3、根據(jù)一元二次方程的解的個(gè)數(shù)(也就是方程組解的個(gè)數(shù))來判斷．
如果Δ<0，方程無實(shí)數(shù)解，從而方程組也無實(shí)數(shù)解，那么直線與圓相離；
如果Δ＝0，方程有唯一實(shí)數(shù)解，從而方程組也有唯一一組實(shí)數(shù)解，那么直線與圓相切；
如果Δ>0，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，從而方程組也有兩組不同的實(shí)數(shù)解，那么直線與圓相交．
提醒：直線與圓的位置關(guān)系的判斷多用幾何法．
3.【2015高考山東，理9】一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（ ）
（A）或 （B） 或 （C）或 （D）或
【答案】D
【考點(diǎn)定位】1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直
4、線的方程；3、直線與圓的位置關(guān)系.
【名師點(diǎn)睛】本題考查了圓與直線的方程的基礎(chǔ)知識(shí)，重點(diǎn)考查利用對(duì)稱性解決直線方程的有關(guān)問題以及直線與圓的位置關(guān)系的判斷，意在考查學(xué)生對(duì)直線與直線、直線與圓的位置關(guān)系的理解與把握以及學(xué)生的運(yùn)算求解能力.
4.【2015高考新課標(biāo)2，理7】過三點(diǎn)，，的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則( )
A．2 B．8 C．4 D．10
【答案】C
【解析】由已知得，，所以，所以，即為直角三角形，其外接圓圓心為，半徑為，所以外接圓方程為，令，得，所以，故選C．
【考點(diǎn)定位】圓的方程．
【名師點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓方程，要注意邊
5、之間斜率的關(guān)系，得出是直角三角形，可以簡(jiǎn)潔快速地求出外接圓方程，進(jìn)而求弦的長(zhǎng)，屬于中檔題．
5. 【2015高考重慶，理8】已知直線l：x+ay-1=0（aR）是圓C：的對(duì)稱軸.過點(diǎn)A（-4，a）作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|= ?。ā 。?
A、2 B、 C、6 D、
【答案】C
【解析】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，
因此，，
即，.選C.
【考點(diǎn)定位】直線與圓的位置關(guān)系.
【名師點(diǎn)晴】首先圓是一個(gè)對(duì)稱圖形，它關(guān)于圓心成中心對(duì)稱，關(guān)于每一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸，當(dāng)然其對(duì)
6、稱軸一定過圓心，其次直線與圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系，判斷方法可用幾何與代數(shù)兩種方法研究，圓的切線長(zhǎng)我們用勾股定理求解，設(shè)圓外一點(diǎn)到圓的距離為，圓的半徑為，則由點(diǎn)所作切線的長(zhǎng)．
6. 【2014福建,理6】直線與圓相交于兩點(diǎn)，則是“的面積為”的（ ）
充分而不必要條件 必要而不充分條件
充分必要條件 既不充分又不必要條件
【答案】A
考點(diǎn)：1.直線與圓的位置關(guān)系.2.充要條件.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、三角形的面積及充分條件與必要條件等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查轉(zhuǎn)化劃歸能力及運(yùn)算能力，充分條件與必要條件多以客觀題形式出
7、現(xiàn).相關(guān)結(jié)論是：若 ,則p是q的充分條件,q是p的必要條件.
7. 【2014福建,理9】設(shè)分別為和橢圓上的點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的最大距離是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
考點(diǎn)：1.直線與圓的位置關(guān)系.2.數(shù)形結(jié)合的思想.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查圓與橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)，及劃歸思想.本題解法的關(guān)鍵是把兩點(diǎn)間的最大距離轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上的點(diǎn)的最大距離再加上圓的半徑，注意與圓錐曲線有關(guān)的試題，一般運(yùn)算量比較大，要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.
二、填空題
1.【2014江蘇，理9】在平面直角坐標(biāo)系中，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為 .
