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豫南九校2017-2018學(xué)年下期第二次聯(lián)考 高二數(shù)學(xué)（理）試題 第Ⅰ卷（共60分） 一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1. 復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】分析：先將復(fù)數(shù)化為的形式，由此得到復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)，于是可得點(diǎn)所在的象限． 詳解：， 所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第三象限． 故選C． 點(diǎn)睛：由于復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，故求解本題時(shí)可將復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式后即可得到結(jié)論． 2. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)為求解． 詳解：由得， 所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是． 故選D． 點(diǎn)睛：求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式后求解，注意焦點(diǎn)在方程中的一次項(xiàng)對應(yīng)的坐標(biāo)軸上，正（負(fù)）半軸由一次項(xiàng)的符號確定． 3. 下列說法正確的是（ ） A. 命題“若，則”的否命題是“若，則” B. 若，則“”是“”的必要不充分條件 C. 函數(shù)的最小值為 D. 命題“，”的否定是“，” 【答案】B 【解析】分析：對四個(gè)選項(xiàng)逐一分析、排除后可得結(jié)論． 詳解：選項(xiàng)A中，命題的否命題為“若，則”，故A不正確． 選項(xiàng)B中，由可得或，得“”是“”的必要不充分條件，故B正確． 選項(xiàng)C中，應(yīng)用基本不等式時(shí)，等號成立的條件為，此等式顯然不成立，所以函數(shù)的最小值為2不正確，即C不正確． 選項(xiàng)D中，命題的否定為“，”，故D不正確． 故選B． 點(diǎn)睛：本題主要考查相關(guān)概念，解題時(shí)要根據(jù)相應(yīng)的概念進(jìn)行分析、判斷，同時(shí)要注意舉反例等方法的運(yùn)用． 4. 已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象在處的切線方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程得到切線方程． 詳解：∵， ∴， ∴， 又， ∴所求切線方程為，即． 故選C． ................................. 5. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：根據(jù)在上恒成立求解． 詳解：∵， ∴． 又函數(shù) 在上單調(diào)遞增， ∴在上恒成立， 即在上恒成立． ∵當(dāng)時(shí)，， ∴． 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是． 故選A． 點(diǎn)睛：當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；而當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時(shí)，則有在區(qū)間上恒成立．解題時(shí)要注意不等式是否含有等號． 6. 甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被問到是否去過市時(shí)，甲說：我沒去過，乙說：丙去過，丙說：丁去過，丁說：我沒去過.在以上的回答中只有一人回答正確，且只有一人去過市.根據(jù)以上條件，可以判斷去過市的人是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】分析：利用反證法的思想對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一排除可得結(jié)果． 詳解： 假設(shè)甲去過B市，則甲、乙、丙說的都不正確，丁說的正確，符合題意．故A正確． 假設(shè)乙去過B市，則甲、丁說的正確，乙、丙說的不正確，矛盾．故B不正確． 假設(shè)丙去過B市，則甲、乙、丁說的正確，丙說的不正確，矛盾．故C不正確． 假設(shè)丁去過B市，則甲、丙說的正確，乙、丁說的不正確，矛盾，故D不正確． 故選A． 點(diǎn)睛：本題考查推理的應(yīng)用，解題的主要策略就是對所給的結(jié)果逐一排除，注意反證法及特例在解題中的利用． 7. 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“”時(shí)的過程中，由到，不等式的左邊增加的項(xiàng)為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：分別寫出當(dāng)和時(shí)的不等式，比較后可得結(jié)果． 詳解：當(dāng)時(shí)，不等式為； 當(dāng)時(shí)，不等式為 ， 即， 比較可得增加的項(xiàng)為． 故選C． 點(diǎn)睛：數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵是證明由“”時(shí)命題成立，得到“”時(shí)命題也成立，此步的重點(diǎn)在于判斷由到時(shí)等式（或不等式）增加了哪些項(xiàng)，解題時(shí)可寫出和時(shí)對應(yīng)的等式（或不等式），通過比較可得結(jié)果． 