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專題02 三角函數(shù)問(wèn)題 1．（2017新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ文科）函數(shù)的最大值為 A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由誘導(dǎo)公式可得， 則,函數(shù)的最大值為.所以選A. 【名師點(diǎn)睛】三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過(guò)變換把函數(shù)化為的形式，再借助三角函數(shù)的圖象研究性質(zhì)，解題時(shí)注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征． 2．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ文科）函數(shù)的最小正周期為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故所求的最小正周期為，故選C. 【名師點(diǎn)睛】函數(shù)的性質(zhì)： (1). (2)最小正周期 (3)由求對(duì)稱軸. (4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間. 3．（2016新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ文科）若將函數(shù)y=2sin (2x+)的圖象向右平移個(gè)周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為 A．y=2sin(2x+) B．y=2sin(2x+) C．y=2sin(2x–) D．y=2sin(2x–) 【答案】D 【名師點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的平移問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè),一是平移方向,注意“左加右減”；二是平移多少個(gè)單位是對(duì)x而言的,不要忘記乘以系數(shù). 4．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ文科）已知函數(shù)，則 A．的最小正周期為π，最大值為3 B． 的最小正周期為π，最大值為4 C． 的最小正周期為，最大值為3 D．的最小正周期為，最大值為4 【答案】B 【解析】根據(jù)題意有，所以函數(shù)的最小正周期為，且最大值為，故選B. 【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)化簡(jiǎn)三角函數(shù)解析式，并且通過(guò)余弦型函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)得到函數(shù)的性質(zhì)，在解題的過(guò)程中，要注意應(yīng)用余弦倍角公式將式子降次升角，得到最簡(jiǎn)結(jié)果. 1．三角函數(shù)的基本概念、三角恒等變換及相關(guān)計(jì)算，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用一般在選擇題、填空題中進(jìn)行考查，解答題中則結(jié)合三角恒等變換等其他知識(shí)，重點(diǎn)考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用. 2．此部分內(nèi)容在解答題中可能連續(xù)考查，也可能隔年考查，沒(méi)有什么規(guī)律，雖然結(jié)合的知識(shí)點(diǎn)比較多，但一般難度不大. 指點(diǎn)1：三角函數(shù)的圖象變換 三角函數(shù)的圖象變換有兩種方法： 注意是先平移變換，還是先伸縮變換，但無(wú)論是先平移再伸縮，還是先伸縮再平移，只要平移|φ|個(gè)單位，都是相應(yīng)的解析式中的x變?yōu)閤|φ|，而不是ωx變?yōu)棣豿|φ|. 【例1】將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象的函數(shù)解析式是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得．故選C． 指點(diǎn)2：確定三角函數(shù)的解析式 1．由函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象確定A，ω，φ的題型，常常以“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)作為突破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)“零點(diǎn)”和第二個(gè)“零點(diǎn)”的位置．要善于抓住特殊量和特殊點(diǎn)． 2．結(jié)合圖象及性質(zhì)求解析式y(tǒng)=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法 （1）求A，B，已知函數(shù)的最大值M和最小值m，則. （2）求ω，已知函數(shù)的周期T，則. （3）求φ，常用方法有： ①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)，A，ω，B已知)． ②五點(diǎn)法：確定φ值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，具體如下： “第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn)中距原點(diǎn)最近的交點(diǎn))為ωx＋φ=0；“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)為ωx＋φ=；“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx＋φ=π；“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)為ωx＋φ=；“第五點(diǎn)”為ωx＋φ=2π. 【例2】函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式為 A． B． C． D． 【答案】D 【例3】若函數(shù) 的部分圖象如下圖所示. （1）求函數(shù)的解析式； （2）設(shè)，且，求的值. 【解析】（1）由圖得，． 由，解得， 于是由T=，得． ∵ ，即， ∴ ，k∈Z，即，k∈Z， 又，所以，即． （2）由已知，即， ∵，∴， ∴ ． ∴ = ． 指點(diǎn)3：三角函數(shù)的性質(zhì) 以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)為基礎(chǔ)，重點(diǎn)考查函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的相關(guān)性質(zhì)，如定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等. 1．求三角函數(shù)的最值或值域時(shí)，可以利用三角恒等變換化為y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求解.若最高次為二次，則可利用二次函數(shù)求最值或值域的方法求解.但用此方法時(shí)需注意定義域的限制. 2．求形如y=Asin（ωx＋φ）或y=Acos（ωx＋φ）（其中，ω>0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx＋φ”為一個(gè)整體，通過(guò)解不等式求解．已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)時(shí)，先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解． 【例4】已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心完全重合，則函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為 A． B． C． D． 【答案】A 【例5】已知. （1）當(dāng)時(shí)，求的值域； （2）若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，所得圖象恰與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間. 【解析】（1） ， 由，得， 所以， 即在上的值域是. （2）函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象， 則， 設(shè)點(diǎn)是圖象上任意一點(diǎn)， 則點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在的圖象上， 所以. 所以當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增， 所以的單調(diào)遞增區(qū)間是. 1．已知，則 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴， ∴，故選D． 2．把函數(shù)（，）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若為奇函數(shù)，且兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間的距離為，則的解析式為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易得， 若的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間的距離為，則周期，所以， 若為奇函數(shù)，則，即， 又因?yàn)椋裕? 則，故選B． 3．設(shè)函數(shù)，，其中，．若，，且的最小正周期大于，則 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 4．函數(shù)的最大值是__________． 【答案】 【解析】因?yàn)椋? 所以 即最大值是. 5．已知函數(shù). （1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間； （2）若的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，，求. 【解析】（1）. 由，， 得，. ∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，. （2）∵，，∴. ∵，∴由正弦定理，得. 又由余弦定理，， 得，解得.