新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第8章 平面解析幾何 第6節(jié) 拋物線學(xué)案 理 北師大版
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1、 1
2、 1 第六節(jié) 拋物線 [考綱傳真] (教師用書獨(dú)具)1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率).2.理解數(shù)形結(jié)合思想.3.了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用. (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第141頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1.拋物線的定義 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過(guò)F)的距離相等的點(diǎn)的集合叫作拋物線.點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn),直
3、線l叫作拋物線的準(zhǔn)線. 2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) p的幾何意義:焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離 圖形 頂點(diǎn) O(0,0) 對(duì)稱軸 y=0 x=0 焦點(diǎn) F F F F 離心 率 e=1 準(zhǔn)線方程 x=- x= y=- y= 范圍 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 焦半徑(其中P(x0,y0)) |PF|=x0+ |PF|=-x0+ |PF|=y(tǒng)0+ |PF|
4、=-y0+ [知識(shí)拓展] 已知y2=2px,過(guò)焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),l的傾斜角為θ,如圖8-6-1,則 圖8-6-1 (1)|AB|=x1+x2+p=; (2)x1x2=,y1y2=-p2; (3)+=; (4)S△AOB=; (5)|CD|=2p,即通徑,通徑是過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦中最短的弦. [基本能力自測(cè)] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線.( ) (2)方程y=ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線,且其
5、焦點(diǎn)坐標(biāo)是,準(zhǔn)線方程是x=-.( ) (3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形,又是軸對(duì)稱圖形.( ) (4)AB為拋物線y2=2px(p>0)的過(guò)焦點(diǎn)F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=,y1y2=-p2,弦長(zhǎng)|AB|=x1+x2+p.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.拋物線y=x2的準(zhǔn)線方程是( ) A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2 A [∵y=x2,∴x2=4y,∴準(zhǔn)線方程為y=-1.] 3.(教材改編)若拋物線y=4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是( ) A. B. C. D
6、.0 B [M到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點(diǎn)的距離,又準(zhǔn)線方程為y=-,設(shè)M(x,y),則y+=1,∴y=.] 4.頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸是y軸,并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-4,-2)的拋物線方程是________. x2=-8y [設(shè)拋物線的方程為x2=my,將點(diǎn)P(-4,-2)代入x2=my,得m=-8,所以拋物線方程是x2=-8y.] 5.(20xx·浙江高考)若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是________. 9 [設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x,則點(diǎn)M到準(zhǔn)線x=-1的距離為x+1,由拋物線的定義知x+1=10,∴x=9, ∴點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第1
7、42頁(yè)) 拋物線的定義及應(yīng)用 (1)已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn),若=4 ,則|QF|=( ) A. B. C.3 D.2 (2)(20xx·全國(guó)卷Ⅱ)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn),則|FN|=________. (1)C (2)6 [(1)∵=4 , ∴||=4||, ∴=. 如圖,過(guò)Q作QQ′⊥l,垂足為Q′,設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為A,則|AF|=4, ∴==, ∴|QQ′|=3. 根據(jù)拋物線定義可知|QF|=|QQ′|
8、=3. (2)如圖,不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi),拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線,垂足為點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)P,∴PM∥OF. 由題意知,F(xiàn)(2,0),|FO|=|AO|=2. ∵點(diǎn)M為FN的中點(diǎn),PM∥OF, ∴|MP|=|FO|=1. 又|BP|=|AO|=2, ∴|MB|=|MP|+|BP|=3. 由拋物線的定義知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6.] [規(guī)律方法] 應(yīng)用拋物線定義的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) (1)由拋物線定義,把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化. (2)注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x,y)到焦點(diǎn)F的距離|PF|=|x|+或|PF
9、|=|y|+. [跟蹤訓(xùn)練] (1)(20xx·廣東汕頭調(diào)研)已知P是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),Q是圓(x-3)2+(y-1)2=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),N(1,0)是一個(gè)定點(diǎn),則|PQ|+|PN|的最小值為( ) A.3 B.4 C.5 D.+1 (2)動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)(1,0),且與直線x=-1相切,則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140289】 (1)A (2)y2=4x [(1)由拋物線方程y2=4x,可得拋物線的焦點(diǎn)F(1,0),又N(1,0),所以N與F重合. 過(guò)圓(x-3)2+(y-1)2=1的圓心M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MH,交圓于Q,交拋物
10、線于P,則|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|-1=3. (2)設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x,y),則圓心到點(diǎn)(1,0)的距離與到直線x=-1的距離相等,根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡方程為y2=4x.] 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) (1)點(diǎn)M(5,3)到拋物線y=ax2的準(zhǔn)線的距離為6,那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是( ) A.x2=y(tǒng) B.x2=y(tǒng)或x2=-y C.x2=-y D.x2=12y或x2=-36y (2)(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn).已知|AB|=4,|DE|=2,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為( )
11、 A.2 B.4 C.6 D.8 (1)D (2)B [(1)將y=ax2化為x2=y(tǒng). 當(dāng)a>0時(shí),準(zhǔn)線y=-,則3+=6,∴a=. 當(dāng)a<0時(shí),準(zhǔn)線y=-,則=6,∴a=-. ∴拋物線方程為x2=12y或x2=-36y. (2)設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),圓的方程為x2+y2=r2. ∵|AB|=4,|DE|=2, 拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-, ∴不妨設(shè)A,D. ∵點(diǎn)A,D在圓x2+y2=r2上, ∴∴+8=+5,∴p=4(負(fù)值舍去). ∴C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.] [規(guī)律方法] 1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 (1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法
12、,因?yàn)槲粗獢?shù)只有p,所以只需一個(gè)條件確定p值即可. (2)拋物線方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式,因此求拋物線方程時(shí),需先定位,再定量. 2.研究拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程,必須把拋物線化成標(biāo)準(zhǔn)方程,正確的求出p. [跟蹤訓(xùn)練] (1)(20xx·河南中原名校聯(lián)考)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),M為拋物線上一點(diǎn),且|MF|=4|OF|,△MFO的面積為4,則拋物線的方程為 ( ) A.y2=6x B.y2=8x C.y2=16x D.y2= (2)若拋物線y2=2x上一點(diǎn)M到它的焦點(diǎn)F的距離為,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△MFO的面積為( ) A. B. C. D.
