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課時跟蹤訓練(三十九) 直接證明與間接證明
[基礎鞏固]
一、選擇題
1．設a、b∈R，若a－|b|>0，則下列不等式中正確的是( )
A．b－a>0 B．a(chǎn)3＋b3<0
C．a(chǎn)2－b2<0 D．b＋a>0
[解析] ∵a－|b|>0，∴|b|
0.∴－a0.
[答案] D
2．“a＝”是“對任意正數(shù)x，均有x＋≥1”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 ．既不充分也不必要條件
[解析] 當a＝時，x＋≥2＝1，當且僅當x＝，即x＝時取等號；反之，顯然不成立．
[答案] A
3．已知m>1，a＝－，b＝－，則以下結論正確的是( )
A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)＋>0(m>1)，
∴<，
即a1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一個大于1”的條件是( )
A．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤
[解析] 若a＝，b＝，則a＋b>1，
但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，則ab>1，故⑤推不出；
對于③，即a＋b>2，則a，b中至少有一個大于1，
反證法：假設a≤1且b≤1，
則a＋b≤2與a＋b>2矛盾，
因此假設不成立，a，b中至少有一個大于1.
[答案] C
5．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證 0 B．a(chǎn)－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
[解析] 由題意知0
?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.
[答案] C
6．設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)單調遞減，若x1＋x2>0，則f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒為負 B．恒等于零
C．恒為正 D．無法確定正負
[解析] 由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)單調遞減，可知f(x)是R上的減函數(shù)．
由x1＋x2>0，可知x1>－x2，則f(x1)b>0，m＝－，n＝，則m，n的大小關系是________．
[解析] 解法一(取特殊值法)：取a＝2，b＝1，則m?a0，顯然成立．
[答案] m0，b>0，如果不等式＋≥恒成立，則m的最大值為________．
[解析] 因為a>0，b>0，所以2a＋b>0.所以不等式可化為m≤(2a＋b)＝5＋2.因為5＋2≥5＋4＝9，即其最小值為9，所以m≤9，即m的最大值等于9.
[答案] 9
三、解答題
10．設a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：
(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1.
[證明] (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由題設得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因為＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.
[能力提升]
11．已知函數(shù)f(x)＝x，a，b是正實數(shù)，A＝f，B＝f()，C＝f，則A，B，C的大小關系為( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
[解析] ∵≥≥，又f(x)＝x在R上是減函數(shù)，∴f≤f()≤f.
[答案] A
12．設x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y(tǒng)＋，c＝z＋，則a，b，c三數(shù)( )
A．至少有一個不大于2 B．都大于2
C．至少有一個不小于2 D．都小于2
[解析] a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，所以至少有一個不小于2.故選C.
[答案] C
13．已知非零向量a，b，且a⊥b，求證：≤ .
[證明] ∵a⊥b，∴ab＝0，
要證≤ ，
只需證|a|＋|b|≤ |a＋b|，
只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2ab＋b2)，
只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，
只需證|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，
即(|a|－|b|)2≥0，
上式顯然成立，故原不等式得證．
14．已知函數(shù)u(x)＝lnx的反函數(shù)為v(x)，f(x)＝xv(x)－ax2＋bx，且函數(shù)f(x)在點(0，f(0))處的切線的傾斜角為45.
(1)求實數(shù)b的值；
(2)若a0)無零點．
[解] (1)因為函數(shù)u(x)＝lnx的反函數(shù)為v(x)，所以v(x)＝ex，
所以f(x)＝xex－ax2＋bx，所以f′(x)＝ex＋xex－2ax＋b.
因為函數(shù)f(x)在點(0，f(0))處的切線的傾斜角為45，所以f′(0)＝tan45＝1，
即e0＋0e0－2a0＋b＝1，解得b＝0.
(2)證明：由(1)知，f(x)＝xex－ax2.
假設函數(shù)f(x)＝xex－ax2(x>0)有零點，
則f(x)＝0在(0，＋∞)上有解，即a＝在(0，＋∞)上有解．
設g(x)＝(x>0)，則g′(x)＝(x>0)．
當01時，g′(x)>0.
所以g(x)≥g(x)min＝g(1)＝e，所以a≥e，但這與條件a0，證明： －≥a＋－2.
[證明] 要證 －≥a＋－2，
只需證 ＋2≥a＋＋.
∵a>0，∴兩邊均大于零，
∴只需證2≥2，
即證a2＋＋4＋4 ≥a2＋＋2＋2＋2，
只需證 ≥，
只需證a2＋≥，
即證a2＋≥2，它顯然成立．
∴原不等式成立.
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