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綜合檢測二(標(biāo)準(zhǔn)卷)
考生注意:
1.本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共4頁.
2.答卷前,考生務(wù)必用藍、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學(xué)號填寫在相應(yīng)位置上.
3.本次考試時間120分鐘,滿分150分.
4.請在密封線內(nèi)作答,保持試卷清潔完整.
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題(本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.設(shè)全集為R,集合A=,B={x|x≥1},則A∩B等于( )
A.{x|0
0,b>0)的左、右兩支分別交于M,N兩點,且MF1,NF2都垂直于x軸(其中F1,F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點),則該雙曲線的離心率為( )
A.B.C.-1D.
答案 D
解析 ∵直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于M,N兩點,且MF1,NF2都垂直于x軸,
∴根據(jù)雙曲線的對稱性,
設(shè)點M(-c,-y),N(c,y)(y>0),
則-=1,即|y|=,且|MF1|=|NF2|=|y|,
又∵直線l的傾斜角為45,
∴直線l過坐標(biāo)原點,|y|=c,
∴=c,整理得c2-ac-a2=0,
即e2-e-1=0,解方程得e=.
12.若不等式2xlnx≥-x2+ax-3對x∈(0,+∞)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,0) B.(-∞,4]
C.(0,+∞) D.[4,+∞)
答案 B
解析 ∵2xlnx≥-x2+ax-3對x∈(0,+∞)恒成立,
∴a≤x+2lnx+對x∈(0,+∞)恒成立,
令f(x)=x+2lnx+,則f′(x)=1+-=.
由f′(x)>0得x>1,即f(x)在(1,+∞)上為增函數(shù);由f′(x)<0得01+,
∴兩圓外離,
∴|PD|的最小值為3-1-=2-1,
∴|+|的最小值為4-2.
15.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f(0)=________.
答案 1
解析 由函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象知,A=2,=-=,∴T=π,∴ω==2,
又f=2sin=2,
∴φ=+2kπ,k∈Z.
又|φ|<,∴φ=.
∴f(x)=2sin,f(0)=2sin=1.
16.已知拋物線C:y2=8x,點P(0,4),點A在拋物線上,當(dāng)點A到拋物線準(zhǔn)線l的距離與點A到點P的距離之和最小時,F(xiàn)是拋物線的焦點,延長AF交拋物線于點B,則△AOB的面積為________.
答案 4
解析 根據(jù)拋物線性質(zhì)知拋物線上一點到準(zhǔn)線的距離等于到焦點的距離,故當(dāng)P,A,F(xiàn)三點共線時達到最小值,由P(0,4),F(xiàn)(2,0),可得lAB:2x+y-4=0,聯(lián)立拋物線方程可得x2-6x+4=0,設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),故|AB|=x1+x2+p=6+4=10,原點到直線lAB:2x+y-4=0的距離d==,所以△AOB的面積為10=4.
三、解答題(本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(12分)已知等差數(shù)列{an}的公差不為零,a1=25,且a1,a11,a13成等比數(shù)列.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=(-1)nan,求數(shù)列{bn}前2019項的和.
解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),
??
∴{an}的通項公式為an=27-2n.
(2){bn}的前2019項的和S2019為
S2019=b1+b2+b3+b4+…+b2018+b2019=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2018-a2017)-a2019
=(-2)-(27-22019)
=1993.
18.(12分)如圖,五邊形ABSCD中,四邊形ABCD為長方形,三角形SBC為邊長為2的正三角形,將三角形SBC沿BC折起,使得點S在平面ABCD上的射影恰好在AD上.
(1)當(dāng)AB=時,證明:平面SAB⊥平面SCD;
(2)若AB=1,求平面SCD與平面SBC所成二面角的余弦值的絕對值.
(1)證明 作SO⊥AD,垂足為O,依題意得SO⊥平面ABCD,∴SO⊥AB,SO⊥CD,
又AB⊥AD,SO∩AD=O,SO,AD?平面SAD,
∴AB⊥平面SAD,∴AB⊥SA,AB⊥SD.
利用勾股定理得SA===,同理可得SD=.
在△SAD中,AD=2,SA=SD=,SA2+SD2=AD2,
∴SA⊥SD,
又SA∩AB=A,∴SD⊥平面SAB,
又SD?平面SCD,∴平面SAB⊥平面SCD.
(2)解 連接BO,CO,
∵SB=SC,∴Rt△SOB≌Rt△SOC,
∴BO=CO,又四邊形ABCD為長方形,
∴Rt△AOB≌Rt△DOC,∴OA=OD.
取BC中點為E,得OE∥AB,連接SE,∴SE=,
其中OE=1,OA=OD=1,OS==,
由以上證明可知OS,OE,AD互相垂直,不妨以直線OA,OE,OS為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
∴=(0,1,0),=(-1,1,-),=(-2,0,0),
設(shè)m=(x1,y1,z1)是平面SCD的法向量,
則有
即
令z1=1得m=(-,0,1),
設(shè)n=(x2,y2,z2)是平面SBC的法向量,
則有即
令z1=1得n=(0,,1).
則|cos〈m,n〉|===,
所以平面SCD與平面SBC所成二面角的余弦值的絕對值為.