【答案】
【解析】圓的圓心
8、為，半徑為，點(diǎn)到直線的距離為，
所求弦長(zhǎng)為．
【考點(diǎn)】直線與圓相交的弦長(zhǎng)問題．
【名師點(diǎn)晴】求圓的弦長(zhǎng)的常用方法
(1)幾何法：設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長(zhǎng)為l，則2＝r2－d2.
(2)代數(shù)方法：運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式：
|AB|＝|x1－x2|＝.
注意：常用幾何法研究圓的弦的有關(guān)問題．
2. 【2015江蘇高考，10】在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
【答案】
【解析】由題意得：半徑等于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以半徑最大為，所求圓為
【考點(diǎn)定位】直線與圓位置關(guān)系
【名師點(diǎn)晴】利用圓的幾何性質(zhì)求方程
9、可直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程.圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑建立關(guān)系解決問題．當(dāng)半徑表示為關(guān)于m的函數(shù)后，利用基本不等式求最值，需注意一正二定三相等的條件.
3. 【2015高考陜西，理15】設(shè)曲線在點(diǎn)（0,1）處的切線與曲線上點(diǎn)處的切線垂直，則的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【考點(diǎn)定位】1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、兩條直線的位置關(guān)系．
【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩條直線的位置關(guān)系，屬于容易題．解題時(shí)一定要注意考慮直線的斜率是否存在，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．解導(dǎo)數(shù)的幾何意義問題時(shí)一定要抓住切點(diǎn)的三重作用：①切點(diǎn)在曲線上；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)處
10、的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率．
4. 【2014高考陜西版文第12題】若圓的半徑為1，其圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______.
【答案】
【解析】
試題分析：因?yàn)閳A心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以圓心坐標(biāo)為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故答案為
考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱，，屬于容易題．解題時(shí)利用對(duì)稱性求出
圓心坐標(biāo)，就可以寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
5. 【2014新課標(biāo)，理16】設(shè)點(diǎn)M（,1），若在圓O:上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，則的取值范圍是________.
【答案】
【解析】由題意知：直線MN與圓O有公共點(diǎn)即可，即
11、圓心O到直線MN的距離小于等于1即可，如圖，
過OA⊥MN，垂足為A，在中，因?yàn)椤螼MN=45，
所以=，
解得，因?yàn)辄c(diǎn)M（,1），所以，解得，
故的取值范圍是.
【考點(diǎn)定位】直線與圓的位置關(guān)系
【名師點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題，直線與直線設(shè)出角的求法，數(shù)形結(jié)合是快速解得本題的策略之一．
6. 【2014四川，理14】設(shè)，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是 .
【答案】
【考點(diǎn)定位】1、直線與圓；2、重要不等式.
【名師點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值時(shí)，要注意“一正，二定，三相等”.
7.【2014高考重慶理第13題】已知
12、直線與圓心為的圓相交于兩點(diǎn)，且為等邊三角形，則實(shí)數(shù)_________.
【答案】
【解析】
試題分析：由題設(shè)圓心到直線的距離為
解得：
所以答案應(yīng)填：.
考點(diǎn)：1、直線與圓的位置關(guān)系；2、點(diǎn)到直線的距離公式.
【名師點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，等邊三角形的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題，注意仔細(xì)分析題目條件，將等邊三角形這一條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離是非常關(guān)鍵的.
8.【2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷12】直線和將單位圓分成長(zhǎng)度相等的四段弧，則 .
【答案】2
【解析】
試題分析：依題意，設(shè)與單位圓相交于兩點(diǎn)，則∠°
13、.如圖，當(dāng)時(shí)滿足題意，所以.
考點(diǎn)：直線與圓相交，相等弧的概念，容易題.
【名師點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，夯實(shí)基礎(chǔ)，注重基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，能較好的考查學(xué)生動(dòng)手作圖能力、基本知識(shí)的識(shí)記能力和靈活運(yùn)用能力，鍛煉學(xué)生的嚴(yán)密地邏輯推理能力.
