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第七節(jié) 正弦定理與余弦定理
課時作業(yè)練
1.在△ABC中,AB=6,∠A=75,∠B=45,則AC= .
答案 2
解析 由已知及三角形內(nèi)角和定理得∠C=60,由ABsinC=ACsinB知AC=ABsinBsinC=6sin45sin60=2.
2.在△ABC中,若a2-c2+b2=3ab,則C= .
答案 30
解析 cos C=a2+b2-c22ab=3ab2ab=32,又0
0,所以sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C=3sin Ccos A,又sin C>0,所以cos A=13.
6.(2018鹽城時楊中學高三月考)在銳角△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,已知a,b是方程x2-23x+3=0的兩個根,且2sin(A+B)-3=0,則c= .
答案 3
解析 由a,b是方程x2-23x+3=0的兩個根得a+b=23,ab=3,由2sin(A+B)-3=0及A+B+C=π得sin(A+B)=sin C=32,所以銳角△ABC中,C=π3,所以c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab=12-9=3,所以c=3.
7.(2019江蘇三校模擬)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=2,則∠C的值為 .
答案 π6
解析 在△ABC中,sin B=sin(A+C),
即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,
則sin Ccos A+sin Asin C=0,又sin C≠0,所以cos A+sin A=0,tan A=-1,又A∈(0,π),所以A=3π4,sin A=22,因為asinA=csinC,a=2,c=2,所以sin C=12,因為C∈0,π4,所以C=π6.
8.(2018蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調研(二))設△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足acos B-bcos A=35c,則tanAtanB= .
答案 4
9.(2018江蘇鹽城中學高三上學期期末)如圖,在△ABC中,∠B=π3,BC=2,點D在邊AB上,AD=DC,DE⊥AC,E為垂足.
(1)若△BCD的面積為33,求CD的長;
(2)若ED=62,求角A的大小.
解析 (1)由已知得S△BCD=12BCBDsin B=33,又∠B=π3,BC=2,∴BD=23,
在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BCBDcos B=289,∴CD=273.
(2)∵在△CDE中,CDsin∠DEC=DEsin∠DCE,AD=DC,∴∠A=∠DCE,
∴CD=AD=DEsinA=62sinA,在△BCD中,BCsin∠BDC=CDsinB,由∠BDC=∠DCA+∠A=2∠A,得2sin2A=CDsinπ3,∴CD=3sin2A,∴62sinA=3sin2A,解得cos A=22,又A∈0,π2,∴A=π4.
基礎滾動練
(滾動循環(huán) 夯實基礎)
1.函數(shù)f(x)=1-log3x的定義域是 .
答案 (0,3]
2.設集合M=xx+3x-2<0,N={x|(x-1)(x-3)<0},則集合M∩N= .
答案 (1,2)
3.曲線y=-5ex+3在點(0,-2)處的切線方程為 .
答案 5x+y+2=0
解析 因為y=-5ex,所以曲線在點(0,-2)處的切線斜率為-5,切線方程為y+2=-5x,即為5x+y+2=0.
4.已知函數(shù)f(x)=2-x,x≤0,log81x,x>0,若f(x)=14,則實數(shù)x的值為 .
答案 3
解析 當x≤0時, f(x)=2-x=14,解得x=2(舍去);當x>0時, f(x)=log81x=14,解得x=3,符合題意,故實數(shù)x的值為3.
5.(2019陜西延安模擬)已知函數(shù)y=xex+x2+2x+a恰有兩個不同的零點,則實數(shù)a的取值范圍是 .
答案 -∞,1e+1
解析 令g(x)=xex+x2+2x+a,
則g(x)=ex+xex+2x+2=(x+1)(ex+2),易知x<-1時,g(x)<0,函數(shù)g(x)是減函數(shù),x>-1時,g(x)>0,函數(shù)g(x)是增函數(shù),所以函數(shù)g(x)的最小值為g(-1)=-1-1e+a,要使函數(shù)y=xex+x2+2x+a恰有兩個不同的零點,只需-1-1e+a<0,即a<1+1e.
6.給出下列三個命題:(1)命題“?x∈R,cos x>0”的否定是“?x∈R,cos x≤0”;(2)若f(x)=ax2+2x+1只有一個零點,則a=1;(3)在△ABC中,“A>45”是“sin A>22”的充要條件.其中正確的命題有 .(填所有正確命題的序號)
答案 (1)
解析 命題“?x∈R,cos x>0”的否定是“?x∈R,cos x≤0”,(1)是真命題;若f(x)=ax2+2x+1只有一個零點,則a=1或a=0,(2)是假命題;在△ABC中,“A>45”是“sin A>22”的必要不充分條件,(3)是假命題,所以正確的命題有(1).
7.(2019江蘇宿遷高三模擬)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知2cos A(bcos C+
ccos B)=a.
(1)求角A;
(2)若cos B=35,求sin(B-C)的值.
解析 (1)由已知及正弦定理可知,
2cos A(sin Bcos C+sin Ccos B)=sin A,
即2cos Asin A=sin A.因為A∈(0,π),所以sin A≠0,
所以2cos A=1,即cos A=12.又A∈(0,π),所以A=π3.
(2)因為cos B=35,B∈(0,π),所以sin B=1-cos2B=45.
所以sin 2B=2sin Bcos B=2425,cos 2B=1-2sin2B=-725.
由(1)知A=π3,則B+C=23π,故C=23π-B.
所以sin(B-C)=sinB-2π3-B=sin2B-2π3
=sin 2Bcos2π3-cos 2Bsin2π3=2425-12--72532
=73-2450.
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