2019高考數(shù)學 選擇題 專題04 不等式的證明 理.doc
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專題04 不等式的證明 知識通關(guān) 1．基本不等式 （1）定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立． （2）定理2（基本不等式）：如果a，b>0，那么，當且僅當a=b時，等號成立. 用語言可以表述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù). （3）定理3：如果a，b，c為正數(shù)，那么，當且僅當a＝b＝c時，等號成立． 用語言可以表述為：三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù). （4）算術(shù)平均—幾何平均定理(基本不等式的推廣)：對于n個正數(shù)a1，a2，，an，它們的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù)，即，當且僅當a1=a2==an時，等號成立. 2．柯西不等式 （1）二維形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是實數(shù)，則，當且僅當ad=bc時，等號成立. （2）柯西不等式的向量形式：設α，β是兩個向量，則，當且僅當α是零向量或β是零向量或存在實數(shù)k使α=kβ時，等號成立. （3）二維形式的三角不等式：設x1，y1，x2，y2∈R，那么. （4）一般形式的柯西不等式：設是實數(shù),則()() ≥，當且僅當ai=0或bi=0(i=1,2,,n)或存在一個數(shù)k使得ai=kbi(i=1,2,,n)時，等號成立. 3．不等式證明的方法 （1）比較法 比較法是證明不等式最基本的方法，可分為作差比較法和作商比較法兩種. 名稱 作差比較法 作商比較法 理論依據(jù) a＞b?a－b＞0 a＜b?a－b＜0 a＝b?a－b＝0 b＞0，＞1?a＞b b＜0，＞1?a＜b （2）綜合法與分析法 ①綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)，推導出所要證明的不等式，這種方法叫綜合法．即“由因?qū)Ч钡姆椒ǎ? ②分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已經(jīng)具備，那么就可以判定原不等式成立，這種方法叫分析法．即“執(zhí)果索因”的方法． （3）反證法和放縮法 ①反證法：一般地，假設原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．反證法是間接證明的一種基本方法． ②放縮法：證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到到證明的目的.我們把這種方法稱為放縮法. 基礎(chǔ)通關(guān) 1．比較法證明不等式最常用的是差值比較法，其基本步驟是：作差—變形—判斷差的符號—下結(jié)論.其中“變形”是證明的關(guān)鍵，一般通過因式分解或配方將差式變形為幾個因式的積或配成幾個代數(shù)式平方和的形式，當差式是二次三項式時，有時也可用判別式來判斷差值的符號. 2．綜合法證明的實質(zhì)是由因?qū)Ч?，其證明的邏輯關(guān)系是：A?B1?B2?…?Bn?B(A為已知條件或數(shù)學定義、定理、公理，B為要證結(jié)論)，它的常見書面表達式是“∵，∴”或“?”．解題時，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系．合理進行轉(zhuǎn)換，恰當選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵． 3．當要證的不等式較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆． 題組一 比較法證明不等式 作差(商)證明不等式，關(guān)鍵是對差(商)式進行合理的變形，特別注意作商證明不等式，不等式的兩邊應同號．在使用作商比較法時，要注意說明分母的符號． 【例1】已知函數(shù)，M為不等式的解集. （1）求M； （2）證明：當a，b時，. 【解析】（1） 當時，由得解得； 當時，； 當時，由得解得. 所以的解集. （2）由（1）知，當時，， 從而， 因此 題組二 分析法證明不等式 分析法證明的思路是“執(zhí)果索因”，具體過程如下：→→→→得到一個明顯成立的條件. 【例2】已知函數(shù). （1）求不等式的解集A； （2）若，試證明：. 【解析】（1）若，則，解得，無解； 若，則，解得，故； 若，則，解得，故. 綜上所述，不等式的解集A為. 題組三 反證法證明不等式 反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、公認的簡單事實矛盾等．矛盾是在推理過程中發(fā)現(xiàn)的，不是推理之前設計的． 【例3】設a>0，b>0，且a＋b＝.證明： （1）a＋b≥2； （2）a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時成立． 【解析】由a＋b＝＝，a>0，b>0，得ab＝1. （1）由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2. （2）假設a2＋a<2與b2＋b<2同時成立， 則由a2＋a<2及a>0，得0下載提示(請認真閱讀)
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