9. 【2015高考湖北，理14】如圖，圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸交于兩點(diǎn)（在的上方）， 且．
（Ⅰ）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；
（Ⅱ）過點(diǎn)任作一條直線與圓相交于兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：
①； ②； ③．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是 . （寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）
14、【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③
【解析】（Ⅰ）依題意，設(shè)（為圓的半徑），因?yàn)?，所以，所以圓心，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（Ⅱ）聯(lián)立方程組，解得或，因?yàn)樵诘纳戏剑?
所以，，
令直線的方程為，此時(shí)，，
所以，，，
因?yàn)椋?
所以，
，
正確結(jié)論的序號(hào)是①②③.
【考點(diǎn)定位】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系.
【名師點(diǎn)睛】用特例代替題設(shè)所給的一般性條件，得出特殊結(jié)論，然后對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，從而做出正確的判斷，這種方法叫做特殊法. 若結(jié)果為定值，則可采用此法. 特殊法是“小題小做”的重要策略. 常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等．
10.【
15、2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知直線：與圓交于兩點(diǎn)，過
分別做的垂線與軸交于兩點(diǎn)，若，則__________________.
【答案】4
考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系．
11.【2016高考上海理數(shù)】已知平行直線，則的距離___________.
【答案】
【解析】試題分析：
利用兩平行線間距離公式得.
考點(diǎn)：兩平行線間距離公式.
【名師點(diǎn)睛】確定兩平行線間距離，關(guān)鍵是注意應(yīng)用公式的條件，即的系數(shù)應(yīng)該分別相同，本題較為容易，主要考查考生的基本運(yùn)算能力.
三、解答題
1. 【2015高考廣東，理20】已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，．
（1）求圓的圓心坐標(biāo)；
16、
（2）求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)：若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）由得，
∴ 圓的圓心坐標(biāo)為；
（2）設(shè)，則
∵ 點(diǎn)為弦中點(diǎn)即，
∴ 即，
∴ 線段的中點(diǎn)的軌跡的方程為；
（3）由（2）知點(diǎn)的軌跡是以為圓心為半徑的部分圓?。ㄈ缦聢D所示，不包括兩端點(diǎn)），且，，又直線：過定點(diǎn)，
當(dāng)直線與圓相切時(shí)，由得，
又，結(jié)合上圖可知當(dāng)時(shí)，直線：與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)．
【考點(diǎn)定位】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、軌跡方程、直線斜率等知識(shí)與數(shù)形結(jié)合思想等應(yīng)用．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查圓的普通
17、方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程、軌跡方程、直線斜率等知識(shí)，轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力，屬于中高檔題，本題（1）（2）問相對(duì)簡(jiǎn)單，但第（2）問需注意取值范圍（），對(duì)于第（3）問如果能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合把曲線與直線的圖形畫出求解則可輕易突破難點(diǎn)．
2. 【2013江蘇，理17】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y＝2x－4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.
(1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；
(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.
【答案】(1) y＝3或3x＋4y－12＝0.；(2)
【解析】
解：
18、(1)由題設(shè)，圓心C是直線y＝2x－4和y＝x－1的交點(diǎn)，解得點(diǎn)C(3,2)，于是切線的斜率必存在.
設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為y＝kx＋3，
由題意，＝1，解得k＝0或，
故所求切線方程為y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)因?yàn)閳A心在直線y＝2x－4上，所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A＝2MO，
所以，化簡(jiǎn)得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以點(diǎn)M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上．
由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則|2－1|≤CD≤2＋1，
即.
由5a2－
19、12a＋8≥0，得a∈R；
由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.
【考點(diǎn)定位】本小題主要考查直線與圓的方程，考查直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)思想方法分析解決問題的能力.
【名師點(diǎn)晴】1．圓的切線問題(1)過圓x2＋y2＝r2(r＞0)上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2；
(2)過圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一點(diǎn)M(x0，y0)引切線，有兩條，求方程的方法是待定系數(shù)法，圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑建立關(guān)系解決問題．
2．兩圓位置關(guān)系的判斷常用幾何法，
20、即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．
3. 【2013課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，理20】(本小題滿分12分)已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程；
(2)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|.
【解析】：由已知得圓M的圓心為M(－1,0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r2＝3.
設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.