8. 已知為等差數(shù)列，，.若為等比數(shù)列，，則類似的結(jié)論是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：類比等差數(shù)列和等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)求解可得結(jié)論．也可直接將等差數(shù)列中的和與積類比成等比數(shù)列中的積和乘方得到結(jié)論． 詳解：在等差數(shù)列中，令， 則， ∴ ， ∴． 在等比數(shù)列中，令，則， ∴， ∴． 故選D． 點(diǎn)睛：等差數(shù)列和等比數(shù)列之間進(jìn)行類比時(shí)，可將等差中的和、積類比成等比數(shù)列中的積、乘方，由此可得到相關(guān)的結(jié)論，但要注意類比的結(jié)論應(yīng)是正確的，因此可通過推理進(jìn)行驗(yàn)證． 9. 將標(biāo)號分別為，，，，的個(gè)小球放入個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一球，則不同的方法種數(shù)為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先將5個(gè)小球分為1,1,3和1,2,2兩類，然后再進(jìn)行分配可得結(jié)果． 詳解：①若5個(gè)小球分為1,1,3三部分后再放在3個(gè)不同的盒子內(nèi)，則不同的方法為種； ②若5個(gè)小球分為1,2,2三部分后再放在3個(gè)不同的盒子內(nèi)，則不同的方法為種． 所以由分類加法計(jì)數(shù)原理可得不同的分法有60+90=150種． 故選A． 點(diǎn)睛：解答排列組合綜合問題時(shí)，一般是選擇先選后排的方法求解．對于分組問題，要分清是平均分組還是不平均分組，對于平均分組問題要注意對出現(xiàn)的重復(fù)結(jié)果的處理． 10. 已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，滿足.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由題意求得等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求解． 詳解：在等比數(shù)列中，由可得 ， 解得． ∴， ∴． 故選D． 點(diǎn)睛：①等差數(shù)列和等比數(shù)列中都有五個(gè)量，這五個(gè)量中知道三個(gè)可求其余兩個(gè)，解題時(shí)注意方程思想的運(yùn)用． ②等差數(shù)列求前n項(xiàng)和時(shí)，要注意“下標(biāo)和”性質(zhì)的運(yùn)用，借助整體代換可簡化計(jì)算過程，提高解題的效率． 11. 已知橢圓與拋物線的交點(diǎn)為 ，連線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且線段的長度等于橢圓的短軸長，則橢圓的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由題意求得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)后代入橢圓的方程，可得間的關(guān)系式，于是可得橢圓的離心率． 詳解：由題意得拋物線的焦點(diǎn)為， ∵連線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且， ∴點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，不妨設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為． 由點(diǎn)B在拋物線上可得， ∴，故點(diǎn)B坐標(biāo)為， 又點(diǎn)B在橢圓上， ∴，整理得， ∴． 故選A． 點(diǎn)睛：求離心率的常用方法有以下兩種： （1）求得的值，直接代入公式求解； （2）列出關(guān)于的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)，消去后轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程(或不等式)求解． 12. 已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），對任意實(shí)數(shù)，都有，則不等式的解集為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由題意構(gòu)造函數(shù)，則可得單調(diào)遞減．又由可得，即，于是可得不等式的解集． 詳解：由題意構(gòu)造函數(shù)，則， ∴函數(shù)在R上單調(diào)遞減． 又， ∴， 而， ∴， ∴， 故不等式的解集為． 故選B． 點(diǎn)睛：解抽象不等式的常用方法是構(gòu)造函數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性求解，其中如何構(gòu)造函數(shù)是解題的難點(diǎn)，在本題中根據(jù)含有的不等式，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則構(gòu)造出函數(shù)是關(guān)鍵． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則__________． 【答案】 【解析】分析：由題意先求出復(fù)數(shù)，然后再求． 詳解：∵， ∴， ∴． 點(diǎn)睛：對于復(fù)數(shù)的運(yùn)算一是要注意運(yùn)算的順序，另外要注意在運(yùn)算中的應(yīng)用，即遇到時(shí)要寫成．