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1、新編高考數學復習資料 學案12　函數模型及其應用 導學目標： 1.能夠應用函數知識構造函數模型，解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題.2.能利用函數與方程、不等式之間的關系，解決一些簡單問題． 自主梳理 1．幾種常見函數模型 (1)一次函數模型：y＝kx＋b(k、b為常數，k≠0)； (2)反比例函數模型：y＝＋b(k、b為常數，k≠0)； (3)二次函數模型：y＝ax2＋bx＋c(a、b、c為常數，a≠0)，二次函數模型是高中階段應用最為廣泛的模型，在高考的應用題考查中是最為常見的； (4)指數函數模型：y＝kax＋b(k、a、b為常數，k≠0，a>0且a≠1)； (5)對數

2、函數模型：y＝mlogax＋n(m、n、a為常數，m≠0，a>0且a≠1)； (6)冪函數模型：y＝axn＋b(a、b、n為常數，a≠0，n≠0)； (7)分式函數模型：y＝x＋(k>0)； (8)分段函數模型． 2．解應用題的方法和步驟 用框圖表示如下： 自我檢測 1． 某工廠八年來某種產品總產量C與時間t(年)的函數關系如圖所示，下列四種說法： ①前三年中產量增長速度越來越快； ②前三年中產量增長的速度越來越慢； ③第三年后，這種產品停止生產； ④第三年后，年產量保持不變． 其中說法正確的是________．(填上正確的序號) 2．(2011·廣州模擬)計

3、算機的價格大約每3年下降，那么今年花8 100元買的一臺計算機，9年后的價格大約是________元． 3．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為________． 4．(2009·浙江)某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個時間段進行分時計價．該地區(qū)的電網銷售電價表如下： 高峰時間段用電價格表 高峰月用電量 (單位：千瓦時) 高峰電價 (單位：元/千瓦時) 50及以下的部分 0.568 超過50至200的部分 0.598 超過2

4、00的部分 0.668 低谷時間段用電價格表 低谷月用電量 (單位：千瓦時) 低谷電價 (單位：元/千瓦時) 50及以下的部分 0.288 超過50至200的部分 0.318 超過200的部分 0.388 若某家庭5月份的高峰時間段用電量為200千瓦時，低谷時間段用電量為100千瓦時，則按這種計費方式該家庭本月應付的電費為________元(用數字作答)． 5．一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.0

5、9 mg/mL，那么，一個喝了少量酒后的駕駛員，至少經過________小時，才能開車？(精確到1小時) 探究點一　一次函數、二次函數模型 例1　某化工廠引進一條先進生產線生產某種化工產品，其生產的總成本y(萬元)與年產量x(噸)之間的函數關系式可以近似地表示為y＝－48x＋8 000，已知此生產線年產量最大為210噸． (1)求年產量為多少噸時，生產每噸產品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每噸產品平均出廠價為40萬元，那么當年產量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？ 變式遷移1　(2010·江蘇啟東中學模擬)即將開工的上海與周邊城市的城際列車鐵

6、路線將大大緩解交通的壓力，加速城市之間的流通．根據測算，如果一列火車每次拖4節(jié)車廂，每天能來回16次；如果每次拖7節(jié)車廂，則每天能來回10次．每天來回次數是每次拖掛車廂個數的一次函數，每節(jié)車廂一次能載客110人，試問每次應拖掛多少節(jié)車廂才能使每天營運人數最多？并求出每天最多的營運人數．(注：營運人數指火車運送的人數)． 探究點二　分段函數模型 例2　據氣象中心觀察和預測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數圖象如圖所示，過線段OC上一點T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側部分的面積即為t(h)內沙塵暴所經過的路程

7、s(km)． (1)當t＝4時，求s的值； (2)將s隨t變化的規(guī)律用數學關系式表示出來； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由． 變式遷移2　某市居民自來水收費標準如下：每戶每月用水不超過4噸時，每噸為1.80元，當用水超過4噸時，超過部分每噸3.00元．某月甲、乙兩戶共交水費y元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x,3x(噸)． (1)求y關于x的函數； (2)若甲、乙兩戶該月共交水費26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費．

