《2019屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 模塊六 概率與統(tǒng)計 第20講 概率與統(tǒng)計學(xué)案 理.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 模塊六 概率與統(tǒng)計 第20講 概率與統(tǒng)計學(xué)案 理.docx（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
第20講 概率與統(tǒng)計
1.[2018全國卷Ⅰ]某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗,如檢驗出不合格品,則更換為合格品.檢驗時,先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗,再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0
0;
當(dāng)p∈(0.1,1)時,f(p)<0.
所以f(p)的最大值點為p0=0.1.
(2)由(1)知,p=0.1.
(i)令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù),依題意知Y~B(180,0.1),X=202+25Y,即X=40+25Y,
所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.
(ii)如果對余下的產(chǎn)品作檢驗,則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費用為400元.
由于EX>400,故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗.
2.解:(1)利用模型①,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y=-30.4+13.519=226.1(億元).
利用模型②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y=99+17.59=256.5(億元).
(2)利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.
理由如下:
(i)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線y=-30.4+13.5t上下,這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近,這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢,因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.
(ii)從計算結(jié)果看,相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理,說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.
(以上給出了2種理由,答出其中任意一種或其他合理理由均可)
3.解:(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”,C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”.
由題意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).
舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為
(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)5=0.62,
故P(B)的估計值為0.62.
新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg的頻率為
(0.068+0.046+0.010+0.008)5=0.66,
故P(C)的估計值為0.66.
因此,事件A的概率估計值為0.620.66=0.409 2.
(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表:
箱產(chǎn)量<50 kg
箱產(chǎn)量≥50 kg
舊養(yǎng)殖法
62
38
新養(yǎng)殖法
34
66
K2=200(6266-3438)210010096104≈15.705.
由于15.705>6.635,故有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).
(3)因為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中,箱產(chǎn)量低于50 kg的直方圖面積為
(0.004+0.020+0.044)5=0.34<0.5,
箱產(chǎn)量低于55 kg的直方圖面積為
(0.004+0.020+0.044+0.068)5=0.68>0.5,
故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為
50+0.5-0.340.068≈52.35(kg).
考點考法探究
解答1
例1 解:(1)由題意,甲、乙、丙三人在30分鐘以上且不超過60分鐘還車的概率分別為14,13,12.
設(shè)“甲、乙兩人所付費用之和等于丙所付費用”為事件M,
則P(M)=342312+141312=724.
(2)隨機變量ξ的所有可能取值為2,2.5,3,3.5,4.
由題意知P(ξ=2)=342312=14,P(ξ=2.5)=341312+142312=524,
P(ξ=3)=342312+141312=724,P(ξ=3.5)=341312+142312=524,
P(ξ=4)=141312=124,
所以甲、乙、丙三人所付費用之和ξ的分布列為
ξ
2
2.5
3
3.5
4
P
14
524
724
524
124
所以E(ξ)=214+2.5524+3724+3.5524+4124=6724.
【自我檢測】
解:(1)由題可知:
商品單價/元
a
0.9a
0.85a
0.8a
0.75a
0.7a
頻率
0.2
0.3
0.24
0.12
0.1
0.04
所以估計X的平均值h=a0.2+0.9a0.3+0.85a0.24+0.8a0.12+0.75a0.1+0.7a0.04=0.873a.
(2)經(jīng)銷商購買單價不高于h的概率為0.24+0.12+0.1+0.04=12,高于h的概率為0.2+0.3=12.
Y的可能取值為5000,10 000,15 000,20 000.
則P(Y=5000)=1234=38,
P(Y=10 000)=1214+123434=1332,
P(Y=15 000)=12C211434=316,
P(Y=20 000)=121414=132.
所以Y的分布列為
Y
5000
10 000
15 000
20 000
P
38
1332
316
132
E(Y)=500038+10 0001332+15 000316+20 000132=9375.
解答2
例2解:(1)由題意可知,樣本平均值x=561+584+6012+6220+648+66550=61.8.
(2)①由題意得,校園某天出現(xiàn)重度噪音污染的概率為110,出現(xiàn)輕度噪音污染的概率為110.
