《2020高考數(shù)學刷題首選卷 第四章 數(shù)列 考點測試31 數(shù)列求和 文(含解析).docx》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020高考數(shù)學刷題首選卷 第四章 數(shù)列 考點測試31 數(shù)列求和 文(含解析).docx(11頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
考點測試31 數(shù)列求和
一、基礎(chǔ)小題
1.若數(shù)列{an}的通項公式為an=2n+2n-1,則數(shù)列{an}的前n項和為( )
A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1
C.2n+1+n2-2 D.2n+n-2
答案 C
解析 Sn=+=2n+1-2+n2.故選C.
2.數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若an=,則S5等于( )
A.1 B. C. D.
答案 B
解析 ∵an=-,∴S5=1-+-+…+-=.故選B.
3.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S4=10a1,則=( )
A. B.1 C. D.2
答案 B
解析 由S4=10a1得=10a1,即d=a1.所以=1.故選B.
4.已知數(shù)列{an}滿足a1+a2+a3+…+an=2a2,則( )
A.a(chǎn)1<0 B.a(chǎn)1>0 C.a(chǎn)1≠a2 D.a(chǎn)2=0
答案 D
解析 ∵a1+a2+a3+…+an=2a2,當n=1時,a1=2a2,當n=2時,a1+a2=2a2,∴a2=0.故選D.
5.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=,若a3=8,則a1=( )
A. B. C.64 D.128
答案 B
解析 ∵S3-S2=a3,∴-=8,
∴a1=,故選B.
6.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,當n≥2時,an+2Sn-1=n,則S11=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 B
解析 由當n≥2時,an+2Sn-1=n得an+1+2Sn=n+1,上面兩式相減得an+1-an+2an=1,即an+1+an=1,所以S11=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a10+a11)=51+1=6.故選B.
7.設(shè)Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1n,則S4m+S2m+1+S2m+3(m∈N*)的值為( )
A.0 B.3
C.4 D.隨m的變化而變化
答案 B
解析 容易求得S2k=-k,S2k+1=k+1,所以S4m+S2m+1+S2m+3=-2m+m+1+m+2=3.故選B.
8.在等比數(shù)列{an}中,前7項的和S7=16,且a+a+…+a=128,則a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=( )
A.8 B. C.6 D.
答案 A
解析 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7==,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7==16,a+a+…+a==128.∵=,∴a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7==8.故選A.
二、高考小題
9.(2017全國卷Ⅰ)幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應用軟件,為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣,他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項是20,接下來的兩項是20,21,再接下來的三項是20,21,22,依此類推,求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是( )
A.440 B.330 C.220 D.110
答案 A
解析 設(shè)首項為第1組,接下來的兩項為第2組,再接下來的三項為第3組,依此類推,則第n組的項數(shù)為n,前n組的項數(shù)和為.由題意知,N>100,令>100,解得n≥14且n∈N*,即N出現(xiàn)在第13組之后.
第n組的各項和為=2n-1,前n組所有項的和為-n=2n+1-2-n.設(shè)N是第n+1組的第k項,若要使前N項和為2的整數(shù)冪,則N-項的和即第n+1組的前k項的和2k-1應與-2-n互為相反數(shù),即2k-1=2+n(k∈N*,n≥14),k=log2(n+3),∴n最小為29,此時k=5.則N=+5=440.故選A.
10.(2016北京高考)已知{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項和.若a1=6,a3+a5=0,則S6=________.
答案 6
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵a1=6,a3+a5=0,∴6+2d+6+4d=0,∴d=-2,∴S6=66+(-2)=6.
11.(2017全國卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a3=3,S4=10,則=________.
答案
解析 設(shè)公差為d,則∴
∴an=n.
∴前n項和Sn=1+2+…+n=,
∴==2-,
∴=21-+-+…+-=21-=2=.
12.(2015全國卷Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=________.
答案?。?
解析 ∵an+1=Sn+1-Sn,∴Sn+1-Sn=SnSn+1,
又由a1=-1,知Sn≠0,∴-=1,
∴是等差數(shù)列,且公差為-1,而==-1,
∴=-1+(n-1)(-1)=-n,∴Sn=-.
