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第八章不定積分 8 1不定積分的概念與基本積分公式 8 2換元積分法與分部積分法 8 3幾類特殊函數(shù)的不定積分 8 1不定積分的概念和基本積分公式 一原函數(shù)和不定積分二基本積分公式表三不定積分的線性運算法則 例 定義1 一 原函數(shù)與不定積分的概念 原函數(shù)存在定理 簡言之 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù) 問題 1 原函數(shù)是否唯一 例 為任意常數(shù) 2 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系 定理8 1 關(guān)于原函數(shù)的說明 1 若 則對于任意常數(shù) 2 若和都是的原函數(shù) 則 為任意常數(shù) 證 為任意常數(shù) 定理8 2 根據(jù)定義 如果F x 是f x 的一個原函數(shù) 則 其中C是任意常數(shù) 稱為積分常數(shù) 二 不定積分 定義2函數(shù)f x 的所有原函數(shù)稱為f x 的不定積分 不定積分的相關(guān)名稱 叫做積分號 f x 叫做被積函數(shù) f x dx 叫做被積表達式 x 叫做積分變量 例 例 例 解 求微分與求積分的互逆關(guān)系 函數(shù)f x 的原函數(shù)的圖形稱為f x 的積分曲線 函數(shù)f x 的積分曲線也有無限多條 函數(shù)f x 的不定積分表示f x 的一簇積分曲線 而f x 正是積分曲線的斜率 三 不定積分的幾何意義 例求過點 1 3 且其切線斜率為2x的曲線方程 解 設(shè)所求的曲線方程為y f x 則y f x 2x 即f x 是2x的一個原函數(shù) 因為所求曲線通過點 1 3 故3 1 C C 2 于是所求曲線方程為y x2 2 1 3 所以y f x x2 C 實例 啟示 能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式 結(jié)論 既然積分運算和微分運算是互逆的 因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式 四 基本積分公式 基本積分表 是常數(shù) 說明 簡寫為 例求積分 解 根據(jù)積分公式 2 例 例 例 證 等式成立 此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況 五 不定積分的性質(zhì) 定理3若函數(shù) 與 在區(qū)間 存在原函數(shù) 為兩個任意常數(shù) 則 也存在原函數(shù) 且 上都 例1 則 例2 例3 例4 例5 例 例 例 例 例 例 例 例 例 例求積分 解 說明 以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行恒等變形 才能使用基本積分表 基本積分表 1 不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念 不定積分的概念 求微分與求積分的互逆關(guān)系 小結(jié) 作業(yè) P181 1 2 3 4 5 1 16 思考題 符號函數(shù) 在內(nèi)是否存在原函數(shù) 為什么 思考題解答 不存在 假設(shè)有原函數(shù) 故假設(shè)錯誤 所以在內(nèi)不存在原函數(shù) 結(jié)論 每一個含有第一類間斷點的函數(shù)都沒有原函數(shù)