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1、
課時作業(yè)(七) 平面
A組 基礎(chǔ)鞏固
1.對于右圖,下列說法正確的是( )
A.可以表示a在α內(nèi)
B.把平面α延展就可以表示a在平面內(nèi)
C.因?yàn)橹本€是無限延伸的,所以可以表示直線a在平面α內(nèi)
D.不可以表示直線a在平面α內(nèi),因?yàn)楫嫹ú粚?
答案:D
2.有下列三個判斷:正確的個數(shù)為( )
①兩條相交的直線確定一個平面;
②兩條平行的直線確定一個平面;
③一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個平面
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:①正確,如圖a所示,l1∩l2=P,分別在l1,l2上取點(diǎn)R,Q,則易知P、Q、R三點(diǎn)不共線,
2、故三點(diǎn)必確定一個平面,故l1與l2必確定一個平面.②正確,如圖b,在l1上任取一點(diǎn)P,在l2上任取兩點(diǎn)Q,R,顯然P,Q,R三點(diǎn)不共線,故可確定一個平面,故②正確,同理可證③正確.
a b
答案:D
3.已知點(diǎn)A,直線a,平面α,以下命題表達(dá)正確的個數(shù)是( )
①A∈a,a?α?A?α ②A∈a,a∈α?A∈α
③A?a,a?α?A?α ④A∈a,a?α?A?α
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:A
4.給出下列說法:(設(shè)α、β表示平面,l表示直線,A、B、C表示點(diǎn))
①若A∈l,A∈α,B∈α,B∈l,則l?α;
②若A∈α,A∈β,B∈α,B∈
3、β,則α∩β=AB;
③若l?α,A∈l,則A?α.
則正確的個數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:B
5.空間四點(diǎn)A、B、C、D共面而不共線,那么這四點(diǎn)中( )
A.必有三點(diǎn)共線
B.必有三點(diǎn)不共線
C.至少有三點(diǎn)共線
D.不可能有三點(diǎn)共線
解析:如圖(1)(2)所示,A、C、D均不正確,只有B正確.
(1) (2)
答案:B
6.已知平面α∩平面β=l,點(diǎn)M∈α,N∈α,P∈β,P?l且MN∩l=R,過M,N,P三點(diǎn)所確定的平面記為γ,則β∩γ等于( )
A.PR B.PM C.MR D.PN
解析:如圖,MN?γ,R
4、∈MN,
∴R∈γ.
又R∈l,∴R∈β.
又P∈γ,P∈β,∴β∩γ=PR.
答案:A
7.經(jīng)過空間任意三點(diǎn)可以作________個平面.
解析:若三點(diǎn)不共線,只可以作一個平面;若三點(diǎn)共線,則可以作出無數(shù)個平面.
答案:一個或無數(shù)
8.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為DB的中點(diǎn),直線A1C交平面C1BD于點(diǎn)M,則下列結(jié)論正確的是________.
①C1,M,O三點(diǎn)共線
②C1,M,O,C四點(diǎn)共面
③C1,O,A,M四點(diǎn)共面
④D1,D,O,M四點(diǎn)共面
解析:在題圖中,連接A1C1,AC,則AC∩BD=O,A1C∩平面C1BD=M.
∴
5、三點(diǎn)C1,M,O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上,即C1,M,O三點(diǎn)共線,
∴選項(xiàng)①、②、③均正確,④不正確.
答案:①②③
9.有以下三個命題:
①平面外的一條直線與這個平面最多有一個公共點(diǎn);
②直線l在平面α內(nèi),可以用符號“l(fā)∈α”表示;
③已知平面α與β不重合,若平面α內(nèi)的一條直線a與平面β內(nèi)的一條直線b相交,則α與β相交.
其中真命題的序號是________.
解析:若直線與平面有兩個公共點(diǎn),則這條直線一定在這個平面內(nèi),故①正確;直線l在平面α內(nèi)用符號“?”表示,即l?α,②錯誤;由a與b相交,說明兩個平面有公共點(diǎn),因此一定相交,故③正確.