13.(2018江蘇高考)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*}.將A∪B的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列{an}.記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則使得Sn>12an+1成立的n的最小值為________.
答案 27
解析 設(shè)An=2n-1,Bn=2n,n∈N*,當Ak
12a39,則n∈[22,38),n∈N*時,存在n,使Sn≥12an+1,此時T5=A1+A2+…+A16+B1+B2+B3+B4+B5,則當n∈[22,38),n∈N*時,Sn=T5+=n2-10n+87.a(chǎn)n+1=An+1-5=An-4,12an+1=12[2(n-4)-1]=24n-108,Sn-12an+1=n2-34n+195=(n-17)2-94,則n≥27時,Sn-12an+1>0,即nmin=27.
三、模擬小題
14.(2018福建廈門第一學期期末)已知數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)n+1an=2,則其前100項和為( )
A.250 B.200 C.150 D.100
答案 D
解析 n=2k(k∈N*)時,a2k+1-a2k=2,
n=2k-1(k∈N*)時,a2k+a2k-1=2,
n=2k+1(k∈N*)時,a2k+2+a2k+1=2,∴a2k+1+a2k-1=4,a2k+2+a2k=0,∴{an}的前100項和=(a1+a3)+…+(a97+a99)+(a2+a4)+…+(a98+a100)=254+250=100.故選D.
15.(2018浙江模擬)已知數(shù)列{an}的通項公式為an=則數(shù)列{3an+n-7}的前2n項和的最小值為( )
A.- B.- C.- D.-
答案 D
解析 設(shè)bn=3an+n-7,{3an+n-7}的前2n項和為S2n,則S2n=b1+b2+b3+…+b2n=
3+(1+2+3+…+2n)-14n=91-n+2n2-13n,又2n2-13n=2n-2-,當n≥4時,f(n)=2n-2-是關(guān)于n的增函數(shù),又g(n)=91-n也是關(guān)于n的增函數(shù),∴S81024的最小n的值為________.
答案 9
解析 當n=1時,a1=4,
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n,
所以an=所以bn=
所以Tn=
當n=9時,T9=210+910+2=1116>1024;當n=8時,T8=29+89+2=586<1024,所以滿足Tn>1024的最小n的值為9.
17.(2018江西南昌蓮塘一中質(zhì)檢)函數(shù)f(x)=,g(x)=f(x-1)+1,an=g+g+g+…+g,n∈N*,則數(shù)列{an}的通項公式為________.
答案 an=2n-1
解析 由題意知f(x)的定義域為R,
又f(-x)===-f(x),
∴函數(shù)f(x)=為奇函數(shù),g(x)+g(2-x)=f(x-1)+1+f(2-x-1)+1=f(x-1)+f(1-x)+2,
由f(x)=為奇函數(shù),知f(x-1)+f(1-x)=0,
∴g(x)+g(2-x)=2.∵an=g+g+g+…+g,n∈N*,①
∴an=g+g+g+…+g,n∈N*,②
由①+②得2an=g+g+g+g+…+g+g=(2n-1)2,則數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1.
18.(2018洛陽質(zhì)檢)已知正項數(shù)列{an}滿足a-6a=an+1an.若a1=2,則數(shù)列{an}的前n項和Sn為________.
答案 3n-1
解析 ∵a-6a=an+1an,∴(an+1-3an)(an+1+2an)=0,∵an>0,∴an+1=3an,∴{an}是公比為3的等比數(shù)列,∴Sn==3n-1.
19.(2018石家莊質(zhì)檢二)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=-n,如果存在正整數(shù)n,使得(m-an)(m-an+1)<0成立,那么實數(shù)m的取值范圍是________.
答案 -,
解析 易得a1=-,n≥2時,有an=Sn-Sn-1=-n--n-1=3-n.則有a11,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中項.數(shù)列{bn}滿足b1=1,數(shù)列{(bn+1-bn)an}的前n項和為2n2+n.
(1)求q的值;
(2)求數(shù)列{bn}的通項公式.
解 (1)由a4+2是a3,a5的等差中項得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.
由a3+a5=20得8q+=20,
解得q=2或q=,因為q>1,所以q=2.
(2)設(shè)cn=(bn+1-bn)an,數(shù)列{cn}的前n項和為Sn.