8、 探究點三　指數函數模型 例3　諾貝爾獎發(fā)放方式為：每年一發(fā)，把獎金總額平均分成6份，獎勵給分別在6項(物理、化學、文學、經濟學、生理學和醫(yī)學、和平)為人類作出最有益貢獻的人，每年發(fā)放獎金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半，另一半利息作基金總額，以便保證獎金數逐年增加．假設基金平均年利率為r＝6.24%.資料顯示：1999年諾貝爾獎發(fā)放后基金總額約為19 800萬美元．設f(x)表示第x(x∈N*)年諾貝爾獎發(fā)放后的基金總額(1999年記為f(1)，2000年記為f(2)，…，依次類推)． (1)用f(1)表示f(2)與f(3)，并根據所求結果歸納出函數f(x)的表達式； (2

9、)試根據f(x)的表達式判斷網上一則新聞“2009年度諾貝爾獎各項獎金高達150萬美元”是否為真，并說明理由． (參考數據：1.031 29＝1.32) 變式遷移3　現有某種細胞100個，其中有占總數的細胞每小時分裂一次，即由1個細胞分裂成2個細胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經過多少小時，細胞總數可以超過1010個？ (參考數據：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301) 1．解答應用問題的程序概括為“四步八字”，即(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇模型； (2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數

10、學知識，建立相應的數學模型； (3)求模：求解數學模型，得出數學結論； (4)還原：將數學結論還原為實際問題的意義． 2．考查函數模型的知識表現在以下幾個方面： (1)利用函數模型的單調性比較數的大??； (2)比較幾種函數圖象的變化規(guī)律，證明不等式或求解不等式； (3)函數性質與圖象相結合，運用“數形結合”解答一些綜合問題． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．(2011·南京模擬)擬定甲地到乙地通話m分鐘的電話費f(m)＝1.06×(0.5×[m]＋1)(單位：元)，其中m>0，[m]表示不大于m的最大整數(如[3.72])＝3，[4]＝4)，當m

11、∈[0.5,3.1]時，函數f(m)的值域是_______________． 2．國家規(guī)定個人稿費納稅辦法是：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4 000元的按超過800元部分的14%納稅；超過4 000元的按全部稿酬的11%納稅．已知某人出版一本書，共納稅420元，這個人應得稿費(扣稅前)為________元． 3．(2011·淮安模擬)生產一定數量的商品的全部費用稱為生產成本，某企業(yè)一個月生產某種商品x萬件時的生產成本為C(x)＝x2＋2x＋20(萬元)．一萬件售價是20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個月應生產該商品數量為________萬件． 4．據某校環(huán)保小組調查，某區(qū)

12、垃圾量的年增長率為b,2009年產生的垃圾量為a t，由此預測，該區(qū)下一年的垃圾量為__________t,2014年的垃圾量為__________t. 5．(2010·金華十校3月聯考)有一批材料可以建成200 m長的圍墻，如果用此批材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣材料隔成三個面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成場地的最大面積為________(圍墻的厚度不計)． 6．已知每生產100克餅干的原材料加工費為1.8元．某食品加工廠對餅干采用兩種包裝，其包裝費用、銷售價格如下表所示： 型號 小包裝 大包裝 重量 100克 300克 包裝費 0.5元 0.7

13、元 銷售價格 3.00元 8.4元 則下列說法中正確的是________(填序號) ①買小包裝實惠；②買大包裝實惠；③賣3小包比賣1大包盈利多；④賣1大包比賣3小包盈利多． 7．(2011·蘇州調研)一水池有2個進水口，1個出水口，進出水速度如圖甲、乙所示．某天0點到6點，該水池的蓄水量如圖丙所示．(至少打開一個水口) 給出以下3個論斷： ①0點到3點只進水不出水； ②3點到4點不進水只出水； ③4點到6點不進水不出水． 則一定正確的論斷序號是________． 8．(2011·常州模擬)為了保證信息安全，傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下

14、： 明文密文密文明文 已知加密為y＝ax－2(x為明文、y為密文)，如果明文“3”通過加密后得到密文為“6”，再發(fā)送，接受方通過解密得到明文“3”，若接受方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文是________． 二、解答題(共42分) 9．(14分)(2010·湖南師大附中仿真)設某企業(yè)每月生產電機x臺，根據企業(yè)月度報表知，每月總產值m(萬元)與總支出n(萬元)近似地滿足下列關系：m＝x－，n＝－x2＋5x＋，當m－n≥0時，稱不虧損企業(yè)；當m－n<0時，稱虧損企業(yè)，且n－m為虧損額． (1)企業(yè)要成為不虧損企業(yè)，每月至少要生產多少臺電機？ (2)當月總產值為多少時，企業(yè)虧損最嚴重，