答案:①③
6、10.如圖所示,在空間四邊形各邊AD,AB,BC,CD上分別取E,F(xiàn),G,H四點(diǎn),如果EF,GH交于一點(diǎn)P,求證:點(diǎn)P在直線BD上.
證明:∵EF∩GH=P,
∴P∈EF且P∈GH.
又∵EF?平面ABD,GH?平面CBD,
∴P∈平面ABD,
且P∈平面CBD,∴P∈平面ABD∩平面CBD,
平面ABD∩平面CBD=BD,由公理3可得P∈BD.
∴點(diǎn)P在直線BD上.
B組 能力提升
11.在三棱錐A-BCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn),如果EF∩HG=P,則點(diǎn)P( )
A.一定在直線BD上
B.一定在直線AC上
C.在直線AC或BD上
D.
7、不在直線AC上,也不在直線BD上
解析:
如圖所示,
∵EF?平面ABC,HG?平面ACD,
EF∩HG=P,
∴P∈平面ABC,
P∈平面ACD.
又∵平面ABC∩平面ACD=AC,
∴P∈AC,
故選B.
答案:B
12.在下列命題中,不是公理的是( )
A.平行于同一個平面的兩個平面相互平行
B.過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個平面
C.如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)
D.如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線
解析:本題考查平面的基本性質(zhì)及面面平行的常用結(jié)論.選項(xiàng)A是面面平行的
8、性質(zhì)定理,是由公理推證出來的,而公理是不需要證明的,故選A.
答案:A
13.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3,M,N分別是棱AA1,AB上的點(diǎn),且AM=AN=1.
(1)證明:M,N,C,D1四點(diǎn)共面;
(2)平面MNCD1將此正方體分為兩部分,求這兩部分的體積之比.
解析:(1)證明:連接A1B
在四邊形A1BCD1中,A1D1∥BC且A1D1=BC
所以四邊形A1BCD1是平行四邊形
所以A1B∥D1C
在△ABA1中,AM=AN=1,AA1=AB=3
所以=
所以MN∥A1B
所以MN∥D1C
所以M,N,C,D1四點(diǎn)共面.
(2
9、)解法一:記平面MNCD1將正方體分成兩部分的下部分體積為V1,上部分體積為V2,連接D1A,D1N,DN,則幾何體D1-AMN,D1-ADN,D1-CDN均為三棱錐
所以V1=VD1-AMN+VD1-ADN+VD1-CDN
=S△AMN·D1A1+S△ADN·D1D+S△CDN·D1D
=××3+××3+××3
=.
從而V2=VABCD-A1B1C1D1-VAMN-DD1C=27-=
所以=
所以平面MNCD1分此正方體的兩部分體積的比為.
解法二:記平面MNCD1將正方體分成兩部分的下部分體積為V1,上部分體積為V2
因?yàn)槠矫鍭BB1A1∥平面DCC1D1,所以平面
10、AMN∥平面DD1C
延長CN與DA相交于點(diǎn)P
因?yàn)锳N∥DC
所以=,即=,解得PA=
延長D1M與DA相交于點(diǎn)Q,同理可得QA=
所以點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合
所以D1M,DA,CN三線相交于一點(diǎn)
所以幾何體AMN-DD1C是一個三棱臺
所以V1=VAMN-DD1C=××3=
從而V2=VABCD-A1B1C1D1-VAMN-DD1C=27-=
所以=
所以平面MNCD1分此正方體的兩部分體積的比為.
14.求證:兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線a、b、c、d共面.
證明:(1)無三線共點(diǎn)情況,如圖(1).
設(shè)a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.
因?yàn)閍∩d=M,所以a,d可確定一個平面α.
因?yàn)镹∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α,
所以NQ?α,即b?α.
圖(1) 圖(2)
同理c?α,所以a,b,c,d共面.
(2)有三線共點(diǎn)的情況,如圖(2).
設(shè)b,c,d三線相交于點(diǎn)K,與a分別交于N,P,M且K?a,
因?yàn)镵?a,所以K和a確定一個平面,設(shè)為β.
因?yàn)镹∈a,a?β,所以N∈β.
所以NK?β,即b?β.
同理c?β,d?β.
所以a,b,c,d共面.
由(1)、(2)知a、b、c、d共面.
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