(1)因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋
21、(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為(x≠－2)．
(2)對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，
所以R≤2，當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí)，R＝2.
所以當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為(x－2)2＋y2＝4.
若l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得|AB|＝.
所以|AB|＝.
當(dāng)時(shí)，由圖形的對(duì)稱性可知|AB|＝.
綜上，|AB|＝或|AB|＝.
【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義、弦長(zhǎng)公式、直線的方程，考查考生的運(yùn)算能力、化簡(jiǎn)能力以及數(shù)形結(jié)合
22、的能力.
4．【2014天津，理18】設(shè)橢圓（）的左、右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．已知．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與該圓相切，求直線的斜率．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直線的斜率為或．
【解析】
試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為．由，可得，又，則，∴橢圓的離心率．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故橢圓方程為．設(shè)．由，，有，．由已知，有，即．又，故有………………①
又∵點(diǎn)在橢圓上，故………………②
由①和②可得．而點(diǎn)不是橢圓的頂點(diǎn)，故，代入①得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)圓的圓心為，則，，進(jìn)而圓的半徑．設(shè)直線的斜率為，依題
23、意，直線的方程為．由與圓相切，可得，
即，整理得，解得．
∴直線的斜率為或．
考點(diǎn)：1．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)；2．直線和圓的方程；3．直線和圓的位置關(guān)系．
【名師點(diǎn)睛】本題考查求離心率和待定系數(shù)法求橢圓方程，屬于中偏難題目，解決直線與圓錐曲線問題，首先求離心率就是根據(jù)題目所給條件列出一個(gè)關(guān)于的等式，就能求出離心率;其次解決直線與圓錐曲線問題，要求學(xué)生要學(xué)會(huì)設(shè)而不求的解題思想，先設(shè)出直線方程，設(shè)出直線與橢圓的交點(diǎn)，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立方程組，消元后，簡(jiǎn)單方程直接求解，而大多借助一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，通過的關(guān)系及題目的要求解題.直線與圓錐曲線問題為每年高考必考問題，也是備考重
24、點(diǎn).
7.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分16分）
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知以為圓心的圓及其上一點(diǎn)
（1）設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且,求直線的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)滿足：存在圓上的兩點(diǎn)和,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍。
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
試題分析：（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是確定圓心與半徑：根據(jù)直線與x軸相切確定圓心位置，再根據(jù)兩圓外切建立等量關(guān)系求半徑（2）本題實(shí)質(zhì)已知弦長(zhǎng)求直線方程，因此應(yīng)根據(jù)垂徑定理確定等量關(guān)系，求直線方程（3）利用向量加法幾何意義建立等量關(guān)系，根據(jù)圓中弦長(zhǎng)范圍建立
25、不等式，解對(duì)應(yīng)參數(shù)取值范圍
試題解析：解：圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
所以圓心M(6，7)，半徑為5,.
（1）由圓心在直線x=6上，可設(shè).因?yàn)镹與x軸相切，與圓M外切，
所以，于是圓N的半徑為，從而，解得.
因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(3)設(shè)
因?yàn)?所以 ……①
因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上，所以 …….②
將①代入②，得.
于是點(diǎn)既在圓M上，又在圓上，
從而圓與圓有公共點(diǎn)，
所以 解得.
因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍是.
考點(diǎn)：直線方程、圓的方程、直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系、平面向量的運(yùn)算
【名師點(diǎn)睛】直線與圓中三個(gè)定理：切線的性質(zhì)定理，切線長(zhǎng)定理，垂徑定理；兩個(gè)公式：點(diǎn)到直線距離公式及弦長(zhǎng)公式，其核心都是轉(zhuǎn)化到與圓心、半徑關(guān)系上，這是解決直線與圓的根本思路.對(duì)于多元問題，也可先確定主元，如本題以為主元，揭示在兩個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)，從而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓有交點(diǎn)這一位置關(guān)系，這也是解決直線與圓問題的一個(gè)思路，即將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓、圓與圓位置關(guān)系.
三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）真題分項(xiàng)版解析—— 專題08 直線與圓