設(shè)事件A為“周一至周五的五天中恰有兩天校園出現(xiàn)重度噪音污染而其余三天都是輕度噪音污染”,
則P(A)=C5211021103=110 000.
②由題意得X~B3,110,
則P(X=k)=C3k110k9103-k,k=0,1,2,3.
故X的分布列為
X
0
1
2
3
P
7291000
2431000
271000
11000
D(X)=np(1-p)=27100.
【自我檢測】
解:(1)完整的22聯(lián)表如下:
文科生
理科生
總計
獲獎
5
35
40
不獲獎
45
115
160
總計
50
150
200
由表中數(shù)據(jù)可得K2的觀測值k=200(5115-3545)24016050150=256≈4.167>3.841,
所以有超過95%的把握認為是否獲獎與學(xué)生的文理科有關(guān).
(2)由表中數(shù)據(jù)可知,抽到獲獎學(xué)生的概率為15,
將頻率視為概率,所以X可取0,1,2,3且X~B3,15,
則P(X=k)=C3k15k1-153-k(k=0,1,2,3),
故X的分布列為
X
0
1
2
3
P
64125
48125
12125
1125
E(X)=np=315=35.
解答3
例3 解:(1)設(shè)該班男生人數(shù)為x,則女生人數(shù)為x+4,由條件可得x2x+4=511,
解得x=20,故該班男生有20人,女生有24人.
(2)由條件知在該班隨機抽取一名學(xué)生,估計該同學(xué)持滿意態(tài)度的概率為611.
(3)由題意知ξ的可能取值為0,1,2,ξ服從超幾何分布,
則P(ξ=0)=C60C52C112=211,P(ξ=1)=C61C51C112=611,P(ξ=2)=C62C50C112=311,
故ξ的分布列為
ξ
0
1
2
P
211
611
311
E(ξ)=0211+1611+2311=1211.
解答4
例4 解:(1)剩下的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率是1-4C52=35.
(2)由已知數(shù)據(jù)得∑i=13xiyi=1126+1332+1226=1014,x=13(11+13+12)=12,y=13(26+32+26)=28,3xy=31228=1008,∴∑i=13xiyi-3xy=1014-1008=6.∵∑i=13xi2=112+132+122=434,3x2=3122=432,∴∑i=13xi2-3x2=434-432=2,∴b=∑i=13xiyi-3xy∑i=13xi2-3x2=62=3,∴a=y-bx=28-312=-8.故y關(guān)于x的線性回歸方程為y=3x-8.
(3)當(dāng)x=10時,y =3x-8=310-8=22,|22-23|≤1;
當(dāng)x=8時,y =3x-8=38-8=16,|16-16|≤1.故(2)中得到的線性回歸方程是可靠的.
例5 解:(1)22列聯(lián)表如下:
甲班
乙班
總計
成績優(yōu)良
9
16
25
成績不優(yōu)良
11
4
15
總計
20
20
40
根據(jù)表中的數(shù)據(jù),得K2的觀測值k=40(94-1611)225152020≈5.227>5.024,
∴在犯錯的概率不超過0.025的前提下認為“成績是否優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”.
(2)由表可知在8人中成績不優(yōu)良的人數(shù)約為15408=3,則X的可能取值為0,1,2,3.
P(X=0)=C53C83=528,P(X=1)=C31C52C83=1528,
P(X=2)=C32C51C83=1556,P(X=3)=C33C83=156.
∴X的分布列為
X
0
1
2
3
P
528
1528
1556
156
E(X)=0528+11528+21556+3156=98.
【自我檢測】
解:(1)甲班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為122+1142=118,
乙班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為128+1282=128.
補充完整的乙班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示.
(2)由莖葉圖可知,乙班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均水平高于甲班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均水平.甲班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的分散程度高于乙班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的分散程度.
(3)由莖葉圖可知,甲、乙兩班數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)分別為10,14.若從中用分層抽樣的方法選出12人,則應(yīng)從甲、乙兩班分別選出5人、7人.設(shè)“選出的12人中恰含有甲、乙兩班所有140分以上的學(xué)生”為事件A,
則P(A)=C22C83C105C33C114C147=29552=5234.
所以選出的12人中恰含有甲、乙兩班所有140分以上的學(xué)生的概率為5234.