13、 (1)B (2)B [(1)設(shè)M(x,y),因?yàn)閨OF|=,|MF|=4|OF|, 所以|MF|=2p, 由拋物線定義知x+=2p, 所以x=p,所以y=±p. 又△MFO的面積為4, 所以××p=4,解得p=4(p=-4舍去). 所以拋物線的方程為y2=8x. (2)由題意知, 拋物線準(zhǔn)線方程為x=-. 設(shè)M(a,b),由拋物線的定義可知, 點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為, 所以a=1, 代入拋物線方程y2=2x, 解得b=±, 所以S△MFO=××=.] 直線與拋物線的位置關(guān)系 ◎角度1 直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題 (20xx·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xO
14、y中,直線l:y=t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C:y2=2px(p>0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N,連接ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H. (1)求; (2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)?說(shuō)明理由. [解] (1)如圖,由已知得M(0,t),P. 又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn), 故N, 故直線ON的方程為y=x, 將其代入y2=2px整理得px2-2t2x=0, 解得x1=0,x2=.因此H. 所以N為OH的中點(diǎn),即=2. (2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點(diǎn).理由如下: 直線MH的方程為y-t=x,即x=(y-t). 代入y2=2px得y2-4ty
15、+4t2=0,解得y1=y(tǒng)2=2t, 即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn), 所以除H以外,直線MH與C沒有其他公共點(diǎn). ◎角度2 與拋物線弦長(zhǎng)或中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題 (20xx·北京高考)已知拋物線C:y2=2px過(guò)點(diǎn)P(1,1).過(guò)點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點(diǎn)A,B,其中O為原點(diǎn). (1)求拋物線C的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程; (2)求證:A為線段BM的中點(diǎn). [解] (1)由拋物線C:y2=2px過(guò)點(diǎn)P(1,1),得p=. 所以拋物線C的方程為y2=x. 拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為x=-. (2)證明:由題意,
16、設(shè)直線l的方程為y=kx+(k≠0),l與拋物線C的交點(diǎn)為M(x1,y1),N(x2,y2). 由得4k2x2+(4k-4)x+1=0, 則x1+x2=,x1x2=. 因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1),所以直線OP的方程為y=x,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1,x1). 直線ON的方程為y=x,點(diǎn)B的坐標(biāo)為. 因?yàn)閥1+-2x1= = = ==0, 所以y1+=2x1, 故A為線段BM的中點(diǎn). [規(guī)律方法] 解決直線與拋物線位置關(guān)系問(wèn)題的三種常用方法 (1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓的位置關(guān)系類似,一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系. (2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題,要注意直線是否過(guò)拋
17、物線的焦點(diǎn),若過(guò)拋物線的焦點(diǎn),可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不過(guò)焦點(diǎn),則必須用弦長(zhǎng)公式. (3)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)等相關(guān)問(wèn)題時(shí),一般采用“設(shè)而不求,整體代入”的解法. 提醒:涉及弦的中點(diǎn)、弦所在直線的斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解. [跟蹤訓(xùn)練] 已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,拋物線C與直線l1:y=-x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8. (1)求拋物線C的方程; (2)不過(guò)原點(diǎn)的直線l2與l1垂直,且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A,B,若線段AB的中點(diǎn)為P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面積. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140290】 [解] (1)易知直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8,-8), ∴(-8)2=2p×8,∴2p=8,∴拋物線方程為y2=8x. (2)直線l2與l1垂直,故可設(shè)直線l2:x=y(tǒng)+m,A(x1,y1),B(x2,y2),且直線l2與x軸的交點(diǎn)為M. 由得y2-8y-8m=0, Δ=64+32m>0,∴m>-2. y1+y2=8,y1y2=-8m, ∴x1x2==m2. 由題意可知OA⊥OB,即x1x2+y1y2=m2-8m=0, ∴m=8或m=0(舍), ∴直線l2:x=y(tǒng)+8,M(8,0). 故S△FAB=S△FMB+S△FMA=·|FM|·|y1-y2| =3=24.
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