《2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 第五章 不等式、推理與證明、算法初步與復(fù)數(shù) 考點(diǎn)測試39 數(shù)學(xué)歸納法 理(含解析).docx》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 第五章 不等式、推理與證明、算法初步與復(fù)數(shù) 考點(diǎn)測試39 數(shù)學(xué)歸納法 理(含解析).docx(9頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
考點(diǎn)測試39 數(shù)學(xué)歸納法
高考概覽
考綱研讀
1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理
2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題
一、基礎(chǔ)小題
1.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n-3)條時(shí),第一步檢驗(yàn)第一個(gè)值n0等于( )
A.1 B.2 C.3 D.0
答案 C
解析 邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形.
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+an=,a≠1,n∈N*”,在驗(yàn)證n=1時(shí),左邊是( )
A.1 B.1+a
C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
答案 B
解析 當(dāng)n=1時(shí),代入原式有左邊=1+a.故選B.
3.對于不等式≤n+1(n∈N*),某學(xué)生的證明過程如下:
①當(dāng)n=1時(shí),≤1+1,不等式成立.
②假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí),不等式成立,即≤k+1,則n=k+1時(shí),=<==(k+1)+1.所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.
上述證法( )
A.過程全都正確
B.n=1檢驗(yàn)不正確
C.歸納假設(shè)不正確
D.從n=k到n=k+1的推理不正確
答案 D
解析 n=1的驗(yàn)證及歸納假設(shè)都正確,但從n=k到n=k+1的推理中沒有使用歸納假設(shè),而通過不等式的放縮法直接證明,不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求,故選D.
4.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+++…+
(n∈N*)成立,其初始值至少應(yīng)取( )
A.7 B.8 C.9 D.10
答案 B
解析 左邊=1+++…+==2-,代入驗(yàn)證可知n的最小值是8.故選B.
7.下列代數(shù)式(其中k∈N*)能被9整除的是( )
A.6+67k B.2+7k-1
C.2(2+7k+1) D.3(2+7k)
答案 D
解析?、佼?dāng)k=1時(shí),顯然只有3(2+7k)能被9整除.
②假設(shè)當(dāng)k=n(n∈N*)時(shí),命題成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36,
這就是說,k=n+1時(shí)命題也成立.
由①②可知,命題對任何k∈N*都成立.故選D.
8.設(shè)f(n)=++…+,n∈N+,那么f(n+1)-f(n)=( )
A. B.
C.+ D.-
答案 D
解析 f(n+1)-f(n)=++…++---…-=+-=-.
9.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),xn+yn能被x+y整除”的第二步是( )
A.假使n=2k+1時(shí)正確,再推n=2k+3正確(k∈N*)
B.假使n=2k-1時(shí)正確,再推n=2k+1正確(k∈N*)
C.假使n=k時(shí)正確,再推n=k+1正確(k∈N*)
D.假使n≤k(k≥1)時(shí)正確,再推n=k+2時(shí)正確(k∈N*)
答案 B
解析 因?yàn)閚為正奇數(shù),根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟,第二步應(yīng)先假設(shè)第k個(gè)正奇數(shù)也成立,本題即假設(shè)n=2k-1正確,再推第k+1個(gè)正奇數(shù),即n=2k+1正確.
10.已知1+23+332+433+…+n3n-1=3n(na-b)+c對一切n∈N*都成立,則a,b,c的值為( )
A.a(chǎn)=,b=c= B.a(chǎn)=b=c=
C.a(chǎn)=0,b=c= D.不存在這樣的a,b,c
答案 A
解析 ∵等式對一切n∈N*均成立,∴n=1,2,3時(shí)等式成立,即整理得解得a=,b=c=.
11.在數(shù)列{an}中,a1=且Sn=n(2n-1)an,通過計(jì)算a2,a3,a4,猜想an的表達(dá)式是________.
答案 an=
解析 因?yàn)镾n=n(2n-1)an,當(dāng)n=2,3,4時(shí),得出a2=,a3=,a4=.
a1==,a2==,a3==,
a4==.
∴an=.
12.已知f(n)=1+++…+(n∈N*),用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)>時(shí),f(2k+1)-f(2k)=________.
答案 ++…+
解析 ∵f(2k+1)=1+++…++++…+,f(2k)=1+++…+,
∴f(2k+1)-f(2k)=++…+.
二、高考小題
本考點(diǎn)在近三年高考中未涉及此題型.
三、模擬小題
13.(2018山東淄博質(zhì)檢)設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿足:當(dāng)f(k)≥k+1成立時(shí),總能推出f(k+1)≥k+2成立,那么下列命題總成立的是( )
A.若f(1)<2成立,則f(10)<11成立
B.若f(3)≥4成立,則當(dāng)k≥1時(shí),均有f(k)≥k+1成立
C.若f(2)<3成立,則f(1)≥2成立
D.若f(4)≥5成立,則當(dāng)k≥4時(shí),均有f(k)≥k+1成立
答案 D
解析 當(dāng)f(k)≥k+1成立時(shí),總能推出f(k+1)≥k+2成立,說明如果當(dāng)k=n時(shí),f(n)≥n+1成立,那么當(dāng)k=n+1時(shí),f(n+1)≥n+2也成立,所以如果當(dāng)k=4時(shí),f(4)≥5成立,那么當(dāng)k≥4時(shí),f(k)≥k+1也成立.