15、最大虧損額為多少？ 10．(14分)某單位用2 160萬元購得一塊空地，計劃在該塊地上建造一棟至少10層、每層2 000平方米的樓房．經測算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費用為560＋48x(單位：元)．為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？(注：平均綜合費用＝平均建筑費用＋平均購地費用，平均購地費用＝) 11．(14分)某賓館有相同標準的床位100張，根據經驗，當該賓館的床價(即每張床每天的租金)不超過10元時，床位可以全部租出，當床位高于10元時，每提高1元，將有3張床位空閑．為了獲得較好的效益，該賓館要給床位

16、一個合適的價格，條件是：①要方便結賬，床價應為1元的整數倍；②該賓館每日的費用支出為575元，床位出租的收入必須高于支出，而且高出得越多越好．若用x表示床價，用y表示該賓館一天出租床位的凈收入(即除去每日的費用支出后的收入)． (1)把y表示成x的函數，并求出其定義域； (2)試確定該賓館將床位定價為多少時，既符合上面的兩個條件，又能使凈收入最多？ 答案 自我檢測 1．②③ 2．300 解析　由題意知，9年后價格為8 100×()3＝300(元)． 3．45.6 解析　依題意，可設甲銷售x輛， 則乙銷售(15－x)輛， ∴總利潤S＝5.06x－0.15x2

17、＋2(15－x) ＝－0.15x2＋3.06x＋30 (x≥0)． ∴當x＝10時，Smax＝45.6(萬元)． 4．148.4 解析　高峰時段的電價由兩部分組成，前50千瓦時電價為50×0.568元，后150千瓦時為150×0.598元．低谷時段的電價由兩部分組成，前50千瓦時電價為50×0.288元，后50千瓦時為50×0.318元，∴電價為50×0.568＋150×0.598＋50×0.288＋50×0.318＝148.4(元)． 5．5 解析　設x小時后，血液中的酒精含量不超過0.09 mg/mL， 則有0.3·x≤0.09，即x≤0.3. 估算或取對數計算，得5小時后

18、，可以開車． 課堂活動區(qū) 例1　解　(1)每噸平均成本為(萬元)． 則＝＋－48 ≥2－48＝32， 當且僅當＝，即x＝200時取等號． ∴年產量為200噸時，每噸平均成本最低為32萬元． (2)設年獲得總利潤為R(x)萬元， 則R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000 ＝－＋88x－8 000 ＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)． ∵R(x)在[0,210]上是增函數， ∴x＝210時，R(x)有最大值為－×(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴年產量為210噸時，可獲得最大利潤1 660萬元． 變式遷移1　解　設這列火車每天

19、來回次數為t次，每次拖掛車廂n節(jié)，則設t＝kn＋b. 由解得 ∴t＝－2n＋24. 設每次拖掛n節(jié)車廂每天營運人數為y， 則y＝tn×110×2＝2(－220n2＋2 640n)， 當n＝＝6時，總人數最多為15 840人． 答　每次應拖掛6節(jié)車廂才能使每天的營運人數最多為15 840人． 例2　解　(1)由圖象可知： 當t＝4時，v＝3×4＝12(km/h)， ∴s＝×4×12＝24(km)． (2)當0≤t≤10時，s＝·t·3t＝t2， 當10

20、－20)×30－×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550. 綜上，可知s＝ (3)∵t∈[0,10]時，smax＝×102＝150<650， t∈(10,20]時，smax＝30×20－150＝450<650， ∴當t∈(20,35]時，令－t2＋70t－550＝650. 解得t1＝30，t2＝40.∵204時，

21、y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8. 當乙的用水量超過4噸，即3x>4時， y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6. 所以y＝ (2)由于y＝f(x)在各段區(qū)間上均單調遞增， 當x∈時，y≤f<26.4； 當x∈時，y≤f<26.4； 當x∈時，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5. 所以甲戶用水量為5x＝7.5噸， 付費S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)； 乙戶用水量為3x＝4.5噸， 付費S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)． 例3　解題導引　指數函數模型的應用是高考的一個主要內