求復(fù)數(shù)的模時(shí)，首項(xiàng)將復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式后再根據(jù)公式求解． 14. 計(jì)算__________． 【答案】 【解析】分析：根據(jù)定積分的幾何意義，將定積分化為兩個(gè)區(qū)域的面積求解． 詳解：令，可得，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓的上半部分． 結(jié)合圖形可得所求定積分為和扇形的面積之和（如圖），且中，，扇形中，． 故 ． 點(diǎn)睛：求定積分的方法有兩種，一是根據(jù)微積分基本定理求解；二是根據(jù)定積分的幾何意義求解，特別是對于被積函數(shù)中含有根號形式的定積分，一般要根據(jù)幾何意義轉(zhuǎn)化為圖形的面積求解． 15. 已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，且，若的面積為，則__________． 【答案】3 【解析】分析：由題意得焦點(diǎn)三角形為直角三角形，根據(jù)雙曲線的定義和三角形的面積為9求解可得結(jié)論． 詳解：設(shè)，分別為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上， 則有， ∴， 又為直角三角形， ∴， ∴， 又的面積為9， ∴， ∴， ∴， ∴． 點(diǎn)睛：凡涉及雙曲線（橢圓）焦點(diǎn)三角形的問題，解題時(shí)要注意曲線的定義的應(yīng)用，運(yùn)用定義進(jìn)行整體代換，同時(shí)在該三角形內(nèi)要合理運(yùn)用余（正）弦定理，同時(shí)在解題中要曲線的基本量間的關(guān)系的利用． 16. 若為的各位數(shù)字之和，如，，則.記，，，……，，，則__________． 【答案】11 【解析】分析：根據(jù)所給出的定義逐個(gè)求出，歸納得到一般性的規(guī)律后可得所求． 詳解：由題意得 ，故； ，故； ，故； ，故； ，故； ，故； …… ∴當(dāng)時(shí)，． ∴ ． 點(diǎn)睛：數(shù)的歸納時(shí)歸納推理中的常見題型，它包括數(shù)字歸納和式子歸納．解決此類問題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等． 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. 已知的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為. （1）求的值； （2）求的展開式中項(xiàng)的系數(shù)； （3）求展開式中的常數(shù)項(xiàng). 【答案】（1）；（2）80；（3）-30. 【解析】分析：（1）由二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為求解即可．（2）由（1）得到二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)后求解．（3）根據(jù)展開式的通項(xiàng)并結(jié)合組合的方法求解． 詳解：（1）由題意結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得， 解得． （2）由題意得的通項(xiàng)公式為， 令，解得， 所以的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為． （3）由（2）知，的展開式的通項(xiàng)為， 令，解得； 令，解得． 故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為． 點(diǎn)睛：（1）求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題，實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)的特點(diǎn)，一般需要建立方程求，再將的值代回通項(xiàng)求解，注意的取值范圍(＝0，1，2，…，n)． （2）使用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式時(shí)要注意：①通項(xiàng)公式表示的是第r＋1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)；②通項(xiàng)公式中a和b的位置不能顛倒． 18. 已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且. （1）求角的大??； （2）若，，求. 【答案】（1）；（2）. 詳解：（1）∵， ∴ 由正弦定理得， 化簡得， 由余弦定理的推論得， ∵， ∴． （2）由（1）知， 又， ∴， 由余弦定理得， ∴． 點(diǎn)睛：（1）解三角形時(shí)要注意根據(jù)條件選擇正（余）弦定理進(jìn)行邊角間的轉(zhuǎn)化，已達(dá)到求解的目的． （2）三角形的面積公式和余弦定理常綜合在一起考查，解題時(shí)注意公式的變形，如，然后利用整體代換的方法求解． 19. 設(shè)命題實(shí)數(shù)滿足，命題實(shí)數(shù)滿足. （1）若，為真命題，求的取值范圍； （2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【解析】分析：（1）將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)求不等式組的解集的問題．（2）將是的充分不必要條件轉(zhuǎn)化為兩不等式解集間的包含關(guān)系處理，通過解不等式組解決． 詳解：（1）當(dāng)時(shí)， 由得， 由得， ∵為真命題， ∴命題均為真命題， ∴解得， ∴實(shí)數(shù)的取值范圍是． （2）由條件得不等式的解集為， ∵是的充分不必要條件， ∴是的充分不必要條件， ∴， ∴解得， ∴實(shí)數(shù)的取值范圍是． 