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專題01函數(shù)的基本性質(zhì)第一季 1．設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程至少有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，至多有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 對(duì)都有，所以是定義在上的周期為4的函數(shù)； 作函數(shù)與的圖象，結(jié)合圖象可知，解得， 故選D. 2．已知定義在上函數(shù)：滿足，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且無(wú)零點(diǎn)，則的值為（ ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】 無(wú)零點(diǎn)，故函數(shù)為單調(diào)函數(shù)， 由知為常數(shù)， 設(shè)， 3．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)、滿足，，，如果的最大值為，最小值為，則（ ） A．-2 B．2 C．-3 D．3 【答案】D 【解析】 ， ， ， 則 故 ， 則 ， ， 故的圖象關(guān)于(0，)對(duì)稱 ， ， 故選D 4．已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，當(dāng)時(shí)，，. ①方程有個(gè)不等實(shí)根；②方程只有個(gè)實(shí)根； ③當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)不等實(shí)根； ④存在使. A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【解析】 1號(hào)得到:.令,代入原式,得到或 ,解得兩個(gè)方程各有一個(gè)根,故正確;2號(hào)建立方程,解得 ,所以為偶函數(shù),而, ,故不 止一個(gè)實(shí)根,故錯(cuò)誤.3號(hào)解得x=2，0,-2.-4,…..而令，故的范圍 為，因而，一共有七個(gè)根，故正確。4選項(xiàng) 當(dāng)，，而當(dāng)，根本就不存在這樣的點(diǎn)，故錯(cuò)誤。 5．若函數(shù)的圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)為的“友情點(diǎn)對(duì)”，點(diǎn)對(duì)與可看作同一個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”，若函數(shù)恰好由兩個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”，則實(shí)數(shù)的值為（ ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】 首先注意到?jīng)]有對(duì)稱點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，則，即有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.畫(huà)出的圖像如下圖所示，由圖可知時(shí)有兩個(gè)解. 6．定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】,當(dāng)時(shí)，,作出圖形，由圖可知直線過(guò)點(diǎn)時(shí)有六個(gè)交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)時(shí)有八個(gè)交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)時(shí)有六個(gè)交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)時(shí)有八個(gè)交點(diǎn)，因此要使函數(shù)有7個(gè)零點(diǎn)，需 ，選A. 7．已知是函數(shù)在上的所有零點(diǎn)之和，則的值為（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 8．設(shè)函數(shù)，若，滿足不等式，則當(dāng)時(shí)， 的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因?yàn)?所以函數(shù)為奇函數(shù),又因?yàn)闉閱握{(diào)減函數(shù),且所以為上減函數(shù),因此 ,因?yàn)?所以可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形及其內(nèi)部,其中,因此直線過(guò)點(diǎn)時(shí)取最大值,選B. 9．定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.若在區(qū)間上，存在個(gè)不同的整數(shù)，滿足，則的最小值為（ ) A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【解析】定義在上的奇函數(shù)滿足，得即則的周期為8．函數(shù)的圖形如下： 比如，當(dāng)不同整數(shù) 分別為-1，1，2，5，7…時(shí)， 取最小值， ，則b-a的最小值為18，故選D 點(diǎn)睛：本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題． 10．設(shè)函數(shù)，若曲線是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上存在點(diǎn)使得，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因?yàn)?所以在 上有解 因?yàn)?( 易證 ) ,所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增,因此由得 在 上有解，即,因?yàn)椋xC. 11．函數(shù)的值域?yàn)椋? ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由得 ， 當(dāng) 時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，所以 當(dāng) 時(shí)，由移項(xiàng)得 兩邊平方整理得得從而 且 ． 由，得 ，由 所以． 綜上，所求函數(shù)的值域?yàn)?選D 12．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)，等式成立，若數(shù)列滿足，且，則下列結(jié)論成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 當(dāng) 時(shí) 與時(shí)，矛盾，因此 當(dāng)時(shí)，， 設(shè) ，則,因此為單調(diào)減函數(shù)，從而 , , , , ,選D. 13．定義在上的偶函數(shù) ，當(dāng)時(shí)，，且在上恒成立，則關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)敘述正確的是（ ） A．有兩個(gè) B．有一個(gè) C．沒(méi)有 D．上述情況都有可能 【答案】A 【解析】 由于函數(shù)，為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，如圖所示，函數(shù)，在上恒成立，函數(shù)在上的圖象位于的圖象上方，當(dāng)時(shí)，由可得，解得 ，故 的圖象至少向左平移兩個(gè)單位，才符合題意，即 ，由于函數(shù)的值域?yàn)椋屎瘮?shù)的圖象和直線有個(gè)交點(diǎn)，關(guān)于的方的根有個(gè)，故選A. 14．設(shè)函數(shù)y=f (x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且滿足f (x-2)=-f (x)對(duì)一切x∈R恒成立，當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f (x)=x3，則下列四個(gè)命題： ①f(x)是以4為周期的周期函數(shù)． ②f(x)在[1，3]上的解析式為f (x)=(2-x)3． ③f(x)在 處的切線方程為3x+4y-5=0． ④f(x)的圖象的對(duì)稱軸中，有x=1，其中正確的命題是(　　) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), ,所以切線方程為 f(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱,因此選D. 15．已知定義在上的函數(shù)為增函數(shù)，且，則等于（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】令得，令，則，中，令，則，所以，因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的增函數(shù)，所以，變形可得，解得或，所以或。令得，令，則，令，則，所以，因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的增函數(shù)，所以，解得或，所以或，因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的增函數(shù)，所以。所以。故選B。 16．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在的圖像上，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線是，則直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)和直線的圖象（如圖所示），設(shè)直線與相切于點(diǎn)，則，解得， 設(shè)直線與相切于點(diǎn)，則，解得，則，即；故選A. 17．已知函數(shù),曲線關(guān)于直線對(duì)稱,現(xiàn)給出如結(jié)論： ①若,則存在，使； ②若，則不等式的解集為； ③若，且是曲線的一條切線,則的取值范圍是. 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D ②若，則，此時(shí),圖像如圖所示，因此不等式等價(jià)于，即不等式的解集為； ③若，且，如圖，則是曲線的一條切線, 設(shè)切點(diǎn)為， 則， 因?yàn)椋? 所以 ， 由， 所以， 綜上，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為3，選D. 18．定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 為偶函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，，繪制如圖所示的函數(shù)圖象， 由圖可知在上連續(xù)且單調(diào)遞減， ，不等式恒成立， 等價(jià)于，不等式恒成立， 兩邊同時(shí)平方整理得恒成立 令，則有，函數(shù)最大值恒成立 （1）當(dāng)時(shí)，，即恒成立， （2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增， 即，解得， 所以的取值范圍為 （3）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減， 即，解得， 所以，不存在滿足條件的值. 綜上使，不等式恒成立的的取值范圍 所以最大值為 故選C. 為 19．已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，若，則的大小關(guān)系正確的是 A． B． C． D． 【答案】C 20．已知函數(shù)與在（，且）上有個(gè)交點(diǎn)，，……，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由圖可知交點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)，每對(duì)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（0,1）對(duì)稱，橫坐標(biāo)和為2，縱坐標(biāo)和為0，所以 ，選B.