(n∈N*). 數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用 [探究問(wèn)題] 1.?dāng)?shù)列,,,,,…的通項(xiàng)公式是什么?該數(shù)列的第7項(xiàng)是什么?是否為該數(shù)列中的一項(xiàng)?為什么? 提示:由數(shù)列各項(xiàng)的特點(diǎn)可歸納出其通項(xiàng)公式為an=,當(dāng)n=7時(shí),a7==,若為該數(shù)列中的一項(xiàng),則=,解得n=8,所以是該數(shù)列中的第8項(xiàng). 2.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-n2+2n+1,該數(shù)列的圖象有何特點(diǎn)?試?yán)脠D象說(shuō)明該數(shù)列的單調(diào)性及所有的正數(shù)項(xiàng). 提示:由數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系可知,數(shù)列{an}的圖象是分布在二次函數(shù)y=-x2+2x+1圖象上的離散的點(diǎn),如圖所示,從圖象上可以看出該數(shù)列是一個(gè)遞減數(shù)列,且前兩項(xiàng)為正數(shù)項(xiàng),從第3項(xiàng)往后各項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng). 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n2-28n. (1)寫(xiě)出此數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng); (2)問(wèn)-49是否是該數(shù)列的一項(xiàng)?如果是,應(yīng)是哪一項(xiàng)?68是否是該數(shù)列的一項(xiàng)呢? 思路探究:(1)將n=4,n=6分別代入an求出數(shù)值即可; (2)由3n2-28n=-49和3n2-28n=68,求得n是否為正整數(shù)判斷. [解] (1)a4=342-284=-64, a6=362-286=-60. (2)由3n2-28n=-49解得n=7或n=(舍去), 所以-49是該數(shù)列的第7項(xiàng); 由3n2-28n=68解得n=-2或n=,均不合題意,所以68不是該數(shù)列的項(xiàng). 母題探究:1.(變結(jié)論)若本例中的條件不變, (1)試寫(xiě)出該數(shù)列的第3項(xiàng)和第8項(xiàng); (2)問(wèn)20是不是該數(shù)列的一項(xiàng)?若是,應(yīng)是哪一項(xiàng)? [解] (1)因?yàn)閍n=3n2-28n, 所以a3=332-283=-57,a8=382-288=-32. (2)令3n2-28n=20,解得n=10或n=-(舍去), 所以20是該數(shù)列的第10項(xiàng). 2.(變條件,變結(jié)論)若將例題中的“an=3n2-28n”變?yōu)椤癮n=n2+2n-5”,試判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性. [解] ∵an=n2+2n-5, ∴an+1-an=(n+1)2+2(n+1)-5-(n2+2n-5) =n2+2n+1+2n+2-5-n2-2n+5=2n+3. ∵n∈N*,∴2n+3>0,∴an+1>an. ∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列. [規(guī)律方法] 1.由通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列的指定項(xiàng),主要是對(duì)n進(jìn)行取值,然后代入通項(xiàng)公式,相當(dāng)于函數(shù)中,已知函數(shù)解析式和自變量的值求函數(shù)值. 2.判斷一個(gè)數(shù)是否為該數(shù)列中的項(xiàng),其方法是可由通項(xiàng)公式等于這個(gè)數(shù)求方程的根,根據(jù)方程有無(wú)正整數(shù)根便可確定這個(gè)數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng). 3.在用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決數(shù)列問(wèn)題時(shí),要注意它的定義域是N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})這一約束條件. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1.下列說(shuō)法正確的是( ) A.?dāng)?shù)列1,3,5,7,…,2n-1可以表示為1,3,5,7,… B.?dāng)?shù)列1,0,-1,-2與數(shù)列-2,-1,0,1是相同的數(shù)列 C.?dāng)?shù)列的第k項(xiàng)為1+ D.?dāng)?shù)列0,2,4,6,8,…可記為{2n} C 2.在數(shù)列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x等于( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):91432115】 A.11 B.12 C.13 D.14 C [觀察可知該數(shù)列從第3項(xiàng)開(kāi)始每一項(xiàng)都等于它前面相鄰兩項(xiàng)的和,故x=5+8=13.] 3.已知數(shù)列2,,4,…,,…,則8是該數(shù)列的第________項(xiàng). 11 [令=8,得n=11.] 4.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=3-2n,則a2n=________,=________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):91432116】 3-4n [根據(jù)通項(xiàng)公式我們可以求出這個(gè)數(shù)列的任意一項(xiàng).因?yàn)閍n=3-2n,所以a2n=3-22n=3-4n, ==.] 5.已知數(shù)列. (1)求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng); (2)是不是該數(shù)列中的項(xiàng),為什么? (3)求證:數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi). [解] 設(shè)f(n)= ==. (1)令n=10,得第10項(xiàng)a10=f(10)=. (2)令=,得9n=300. 此方程無(wú)正整數(shù)解,所以不是該數(shù)列中的項(xiàng). (3)證明:∵an===1-, 又n∈N*, ∴0<<1,∴0- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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