22、容，常與增長率相結合進行考查．在實際問題中有人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以用指數函數模型來表示．通常可表示為y＝a(1＋p)x (其中a為原來的基礎數，p為增長率，x為時間)的形式． 解　(1)由題意知：f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%)， f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)－f(2)×6.24% ＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2， ∴f(x)＝19 800(1＋3.12%)x－1(x∈N*)． (2)2008年諾貝爾獎發(fā)放后基金總額為f(10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26

23、 136， 故2009年度諾貝爾獎各項獎金為·f(10)·6.24%≈136(萬美元)，與150萬美元相比少了約14萬美元，是假新聞． 變式遷移3　解　現有細胞100個，先考慮經過1,2,3,4個小時后的細胞總數， 1小時后，細胞總數為 ×100＋×100×2＝×100； 2小時后，細胞總數為 ××100＋××100×2＝×100； 3小時后，細胞總數為 ××100＋××100×2＝×100； 4小時后，細胞總數為 ××100＋××100×2＝×100； 可見，細胞總數y與時間x(小時)之間的函數關系為： y＝100×()x，x∈N*， 由100×()x>1010，得

24、()x>108， 兩邊取以10為底的對數， 得xlg>8，∴x>， ∵＝≈45.45， ∴x>45.45. 答　經過46小時，細胞總數可以超過1010個． 課后練習區(qū) 1．{1.06,1.59,2.12,2.65} 解析　當0.5≤m<1時，[m]＝0，f(m)＝1.06； 當1≤m<2時，[m]＝1，f(m)＝1.59； 當2≤m<3時，[m]＝2，f(m)＝2.12； 當3≤m≤3.1時，[m]＝3，f(m)＝2.65. 2．3 800 解析　設扣稅前應得稿費為x元，則應納稅額為分段函數，由題意， 得y＝ 如果稿費為4 000元應納稅為448元，現知某人共納稅

25、420元，所以稿費應在800～4 000元之間， ∴(x－800)×14%＝420，∴x＝3 800. 3．18 解析　利潤L(x)＝20x－C(x) ＝－(x－18)2＋142， 當x＝18時，L(x)有最大值． 4．a(1＋b)　a(1＋b)5 解析　由于2009年的垃圾量為a t，年增長率為b，故下一年的垃圾量為a＋ab＝a(1＋b) t，同理可知2011年的垃圾量為a(1＋b)2t，…，2014年的垃圾量為a(1＋b)5 t. 5．2 500 m2 解析　設所圍場地的長為x，則寬為，其中0

26、成立． 6．②④ 7．① 解析　0點到3點蓄水增加，速度為2單位/小時，故只進水不出水；3點到4點蓄水減少，速度為1單位/小時，故開了1個進水口和1個出水口，4點到6點蓄水不變，速度為0，故開了2個進水口和1個出水口． ∴①正確，②③錯誤． 8．4 解析　依題意y＝ax－2中，當x＝3時，y＝6， 故6＝a3－2，解得a＝2. 所以加密為y＝2x－2，因此，當y＝14時，由14＝2x－2，解得x＝4. 9．解　(1)由已知， m－n＝x－－ ＝x2－x－2.……………………………………………………………………………(4分) 由m－n≥0，得x2－2x－8≥0，解得x≤－

27、2或x≥4. 據題意，x>0，所以x≥4. 故企業(yè)要成為不虧損企業(yè)，每月至少要生產4臺電機．………………………………(7分) (2)若企業(yè)虧損最嚴重，則n－m取最大值． 因為n－m＝－x2＋5x＋－x＋ ＝－＝－(x－1)2.………………………………………………………(11分) 所以當x＝1時，n－m取最大值， 此時m＝－＝. 故當月總產值為萬元時，企業(yè)虧損最嚴重，最大虧損額為萬元．……………(14分) 10．解　設樓房每平方米的平均綜合費用為f(x)元， 則f(x)＝(560＋48x)＋＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)．…………(6分) ∵f(x)＝560＋48

28、(x＋)≥560＋48·2＝560＋48×30＝2 000.……………(12分) 當且僅當x＝時，上式取等號，即x＝15時，f(x)min＝2 000. 所以樓房應建15層．……………………………………………………………………(14分) 11．解　(1)依題意有 y＝………………………………………………(4分) 由于y>0且x∈N*， 由　得6≤x≤10，x∈N*. 由 得1010時，y＝－3x2＋130x－575，當且僅當x＝－＝時，y取最大值，但x∈N*，所以當x＝22時，y＝－3x2＋130x－575 (10