一、高考大題
1.(2017浙江高考)已知數(shù)列{xn}滿足:x1=1,xn=xn+1+ln (1+xn+1)(n∈N*).
證明:當(dāng)n∈N*時(shí),
(1)00.
當(dāng)n=1時(shí),x1=1>0.
假設(shè)n=k時(shí),xk>0,
那么n=k+1時(shí),
若xk+1≤0,則00.
因此xn>0(n∈N*).
所以xn=xn+1+ln (1+xn+1)>xn+1.
因此00(x>0),
函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)≥f(0)=0,
因此x-2xn+1+(xn+1+2)ln (1+xn+1)
=f(xn+1)≥0,
故2xn+1-xn≤(n∈N*).
(3)因?yàn)閤n=xn+1+ln (1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,
所以xn≥.
由≥2xn+1-xn得-≥2>0,
所以-≥2≥…≥2n-1=2n-2,
故xn≤.
綜上,≤xn≤(n∈N*).
2.(2015江蘇高考)已知集合X={1,2,3},Yn={1,2,3,…,n}(n∈N*),設(shè)Sn={(a,b)|a整除b或b整除a,a∈X,b∈Yn}.令f(n)表示集合Sn所含元素的個(gè)數(shù).
(1)寫出f(6)的值;
(2)當(dāng)n≥6時(shí),寫出f(n)的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
解 (1)f(6)=13.
(2)當(dāng)n≥6時(shí),
f(n)=(t∈N*).
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=6時(shí),f(6)=6+2++=13,結(jié)論成立;
②假設(shè)n=k(k≥6)時(shí)結(jié)論成立,那么n=k+1時(shí),Sk+1在Sk的基礎(chǔ)上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中產(chǎn)生,分以下情形討論:
a.若k+1=6t,則k=6(t-1)+5,此時(shí)有
f(k+1)=f(k)+3=k+2+++3
=(k+1)+2++,結(jié)論成立;
b.若k+1=6t+1,則k=6t,此時(shí)有
f(k+1)=f(k)+1=k+2+++1=(k+1)+2++,結(jié)論成立;
c.若k+1=6t+2,則k=6t+1,此時(shí)有
f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2
=(k+1)+2++,結(jié)論成立;
d.若k+1=6t+3,則k=6t+2,此時(shí)有
f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2
=(k+1)+2++,結(jié)論成立;
e.若k+1=6t+4,則k=6t+3,此時(shí)有
f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2
=(k+1)+2++,結(jié)論成立;
f.若k+1=6t+5,則k=6t+4,此時(shí)有
f(k+1)=f(k)+1=k+2+++1
=(k+1)+2++,結(jié)論成立.
綜上所述,結(jié)論對滿足n≥6的自然數(shù)n均成立.
二、模擬大題
3.(2018常德月考)設(shè)a>0,f(x)=,令a1=1,an+1=f(an),n∈N*.
(1)寫出a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
解 (1)∵a1=1,∴a2=f(a1)=f(1)=;
a3=f(a2)==;
a4=f(a3)==.
猜想an=(n∈N*).
(2)證明:①易知,n=1時(shí),猜想正確.
②假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí)猜想正確,即ak=,
則ak+1=f(ak)==
==.
這說明,n=k+1時(shí)猜想正確.
由①②知,對于任何n∈N*,都有an=.
4.(2018福建三明月考)已知xi>0(i=1,2,3,…,n),我們知道(x1+x2)+≥4成立.
(1)求證:(x1+x2+x3)++≥9;
(2)同理我們也可以證明出(x1+x2+x3+x4)+++≥16.由上述幾個(gè)不等式,請你猜測一個(gè)與x1+x2+…+xn和++…+(n≥2,n∈N*)有關(guān)的不等式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
解 (1)證法一:(x1+x2+x3)++
≥33=9.
證法二:(x1+x2+x3)++
=3++++++
≥3+2+2+2=9.
(2)猜想(x1+x2+…+xn)++…+,
≥n2(n≥2,n∈N*).
證明如下:
①當(dāng)n=2時(shí),由已知得猜想成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),猜想成立,即
(x1+x2+…+xk)++…+≥k2,
則當(dāng)n=k+1時(shí),
(x1+x2+…+xk+xk+1)++…++
=(x1+x2+…+xk)++…+
+(x1+x2+…+xk)
+xk+1++…++1
≥k2+(x1+x2+…+xk)
+xk+1++…++1
=k2+++++…
+++1≥k2+2+2+…++1
=k2+2k+1=(k+1)2,
所以當(dāng)n=k+1時(shí)原式成立.
結(jié)合①②可知,猜想成立.
鏈接地址:http://www.3dchina-expo.com/p-6308446.html