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專題對點練25　7.1~7.3組合練 (限時90分鐘,滿分100分) 一、選擇題(共9小題,滿分45分) 1.直線x-3y+3=0與圓(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦長為(　　) A.30 B.532 C.42 D.33 2.圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=(　　) A.-43 B.-34 C.3 D.2 3.圓x2+y2-4x-4y-10=0上的點到直線x+y-8=0的最大距離與最小距離的差是(　　) A.18 B.62 C.52 D.42 4.已知直線l:mx+y-1=0(m∈R)是圓C:x2+y2-4x+2y+1=0的對稱軸,過點A(-2,m)作圓C的一條切線,切點為B,則|AB|為(　　) A.4 B.25 C.42 D.3 5.若直線2x+y-4=0,x+ky-3=0與兩坐標軸圍成的四邊形有外接圓,則此四邊形的面積為(　　) A.114 B.554 C.4120 D.5 6.已知點P(x,y)是直線kx=y+4(k>0)上一動點,PA,PB是圓C:x2+y2-2y=0的兩條切線,A,B為切點,若四邊形PACB面積的最小值是2,則k的值是(　　) A.2 B.212 C.2 D.22 7.(2018全國Ⅲ,文10)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,則點(4,0)到C的漸近線的距離為 (　　) A.2 B.2 C.322 D.22 8.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F,點A在雙曲線的漸近線上,△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點),則雙曲線的方程為(　　) A.x24-y212=1 B.x212-y24=1 C.x23-y2=1 D.x2-y23=1 9.已知離心率為52的雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,M是雙曲線C的一條漸近線上的點,且OM⊥MF2,O為坐標原點,若S△OMF2=16,則雙曲線C的實軸長是(　　) A.32 B.16 C.8 D.4 二、填空題(共3小題,滿分15分) 10.設拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l,已知點C在l上,以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A,若∠FAC=120,則圓的方程為　. 11.(2018江蘇,8)在平面直角坐標系xOy中,若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點F(c,0)到一條漸近線的距離為32c,則其離心率的值為　　　　　. 12.(2018浙江,17)已知點P(0,1),橢圓x24+y2=m(m>1)上兩點A,B滿足AP=2PB,則當m=　　　　　時,點B橫坐標的絕對值最大. 三、解答題(共3個題,滿分分別為13分,13分,14分) 13.已知在三角形ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4. (1)求動點A的軌跡M的方程; (2)P為軌跡M上動點,△PBC的外接圓為☉O1(O1為圓心),當P在M上運動時,求點O1到x軸的距離的最小值. 14.已知點A(0,-2),橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,F是橢圓E的右焦點,直線AF的斜率為233,O為坐標原點. (1)求E的方程; (2)設過點A的動直線l與E相交于P,Q兩點,當△OPQ的面積最大時,求l的方程. 15.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F(-c,0),右頂點為A,點E的坐標為(0,c),△EFA的面積為b22. (1)求橢圓的離心率; (2)設點Q在線段AE上,|FQ|=32c,延長線段FQ與橢圓交于點P,點M,N在x軸上,PM∥QN,且直線PM與直線QN間的距離為c,四邊形PQNM的面積為3c. ①求直線FP的斜率; ②求橢圓的方程.  專題對點練25答案 1.A　解析 圓(x-1)2+(y-3)2=10的圓心坐標為(1,3),半徑r=10, 圓心到直線x-3y+3=0的距離d=|1-9+3|10=510,故弦|AB|=210-2510=30,故選A. 2.A　解析 由x2+y2-2x-8y+13=0, 得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圓心坐標為(1,4). 因為圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1, 所以|a+4-1|a2+12=1,解得a=-43,故選A. 3.B　解析 由x2+y2-4x-4y-10=0,得(x-2)2+(y-2)2=18,∴圓半徑r=32. 圓上的點到直線x+y-8=0的最大距離與最小距離分別是d+r,d-r,其兩者之差即為圓的直徑, 故圓的點到直線x+y-8=0的最大距離與最小距離的差是62,故選B. 4.A　解析 由x2+y2-4x+2y+1=0,得(x-2)2+(y+1)2=4,∴圓心C(2,-1),r=2. 由題意可得,直線l:mx+y-1=0經(jīng)過圓C的圓心(2,-1), 則2m-1-1=0,∴m=1,故點A(-2,1). ∵|AC|=20,|CB|=r=2, ∴切線的長|AB|=20-4=4. 5.C　解析 圓的內接四邊形對角互補,因為x軸與y軸垂直,所以2x+y-4=0與x+ky-3=0垂直. 