(浙江專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案.doc
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專題三 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 [析考情明重點] 小題考情分析 大題考情分析 ??键c 1.等差、等比數(shù)列的概念及運算(5年4考) 2.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)(5年4考) 高考對數(shù)列的考查在解答題中常以數(shù)列的相關(guān)項以及關(guān)系式,或an與Sn的關(guān)系入手,結(jié)合等差、等比數(shù)列的定義展開考查.?dāng)?shù)學(xué)歸納法也是高考常考內(nèi)容,題型主要有: (1)等差、等比數(shù)列基本量的運算; (2)數(shù)列求和問題; (3)數(shù)列與不等式的綜合問題; (4)數(shù)學(xué)歸納法常與數(shù)列、不等式等知識綜合考查. 偶考點 1.數(shù)列的遞推關(guān)系式 2.等差與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用問題 第一講 小題考法——數(shù)列的概念及基本運算 考點(一) 數(shù)列的遞推關(guān)系式 主要考查方式有兩種:一是利用an與Sn的關(guān)系求通項an或前n項和Sn;二是利用an與an+1的關(guān)系求通項an或前n項和Sn. [典例感悟] [典例] (1)(2018臺州調(diào)考)設(shè)數(shù)列{an},{bn}滿足an+bn=700,an+1=an+bn,n∈N*,若a6=400,則( ) A.a(chǎn)4>a3 B.b40,a2-a4=a1q(1-q2)<0, 所以a1>a3,a21,所以等比數(shù)列的公比q<0.若q≤-1,則a1+a2+a3+a4=a1(1+q)(1+q2)≤0,而a1+a2+a3≥a1>1,所以ln(a1+a2+a3)>0,與ln(a1+a2+a3)=a1+a2+a3+a4≤0矛盾,所以-1 0,a2-a4=a1q(1-q2)<0,所以a1>a3,a21,則a1+a2=2a1+d=2b1=4,又a3=a1+2d=5,所以a1=1,d=2,an=1+2(n-1)=2n-1,所以b3=a4+1=8,Sn=n+2=n2.因為數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增的等比數(shù)列,所以q2==4,q=2,bn=2n.因為當(dāng)n≥m(m∈N*)時,Sn≤bn恒成立,所以當(dāng)n≥m(m∈N*)時,n2≤2n恒成立,數(shù)形結(jié)合可知m的最小值為4. 答案:4 (一) 主干知識要記牢 1.等差數(shù)列、等比數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列 通項公式 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1(q≠0) 前n項和公式 Sn==na1+d (1)q≠1,Sn==; (2)q=1,Sn=na1 2.判斷等差數(shù)列的常用方法 (1)定義法:an+1-an=d(常數(shù))(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列. (2)通項公式法:an=pn+q(p,q為常數(shù),n∈N*)?{an}是等差數(shù)列. (3)中項公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列. (4)前n項和公式法:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù),n∈N*)?{an}是等差數(shù)列. 3.判斷等比數(shù)列的常用方法 (1)定義法:=q(q是不為0的常數(shù),n∈N*)?{an}是等比數(shù)列. (2)通項公式法:an=cqn(c,q均是不為0的常數(shù),n∈N*)?{an}是等比數(shù)列. (3)中項公式法:a=anan+2(anan+1an+2≠0,n∈N*)?{an}是等比數(shù)列. (二) 二級結(jié)論要用好 1.等差數(shù)列的重要規(guī)律與推論 (1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d;p+q=m+n?ap+aq=am+an. (2)ap=q,aq=p(p≠q)?ap+q=0;Sm+n=Sm+Sn+mnd. (3)連續(xù)k項的和(如Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…)構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列. (4)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)2m,公差為d,所有奇數(shù)項之和為S奇,所有偶數(shù)項之和為S偶,則所有項之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,=. (5)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為奇數(shù)2m-1,所有奇數(shù)項之和為S奇,所有偶數(shù)項之和為S偶,則所有項之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,=. [針對練1] 一個等差數(shù)列的前12項和為354,前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為32∶27,則該數(shù)列的公差d=________. 解析:設(shè)等差數(shù)列的前12項中奇數(shù)項的和為S奇,偶數(shù)項的和為S偶,等差數(shù)列的公差為d. 由已知條件,得 解得 又S偶-S奇=6d,所以d==5. 答案:5 2.等比數(shù)列的重要規(guī)律與推論 (1)an=a1qn-1=amqn-m;p+q=m+n?apaq=aman. (2){an},{bn}成等比數(shù)列?{anbn}成等比數(shù)列. (3)連續(xù)m項的和(如Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…)構(gòu)成的數(shù)列是等比數(shù)列(注意:這連續(xù)m項的和必須非零才能成立). (4)若等比數(shù)列有2n項,公比為q,奇數(shù)項之和為S奇,偶數(shù)項之和為S偶,則=q. (5)對于等比數(shù)列前n項和Sn,有: ①Sm+n=Sm+qmSn; ②=(q≠1). (三) 易錯易混要明了 已知數(shù)列的前n項和求an,易忽視n=1的情形,直接用Sn-Sn-1表示.