2020高考數(shù)學一輪復習 第三章 三角函數(shù)、解三角形 課時作業(yè)23 解三角形應用舉例 文.doc
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課時作業(yè)23 解三角形應用舉例 [基礎達標] 一、選擇題 1.如圖,設A、B兩點在河的兩岸,一測量者在A的同側(cè),選定一點C,測出AC的距離為50 m,∠ACB=45,∠CAB=105,則A,B兩點的距離為( ) A.50 m B.50 m C.25 m D. m 解析:由正弦定理得 AB===50 (m). 答案:A 2.[2019武漢三中月考]如圖,兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站南偏西40方向上,燈塔B在觀察站南偏東60方向上,則燈塔A在燈塔B的( ) A.北偏東10方向上 B.北偏西10方向上 C.南偏東80方向上 D.南偏西80方向上 解析:由條件及題圖可知,∠A=∠ABC=40,因為∠BCD=60,所以∠CBD=30,所以∠DBA=10,因此燈塔A在燈塔B南偏西80方向上. 答案:D 3. 如圖,測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D,測得∠BCD=15,∠BDC=30,CD=30 m,并在點C測得塔頂A的仰角為60,則塔高AB等于( ) A.5 m B.15 m C.5 m D.15 m 解析:在△BCD中,∠CBD=180-15-30=135. 由正弦定理得=,解得BC=15(m). 在Rt△ABC中, AB=BCtan∠ACB=15=15 (m). 答案:D 4.某船開始看見燈塔在南偏東30方向,后來船沿南偏東60的方向航行15 km后,看見燈塔在正西方向,則這時船與燈塔的距離是( ) A.5 km B.10 km C.5 km D.5 km 解析:作出示意圖(如圖),點A為該船開始的位置,點B為燈塔的位置,點C為該船后來的位置,所以在△ABC中,有∠BAC=60-30=30,∠B=120,AC=15, 由正弦定理,得=, 即BC==5,即這時船與燈塔的距離是5 km. 答案:C 5. 如圖,在離地面高400 m的熱氣球上,觀測到山頂C處的仰角為15,山腳A處的俯角為45,已知∠BAC=60,則山的高度BC為( ) A.700 m B.640 m C.600 m D.560 m 解析:根據(jù)題意,可得在Rt△AMD中, ∠MAD=45,MD=400, 所以AM==400. 因為△MAC中,∠AMC=45+15=60, ∠MAC=180-45-60=75, 所以∠MCA=180-∠AMC-∠MAC=45, 由正弦定理,得AC===400, 在Rt△ABC中,BC=ACsin∠BAC=400=600 (m). 答案:C 二、填空題 6.[2019山東省,湖北省部分中學質(zhì)量檢測]如圖,在某島附近海底某處有一條海防警戒線,在警戒線上的點A,B,C處各有一個水聲監(jiān)測點,B,C兩點到A的距離分別為20千米和50千米,某時刻B點接收到發(fā)自水中P處的一個聲波信號,8秒后A,C同時接收到該聲波信號,假設聲波在水中的傳播速度是1.5千米/秒,則P到海防警戒線的距離為________千米. 解析:通解 依題意知PA=PC,設PA=PC=x,PB=x-1.58=x-12.在△PAB中,AB=20,則cos∠PAB===,在△PAC中,AC=50,則cos∠PAC===.因為cos∠PAB=cos∠PAC,所以=,解得x=31,過點P作PD⊥AC于點D,則AD=25,在Rt△ADP中,PD==4.故P到海防警戒線的距離為4千米. 優(yōu)解 過點P作PD⊥AC于點D,設PB=x,由題意知,PA=PC=x+1.58=x+12,AD=25,BD=5,在Rt△PAD中,PD2=PA2-AD2=(x+12)2-252,在Rt△PBD中,PD2=PB2-BD2=x2-52,則(x+12)2-252=x2-52,可得x=19,故PD==4,即P到海防警戒線的距離為4千米. 答案:4 7.[2019南昌市模擬]已知臺風中心位于城市A東偏北α(α為銳角)度的150公里處,以v公里/時沿正西方向快速移動,2.5小時后到達距城市A西偏北β(β為銳角)度的200公里處,若cos(α-β)=,則v=________. 