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專題4 函數(shù)的性質(zhì) 【典例解析】 1.（必修1第44頁復(fù)習(xí)參考題A組第9題）已知函數(shù)在上具有單調(diào)性， 求實數(shù)的取值范圍. 【解析】方法一：的對稱軸，要使函數(shù)在上具有單調(diào)性，則或，解得的取值范圍或. 方法二：可逆向思考，若時，在區(qū)間上無單調(diào)性，解得： 取它的補集得：的取值范圍或. 【反思回顧】（1）知識反思；函數(shù)單調(diào)性的概念，二次函數(shù)及其性質(zhì)； （2）解題反思；本題已知區(qū)間有單調(diào)性，而對稱軸不確定，即為軸動區(qū)間定問題?？上惹蟪龆魏瘮?shù)含有參數(shù)的對稱軸方程，再根據(jù)題中條件所給的區(qū)間建立方程或不等式求出參數(shù)的范圍。 2.（必修1第39頁習(xí)題1.3題A組第6題）已知函數(shù) 是定義域在R 上的奇函數(shù)， 當 時，。畫出函數(shù)的圖象，并求出函數(shù)的解析式。 【答案】見解析 【解析】設(shè)時，則，又當時，，則 又是定義域在R 上的奇函數(shù)；所以 則得：，可得； 【反思回顧】（1）知識反思；函數(shù)奇偶性的概念，二次函數(shù)的圖像； （2）解題反思；本題先利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱畫出函數(shù)的圖象，在利用奇函數(shù)的定義求出函數(shù)的解析式．利用奇偶性求函數(shù)解析式，此類問題的一般做法是： ①“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間求解析式，x就設(shè)在哪個區(qū)間內(nèi)． ②利用的奇偶性f(x) =－f(－ x)或f(x) =f(－x) ③要利用已知區(qū)間的解析式進行代入，從而解出f(x) ． 3.（必修1第39頁復(fù)習(xí)參考題B組第3題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，而且在上是減函數(shù)， 判斷在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的判斷. 【解析】在上是減函數(shù)； 證明：設(shè)x1＜x2＜0則-x1＞-x2＞0， ∵在（0，+∞）上是增函數(shù)∴f（-x1）＞f（-x2） 又是偶函數(shù)∴f（-x1）=f（x1），f（-x2）=x2） ∴f（x1）＞f（x2）∴在（-∞，0）上是減函數(shù)。 【反思回顧】（1）知識反思；函數(shù)奇偶性與單調(diào)性 （2）解題反思；本題為抽象函數(shù)單調(diào)性的證明，可由條件出發(fā)，遵循單調(diào)性的證明步驟（設(shè)，作差，下結(jié)論），關(guān)鍵需借助偶函數(shù)的性質(zhì)進行替換，完成證明。同時啟發(fā)我們注意函數(shù)性質(zhì)之間的聯(lián)系。 【知識背囊】 1.函數(shù)的單調(diào)性 (1)單調(diào)函數(shù)的定義 增函數(shù) 減函數(shù) 定義 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2 當x1f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù) 圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的 (2)單調(diào)區(qū)間的定義 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間. 2.函數(shù)的最值 前提 設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足 條件 (1)對于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)對于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 結(jié)論 M為最大值 M為最小值 3.函數(shù)的奇偶性 奇偶性 定義 圖象特點 偶函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù) 關(guān)于y軸對稱 奇函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù) 關(guān)于原點對稱 4.函數(shù)的周期性 (1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期. (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期. 【變式訓(xùn)練】 變式1.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】函數(shù)圖像是開口向上的拋物線，其對稱軸是，由已知函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞減可知區(qū)間應(yīng)在直線的左側(cè)，∴，解得，故選D． 變式2.已知函數(shù)f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在區(qū)間(－∞，3)上是減函數(shù)，則a的取值范圍 是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】當a＝0時，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是減函數(shù)； 當a≠0時，由得0

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