點(diǎn)睛：根據(jù)充要條件求解參數(shù)的范圍時(shí)，可把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，由此得到不等式（組）后再求范圍．解題時(shí)要注意，在利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象． 20. 如圖，在多面體中，四邊形，，均為正方形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且與平面所成角的正弦值為. （1）證明：平面； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）見解析；（2）. 【解析】分析：（1）根據(jù)條件可證得四邊形是平行四邊形，故，然后由線面平行的判定定理可得結(jié)論成立．（2）由題意易知兩兩垂直且相等，故建立空間直角坐標(biāo)系，通過向量的運(yùn)算來求二面角的大?。? 詳解：（1）因?yàn)樗倪呅?，均為正方形? 所以且，且， 所以且， 所以四邊形是平行四邊形， 所以． 又因?yàn)槠矫妫矫妫? 所以 ． （2）由題意易知兩兩垂直且相等，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系． 令，則． 設(shè)，且,則， 故， 所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為， 故． 易得為平面的一個(gè)法向量． 設(shè)與平面所成角為， 則， 解得或（舍去）， 所以點(diǎn)， 所以， 設(shè)平面的法向量為， 由得令，則． 設(shè)平面的法向量為，同理可得， 故， 由圖形知二面角為銳角， 所以二面角的大小為． 21. 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且過點(diǎn). （1）求橢圓的方程； （2）已知直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積取最大值時(shí)直線的方程. 【答案】（1）；（2），直線的方程為. 【解析】分析：（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和所過的點(diǎn)得到關(guān)于的方程組，求解后可得橢圓的方程．（2）將直線方程代入橢圓的方程消元后，結(jié)合根與系數(shù)間的關(guān)系求得及原點(diǎn)到直線的距離，求得的面積后，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的特征求解最值． 詳解：（1）依題意得解得 ∴橢圓的方程為. （2）由消去整理得， 其中 設(shè)， 則，， ∴， 又原點(diǎn)到直線的距離. ∴， 令， 則， ∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，且，此時(shí)，即. ∴直線的方程為 ∴的面積取最大值時(shí)直線的方程為. 點(diǎn)睛：解決圓錐曲線中的范圍或最值問題時(shí)，一般先選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，求最值的常用方法有： ①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍； ②利用基本不等式求出參數(shù)的最值或范圍； ③在目標(biāo)函數(shù)的基礎(chǔ)上構(gòu)造新的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求最值或范圍． 22. 已知函數(shù). （1）求函數(shù)的極值； （2）若函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），且對任意的總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）見解析；（2）. 【解析】分析：（1）求導(dǎo)后根據(jù)的符號判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而可得極值情況．（2）由題意可得在上恒成立．設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值后可得的取值范圍． 詳解：（1）因?yàn)椋? 所以． ①當(dāng)，，在上單調(diào)遞增，故沒有極值； ②當(dāng)時(shí)，， 故當(dāng)，，單調(diào)遞增， 當(dāng)，，單調(diào)遞減， 所以當(dāng)時(shí)取得極大值，且極大值為，無極小值． 綜上可得，當(dāng)時(shí)，沒有極值； 當(dāng)時(shí)，有極大值為，無極小值． （2）由題意知，對任意的總有成立， 等價(jià)于對任意的，恒成立， 設(shè)， 則， 因?yàn)椋? 所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增． 所以， 所以. 故實(shí)數(shù)的取值范圍為． 點(diǎn)睛：（1）求解函數(shù)的極值時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性解題的工具，然后根據(jù)單調(diào)性可求得極值．解題時(shí)對于含有參數(shù)的問題，要注意分類討論的運(yùn)用． （2）已知恒成立問題求參數(shù)的取值范圍時(shí)，對于參數(shù)容易分離的情況一般先分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值的問題處理．若參數(shù)無法分離，則通過對參數(shù)分類討論的方法逐一排除，最后得到所求范圍．