所以21+1k=0,解得k=-2,直線2x+y-4=0與坐標軸的交點為(2,0),(0,4), x+ky-3=0與坐標軸的交點為0,-32,(3,0),兩直線的交點縱坐標為-25, 所以四邊形的面積為12332-12125=4120,故選C. 6.C　解析 ∵圓的方程為x2+(y-1)2=1,∴圓心C(0,1),半徑r=1. 根據(jù)題意,若四邊形面積最小,當圓心與點P的距離最小時, 即距離為圓心到直線l的距離最小時,切線長PA,PB最小.切線長為2, ∴|PA|=|PB|=2,∴圓心到直線l的距離為d=5.直線方程為y+4=kx, 即kx-y-4=0, ∴5=|-4-1|1+k2,解得k=2, ∵k>0,∴所求直線的斜率為2.故選C. 7.D　解析 ∵雙曲線C的離心率為2,∴e=ca=2,即c=2a,∴a=b.∴其漸近線方程為y=x,故(4,0)到C的漸近線的距離d=|4|2=22. 8.D　解析 ∵雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F(c,0),點A在雙曲線的漸近線上,且△OAF是邊長為2的等邊三角形,不妨設點A在漸近線y=bax上, ∴c=2,ba=tan60,a2+b2=c2,解得a=1,b=3.∴雙曲線的方程為x2-y23=1.故選D. 9.B　解析 設F2(c,0),雙曲線C一條漸近線方程為y=bax,可得|F2M|=bca2+b2=b. ∵OM⊥MF2,∴|OM|=c2-b2=a,由S△OMF2=16,可得12ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,且ca=52, 解得a=8,即有雙曲線的實軸長為16.故選B. 10.(x+1)2+(y-3)2=1　解析 ∵拋物線y2=4x的焦點F(1,0),準線l的方程為x=-1, 由題意可設圓C的方程為(x+1)2+(y-b)2=1(b>0),則C(-1,b),A(0,b). ∵∠FAC=120,∴kAF=tan 120=-3,直線AF的方程為y=-3x+3. ∵點A在直線AF上,∴b=3.則圓的方程為(x+1)2+(y-3)2=1. 11.2　解析 因為雙曲線的右焦點F(c,0)到漸近線y=bax的距離為|bc0|a2+b2=bcc=b,所以b=32c. 因為a2=c2-b2=c2-34c2=14c2, 所以a=12c,e=2. 12.5　解析 設A(x1,y1),B(x2,y2). ∵P(0,1),∴AP=(-x1,1-y1),PB=(x2,y2-1). ∵AP=2PB,∴-x1=2x2,1-y1=2(y2-1), 即x1=-2x2,y1=3-2y2. 又x124+y12=m,∴(-2x2)24+(3-2y2)2=m, 即4x224+4y22-12y2+9=m. 又x224+y22=m,∴4m-12y2+9=m, 即12y2=3m+9,4y2=m+3. ∴x224+m+342=m, 即x22+m2+6m+94=4m, 即x22=-m24+52m-94. ∴當m=5時,x22的最大值為4,即點B橫坐標的絕對值最大. 13.解 (1)根據(jù)題意知,動點A滿足橢圓的定義,設橢圓的方程x2a2+y2b2=1(a>b>0且y≠0), 所以,有|F1F2|=|BC|=2c=2,|AF1|+|AF2|=|AB|+|AC|=2a=4, 且a2=b2+c2,解得a=2,b=3, 所以,動點A的軌跡M滿足的方程為x24+y23=1(y≠0). (2)設P(x0,y0),不妨設00,即k2>34時,x1,2=8k24k2-34k2+1. 從而|PQ|=k2+1|x1-x2|=4k2+14k2-34k2+1. 又點O到直線PQ的距離d=2k2+1, 所以△OPQ的面積S△OPQ=12d|PQ|=44k2-34k2+1. 設4k2-3=t,則t>0,S△OPQ=4tt2+4=4t+4t. 因為t+4t≥4,當且僅當t=2,即k=72時,等號成立,且滿足Δ>0, 所以,當△OPQ的面積最大時,l的方程為y=72x-2或y=-72x-2. 15.解 (1)設橢圓的離心率為e.由已知,可得12(c+a)c=b22. 又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0. 又因為00),則直線FP的斜率為1m. 由(1)知a=2c,可得直線AE的方程為x2c+yc=1,即x+2y-2c=0, 與直線FP的方程聯(lián)立,可解得x=(2m-2)cm+2,y=3cm+2,即點Q的坐標為(2m-2)cm+2,3cm+2. 由已知|FQ|=32c,有(2m-2)cm+2+c2+3cm+22=3c22, 整理得3m2-4m=0,所以m=43,即直線FP的斜率為34. ②由a=2c,可得b=3c,故橢圓方程可以表示為x24c2+y23c2=1. 由①得直線FP的方程為3x-4y+3c=0, 與橢圓方程聯(lián)立3x-4y+3c=0,x24c2+y23c2=1,消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0, 解得x=-13c7(舍去)或x=c. 因此可得點Pc,3c2,進而可得|FP|=(c+c)2+3c22=5c2, 所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5c2-3c2=c. 由已知,線段PQ的長即為PM與QN這兩條平行直線間的距離,故直線PM和QN都垂直于直線FP. 因為QN⊥FP, 所以|QN|=|FQ|tan∠QFN=3c234=9c8, 所以△FQN的面積為12|FQ||QN|=27c232,同理△FPM的面積等于75c232, 由四邊形PQNM的面積為3c,得75c232-27c232=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,橢圓的方程為x216+y212=1.