[備選理由] 所給3個例題分別圍繞二項分布的期望,超幾何分布的期望,統(tǒng)計與概率的綜合等知識展開,旨在強化解題訓(xùn)練,熟悉試題題型與處理方法.
例1 [配例1使用] [2018北京卷] 電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:
電影類型
第一類
第二類
第三類
第四類
第五類
第六類
電影部數(shù)
140
50
300
200
800
510
好評率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好評率是指:一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.
假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨立.
(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;
(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部,估計恰有1部獲得好評的概率;
(3)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等,用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡,“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小關(guān)系.
解:(1)由題意知,樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000,
第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是2000.25=50.
故所求概率為502000=0.025.
(2)設(shè)事件A為“從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評”,
事件B為“從第五類電影中隨機選出的電影獲得好評”.
故所求概率為P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)
=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).
由題意知:P(A)估計為0.25,P(B)估計為0.2.
故所求概率估計為0.250.8+0.750.2=0.35.
(3)Dξ1>Dξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6.
例2 [配例3使用] 為發(fā)展業(yè)務(wù),某公司市場部準(zhǔn)備從國內(nèi)n(n∈N*)個人口超過1000萬的超大城市和8個人口低于100萬的小城市中隨機抽取若干個進行調(diào)查統(tǒng)計.若一次抽取2個城市,則全是小城市的概率為415.
(1)求n的值.
(2)若一次抽取4個城市,
①假設(shè)取出小城市的個數(shù)為X,求X的分布列和期望;
②求取出的4個城市是同一類城市且全為超大城市的概率.
解:(1)從n+8個城市中取出2個城市,共有Cn+82種情況,其中全是小城市的情況有C82種,
故全是小城市的概率是C82Cn+82=87(n+8)(n+7)=415,
∴(n+8)(n+7)=210=1514,∴n+7=14,故n=7.
(2)①X的可能取值為0,1,2,3,4.
則P(X=0)=C80C74C154=139,P(X=1)=C81C73C154=839,P(X=2)=C82C72C154=2865,P(X=3)=C83C71C154=56195,P(X=4)=C84C70C154=239.
故X的分布列為
X
0
1
2
3
4
P
139
839
2865
56195
239
E(X)=0139+1839+22865+356195+4239=3215.
②若4個城市全是超大城市,共有C74=35(種)情況;若4個城市全是小城市,共有C84=70(種)情況.
故所求概率為C74C84+C74=3570+35=13.
例3 [配例4使用] 某市氣象站觀測點記錄的連續(xù)4天AQI指數(shù)(空氣質(zhì)量指數(shù))M與當(dāng)天的水平能見度y(單位:km)的情況如表1:
表1
M
400
300
200
100
y
0.5
3.5
6.5
9.5
該市某月AQI指數(shù)的頻數(shù)分布表如表2:
表2
M
[0,100]
(100,200]
(200,300]
(300,400]
(400,500]
頻數(shù)
3
6
12
6
3
(1)設(shè)x=M100,根據(jù)表1的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的回歸方程;
(參考公式:y=bx+a,其中b=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2,a=y-bx)
(2)小張開了一家洗車店,經(jīng)統(tǒng)計,當(dāng)M不大于200時,洗車店平均每天虧損約2000元;當(dāng)M大于200不大于400時,洗車店平均每天收入約4000元;當(dāng)M大于400時,洗車店平均每天收入約7000元.根據(jù)表2估計小張的洗車店該月平均每天的收入.
解:(1)x=14(4+3+2+1)=2.5,
y=14(0.5+3.5+6.5+9.5)=5,
則b=40.5+33.5+26.5+19.5-42.5542+32+22+1-42.52=-3,
a=5-(-3)2.5=12.5,
故y=-3x+12.5.
(2)由表2知AQI指數(shù)不大于200的頻率為930=0.3,
AQI指數(shù)大于200不大于400的頻率為1830=0.6,
AQI指數(shù)大于400的頻率為0.1,
設(shè)洗車店每天的收入為X,則X的分布列為
X
-2000
4000
7000
P
0.3
0.6
0.1
則E(X)=-20000.3+40000.6+70000.1=2500.
故小張的洗車店該月平均每天的收入為2500元.
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