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第十二章傅立葉級數(shù) 一 歷史淵源 傅立葉 Fourier 1768 1830 在熱傳導研究 始于1807 1822年發(fā)表 熱的解析理論 中 Fourier提出用三角級數(shù)表示周期函數(shù) 法國數(shù)學家 物理學家 二 地位及發(fā)展產(chǎn)生嚴格的數(shù)學概念 函數(shù) 黎曼積分 數(shù)學理論 調和分析 微分方程求解 集合論等 工程應用 頻譜分析 FFT1960 JPEG 小波分析 1980 JPEG2000 對自然界的深入研究是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的最豐富源泉 Fourier Fourier與小波變換發(fā)展概況 1822年Fourier變換 在頻域的定位最準確 無任何時域定位能力 函數(shù) 時域定位完全準確 頻域無任何定位能力1946年Gabor變換 STFT 窗函數(shù)的大小和形狀與時間和頻率無關而保持固定不變 不構成正交基 1982年Burt提出金字塔式圖像壓縮編碼 子帶編碼 subbandcoding 多采樣率濾波器組 multiratesamplingfilterbank 1910年Harr提出規(guī)范正交基 1981年Stormberg對Harr系進行改進 證明了小波函數(shù)的存在 1984年 Morlet提出了連續(xù)小波1985年 Meyer Grossmann Daubecies提出離散的小波基1986年 Meyer證明了不可能存在時域頻域同時具有正則性的正交小波基 證明了小波的自正交性 1987年 Mallat統(tǒng)一了多分辨率分析和小波變換 給出了快速算法 Fourier與小波的應用領域 J Morlet 地震信號分析 S Mallat 二進小波用于圖像的邊緣檢測 圖像壓縮和重構Farge 連續(xù)小波用于渦流研究Wickerhauser 小波包用于圖像壓縮 Frisch噪聲的未知瞬態(tài)信號 Dutilleux語音信號處理H Kim時頻分析Beykin正交小波用于算子和微分算子的簡化 信號處理 圖像處理 模式識別 語音識別 量子物理 地震勘探流體力學 電磁場 CT成象 機器視覺 機械故障診斷 分形 數(shù)值計算 第一節(jié)傅里葉級數(shù) 一 三角級數(shù) 正交函數(shù)系 二 以為周期的函數(shù)的Fourier級數(shù) 三 收斂定理內(nèi)容 一 三角級數(shù) 三角函數(shù)系的正交性 1 三角級數(shù) 諧波分析 三角級數(shù) 2 三角函數(shù)系的正交性 三角函數(shù)系 正交函數(shù)系 二 函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) 問題 若能展開 是什么 傅里葉系數(shù) 傅里葉系數(shù) 解 三 收斂定理 展開的條件是什么 問題 2 函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成冪級數(shù)的條件低的多 注意 和函數(shù)圖象為 解 所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件