解析:如圖所示,AB=150,AC=200,根據(jù)題意可知∠B=α,∠C=β,因為cos(α-β)=,所以sin(α-β)==. 在三角形ABC中,由正弦定理=,得=, 得4sinβ=3sinα,所以4sinβ=3sin[β+(α-β)]=3[sinβcos(α-β)+cosβsin(α-β)]=3,整理得4sinβ=3cosβ. 又sin2β+cos2β=1,所以sinβ=,進而sinα=,所以有sin2α+sin2β=1,所以α=90-β, 所以∠BAC=180-(α+β)=90,所以BC===250,故v==100. 答案:100 8.[2019福建省高中質(zhì)量檢測]在平面四邊形ABCD中,AB=1,AC=,BD⊥BC,BD=2BC,則AD的最小值為________. 解析:設∠BAC=α,∠ABD=β(β∈(0,π)),則∠ABC=β+.在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcosα=6-2cosα,由正弦定理,得=,即BC=.在△ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+DB2-2ABDBcosβ=1+4BC2-4BCcosβ=1+4(6-2cosα)-4cosβ=25-8cosα-4sinα=25-20sin(α+θ),所以當sin(α+θ)=1,即sinα=,cosα=時,AD2取得最小值5,所以AD的最小值為. 答案: 三、解答題 9.[2019石家莊高中摸底考試] 某學校的平面示意圖如圖中的五邊形區(qū)域ABCDE,其中三角形區(qū)域ABE為生活區(qū),四邊形區(qū)域BCDE為教學區(qū),AB,BC,CD,DE,EA,BE為學校的主要道路(不考慮寬度).∠BCD=∠CDE=,∠BAE=,DE=3BC=3CD= km. (1)求道路BE的長度; (2)求生活區(qū)△ABE面積的最大值. 解析:(1)如圖,連接BD,在△BCD中,BD2=BC2+CD2-2BCCDcos∠BCD=,∴BD= km. ∵BC=CD, ∠CDB=∠CBD==, 又∠CDE=,∴∠BDE=. ∴在Rt△BDE中,BE===(km). 故道路BE的長度為 km. (2)設∠ABE=α,∵∠BAE=, ∴∠AEB=-α. 在△ABE中,易得====, ∴AB=sin,AE=sinα. ∴S△ABE=ABAEsin=sinsinα=≤=(km2). ∵0<α<,∴-<2α-<. ∴當2α-=,即α=時,S△ABE取得最大值,最大值為 km2, 故生活區(qū)△ABE面積的最大值為 km2. 10.要測量底部不能到達的電視塔AB的高度,在C點測得塔頂A的仰角是45,在D點測得塔頂A的仰角是30,并測得水平面上的∠BCD=120,CD=40 cm,求電視塔的高度. 解析:如圖,設電視塔AB高為x m,則在Rt△ABC中,由∠ACB=45得BC=x.在Rt△ABD中,∠ADB=30,則BD=x. 在△BDC中,由余弦定理得, BD2=BC2+CD2-2BCCDcos120, 即(x)2=x2+402-2x40cos120, 即得x=40, 所以電視塔高為40 m. [能力挑戰(zhàn)] 11.在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45方向,距離A處(-1)海里的B處有一艘走私船;在A處北偏西75方向,距離A處2海里的C處的輯私船奉命在10海里/時的速度追截走私船.同時,走私船正以10海里/時的速度從B處向北偏東30方向逃竄,問緝私船沿什么方向能最快追上走私船?最少要花多少時間? 解析:如圖,設緝私船t時后在D處追上走私船, 則有CD=10t,BD=10t. 在△ABC中,AB=-1,AC=2,∠BAC=120. 利用余弦定理可得BC=. 由正弦定理,得 sin∠ABC=sin∠BAC==, 得∠ABC=45,即BC與正北方向垂直. 于是∠CBD=120. 在△BCD中,由正弦定理,得 sin∠BCD===, 得∠BCD=30, ∴∠BDC=30. 又=,=,得t=. 所以緝私船沿北偏東60的方向能最快追上走私船,最少要花時.- 配套講稿:
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