19.(12分)某芯片代工廠生產(chǎn)某型號芯片每盒12片,每批生產(chǎn)若干盒,每片成本1元,每盒芯片需檢驗合格后方可出廠.檢驗方案是從每盒芯片隨機取3片檢驗,若發(fā)現(xiàn)次品,就要把全盒12片產(chǎn)品全部檢驗,然后用合格品替換掉不合格品,方可出廠;若無次品,則認定該盒芯片合格,不再檢驗,可出廠.
(1)若某盒芯片中有9片合格,3片不合格,求該盒芯片經(jīng)一次檢驗即可出廠的概率;
(2)若每片芯片售價10元,每片芯片檢驗費用1元,次品到達組裝工廠被發(fā)現(xiàn)后,每片須由代工廠退賠10元,并補償1片經(jīng)檢驗合格的芯片給組裝廠.設(shè)每片芯片不合格的概率為p(00,f(p)為單調(diào)增函數(shù);
當(dāng)p∈時,f′(p)<0,f(p)為單調(diào)減函數(shù),
∴p0=為f(p)的極大值點,也是最大值點.
故f(p)的最大值點p0=.
②由題設(shè)知,p=p0=,
設(shè)這箱芯片不合格品個數(shù)為n,
則n~B,
故E(n)=12=3,
則E(X)=120-12-30-32=72.
∴這箱芯片最終利潤X的均值是72元.
20.(12分)設(shè)常數(shù)t>2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點F(2,0),直線l:x=t,曲線Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l與x軸交于點A、與Γ交于點B.P,Q分別是曲線Γ與線段AB上的動點.
(1)用t表示點B到點F距離;
(2)設(shè)t=3,|FQ|=2,線段OQ的中點在直線FP上,求△AQP的面積;
(3)設(shè)t=8,是否存在以FP,F(xiàn)Q為鄰邊的矩形FPEQ,使得點E在Γ上?若存在,求點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
解 (1)方法一 由題意可得B(t,2),
則|BF|==t+2,
∴|BF|=t+2.
方法二 由題意可得B(t,2),
由拋物線的性質(zhì)可知,|BF|=t+=t+2,∴|BF|=t+2.
(2)F(2,0),|FQ|=2,t=3,則|FA|=1,
∴|AQ|=,
∴Q(3,),設(shè)OQ的中點D,D,
kDF==-,
則直線PF的方程為y=-(x-2),
聯(lián)立整理得3x2-20x+12=0,
解得x=,x=6(舍去),
∴△AQP的面積S==.
(3)存在.假設(shè)存在,則設(shè)P,
易知,當(dāng)PF斜率不存在時,不存在符合題意的矩形,
則kPF==,kFQ=,
直線QF的方程為y=(x-2),
∴yQ=(8-2)=,Q,
根據(jù)+=,則E,
∴2=8,解得y2=,
∴存在以FP,F(xiàn)Q為鄰邊的矩形FPEQ,使得點E在Γ上,且P.
21.(12分)已知函數(shù)f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx(a為常數(shù)).
(1)當(dāng)a=1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)y=f(x),x∈的圖象與x軸無交點,求實數(shù)a的最小值.
解 (1)a=1時,f(x)=x-2lnx-1,f′(x)=1-,
由f′(x)>0得x>2;f′(x)<0得00成立,
即x∈時,a>2-.
令l=2-,x∈,
則l′(x)=,
再令m(x)=2lnx+-2,x∈,
m′(x)=<0,于是m在上為減函數(shù),
故m(x)>m=2-2ln2>0,∴l(xiāng)′(x)>0在上恒成立,
∴l(xiāng)(x)在上為增函數(shù),∴l(xiāng)(x)2-恒成立,只要a∈[2-4ln2,+∞),
∴實數(shù)a的最小值為2-4ln2.
請在第22~23題中任選一題作答.
22.(10分)直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點為極點,以x軸正半軸為極軸)中,圓C的方程為ρ=6cosθ.
(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)圓C與直線l交于點A,B,若點P的坐標(biāo)為(2,1),求|PA|+|PB|的最小值.
解 (1)由ρ=6cosθ得ρ2=6ρcosθ,化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=6x,即(x-3)2+y2=9.
(2)將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程,得t2+2(sinα-cosα)t-7=0.
由Δ=4(sinα-cosα)2+47>0,故可設(shè)t1,t2是上述方程的兩根,
所以t1+t2=2(cosα-sinα),t1t2=-7,
又由直線過點(2,1),故結(jié)合參數(shù)的幾何意義得
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|==≥2,當(dāng)sin2α=1時取等號.
所以|PA|+|PB|的最小值為2.
23.(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-a|+|x+a|(a>0).
(1)當(dāng)a=1時,求f(x)的最小值;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)<+a在x∈[1,2]上有解,求實數(shù)a的取值范圍.
解 (1)當(dāng)a=1時,
f(x)=|2x-1|+|x+1|=++|x+1|≥0+=,
當(dāng)且僅當(dāng)x=時,取等號.
(2)當(dāng)x∈[1,2]時,f(x)<+a?|2x-a|+x+a<+a?|a-2x|<-x?3x-0,所以0
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