由cn=解得cn=4n-1.
由(1)可知an=2n-1,
所以bn+1-bn=(4n-1)n-1,
故bn-bn-1=(4n-5)n-2,n≥2,
bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)
+(b2-b1)=(4n-5)n-2+(4n-9)n-3+…+7+3.
設(shè)Tn=3+7+112+…+(4n-5)n-2,n≥2,
Tn=3+72+…+(4n-9)n-2+(4n-5)n-1,
所以Tn=3+4+42+…+4n-2-(4n-5)n-1,
因此Tn=14-(4n+3)n-2,n≥2,
又b1=1,所以bn=15-(4n+3)n-2,n≥2.
經(jīng)檢驗,當n=1時,bn也成立.
故bn=15-(4n+3)n-2.
2.(2018天津高考)設(shè){an}是等差數(shù)列,其前n項和為Sn(n∈N*);{bn}是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項和為Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.
(1)求Sn和Tn;
(2)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整數(shù)n的值.
解 (1)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q.
由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0.
因為q>0,可得q=2,故bn=2n-1.
所以Tn==2n-1.
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
由b4=a3+a5,可得a1+3d=4.
由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,
從而a1=1,d=1,故an=n.
所以Sn=.
(2)由(1),有T1+T2+…+Tn=(21+22+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2.
由Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn可得+2n+1-n-2=n+2n+1,
整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍去)或n=4.
所以n的值為4.
3.(2017天津高考)已知{an}為等差數(shù)列,前n項和為Sn(n∈N*),{bn}是首項為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
(1)求{an}和{bn}的通項公式;
(2)求數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項和(n∈N*).
解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
等比數(shù)列{bn}的公比為q.
由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,
而b1=2,所以q2+q-6=0,解得q=2或q=-3,
又因為q>0,所以q=2.所以bn=2n.
由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.①
由S11=11b4,可得a1+5d=16,②
聯(lián)立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.
所以,數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-2,數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2n.
(2)設(shè)數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項和為Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)4n,
故Tn=24+542+843+…+(3n-1)4n,
4Tn=242+543+844+…+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1,
上述兩式相減,得
-3Tn=24+342+343+…+34n-(3n-1)4n+1=-4-(3n-1)4n+1
=-(3n-2)4n+1-8.
得Tn=4n+1+.
所以數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項和為4n+1+.
二、模擬大題
4.(2018山西太原模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=,數(shù)列{bn}滿足bn=an+an+1(n∈N*).
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)若cn=2an(bn-1)(n∈N*),求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
解 (1)當n=1時,a1=S1=1;
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=-=n,
又a1=1符合上式,∴an=n(n∈N*),
∴bn=an+an+1=2n+1.
(2)由(1)得cn=2an(bn-1)=n2n+1,
∴Tn=122+223+324+…+(n-1)2n+n2n+1,?、?
2Tn=123+224+325+…+(n-1)2n+1+n2n+2, ②
①-②得,-Tn=22+23+24+…+2n+1-n2n+2=-n2n+2=(1-n)2n+2-4,
∴Tn=(n-1)2n+2+4.
5.(2018沈陽質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,且a1+a4=9,a2a3=8.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解 (1)由題設(shè)知a1a4=a2a3=8,
又a1+a4=9,可解得或(舍去).
設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由a4=a1q3得q=2,
故an=a1qn-1=2n-1,n∈N*.
(2)Sn==2n-1,
又bn===-,
所以Tn=b1+b2+…+bn
=-+-+…+-
=-=1-,n∈N*.
6.(2018安徽馬鞍山第二次教學質(zhì)量監(jiān)測)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,其前n項和為Sn,a2=37,S4=152.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{|an-2n|}的前n項和Tn.
解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,則
解得
所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n+33(n∈N*).
(2)由(1)知,|an-2n|=|2n+33-2n|
=
當1≤n≤5時,Tn=-
=n2+34n-2n+1+2;
當n≥6時,T5=133,|2n+33-2n|=2n-(2n+33),
Tn-T5=-
=2n+1-n2-34n+131,
∴Tn=2n+1-n2-34n+264.
綜上所述,Tn=
鏈接地址:http://www.3dchina-expo.com/p-6332426.html