事實上,當(dāng)n=1時,a1=S1;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1. [針對練2] 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+1,則該數(shù)列的通項公式為________. 解析:當(dāng)n=1時,a1=S1=2. 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(n2+1)-[(n-1)2+1]=n2-(n-1)2=2n-1, 又當(dāng)n=1時,21-1=1≠2. ∴an= 答案:an= A組——10+7提速練 一、選擇題 1.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q=2,前n項和為Sn,則=( ) A.2 B.4 C. D. 解析:選C ∵q=2, ∴S4==15a1, ∴==.故選C. 2.(2017全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a4+a5=24,S6=48,則{an}的公差為( ) A.1 B.2 C.4 D.8 解析:選C 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 則由得 即解得d=4. 3.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S1=a2-,S2=a3-,則公比q=( ) A.1 B.4 C.4或0 D.8 解析:選B ∵S1=a2-,S2=a3-, ∴ 解得或, 故所求的公比q=4.故選B. 4.(2019屆高三湖州五校聯(lián)考)若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列,Sn是其前n項和,則下列結(jié)論中正確的是( ) A.若a1+a2>0,則a1+a3>0 B.若a1+a4>0,則a1a4>a2a3 C.若d>0且a1>0,則+> D.若S3+S7>2S5,則d>0 解析:選D 由a1+a2=2a1+d>0,得d>-2a1,由a1+a3=2a1+2d>0,得d>-a1,顯然不符,A錯;a1a4=a+3a1d,a2a3=a+3a1d+2d2,因為d≠0,所以a1a4 2S5=10a1+20d,解得d>0,D正確. 5.(2018金華統(tǒng)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足S7=S11,且a1>0,則Sn中最大的是( ) A.S7 B.S8 C.S9 D.S10 解析:選C 法一:設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,根據(jù)S7=S11可得7a1+d=11a1+d,即d=-a1,則Sn=na1+d=na1+=-(n-9)2+a1,由a1>0可知-<0,故當(dāng)n=9時,Sn最大. 法二:根據(jù)S7=S11可得a8+a9+a10+a11=0,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a8+a11=a9+a10=0,由a1>0可知a9>0,a10<0,所以數(shù)列{an}的前9項和最大. 6.(2019屆高三浙江名校聯(lián)考信息卷)已知數(shù)列{an}是正項數(shù)列,則“{an}為等比數(shù)列”是“a+a≥2a”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選A 若{an}為等比數(shù)列,則有anan+2=a,所以a+a≥2=2a,當(dāng)且僅當(dāng)an=an+2時取等號,所以充分性成立;當(dāng)a+a≥2a時,取an=n,則a+a-2a=n2+(n+2)2-2(n+1)2=2n2+4n+4-2n2-4n-2=2>0,所以a+a≥2a成立,但{an}是等差數(shù)列,不是等比數(shù)列,所以必要性不成立.所以“{an}為等比數(shù)列”是“a+a≥2a”的充分不必要條件.故選A. 7.若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S6>S7>S5,則滿足SnSn+1<0的正整數(shù)n的值為( ) A.10 B.11 C.12 D.13 解析:選C 由S6>S7>S5,得S7=S6+a7 S5,所以a7<0,a6+a7>0,所以S13==13a7<0,S12==6(a6+a7)>0,所以S12S13<0,即滿足SnSn+1<0的正整數(shù)n的值為12,故選C. 8.(2018浙江考前熱身聯(lián)考)我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載:一年有二十四個節(jié)氣,每個節(jié)氣晷(ɡuǐ)長損益相同(晷是按照日影測定時刻的儀器,晷長即為所測量影子的長度).二十四個節(jié)氣及晷長變化如圖所示,相鄰兩個節(jié)氣晷長的變化量相同,周而復(fù)始.若冬至晷長一丈三尺五寸夏至晷長一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),則夏至之后的那個節(jié)氣(小暑)晷長是( ) A.五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸 D.四尺五寸 解析:選B 設(shè)從夏至到冬至的晷長依次構(gòu)成等差數(shù)列{an},公差為d,a1=15,a13=135,則15+12d=135,解得d=10.∴a2=15+10=25,∴小暑的晷長是25寸.故選B. 9.已知數(shù)列{an}滿足a1a2a3…an=2n2(n∈N*),且對任意n∈N*都有++…+ 的最大正整數(shù)n為________. 解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 由已知可得解得 故數(shù)列{an}的通項公式為an=2-n. Sn=a1++…+,① =++…+.② ①-②得=a1++…+-=1--=1--=, 所以Sn=,由Sn=>,得0 100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是( ) A.440 B.330 C.220 D.110 解析:選A 設(shè)第一項為第1組,接下來的兩項為第2組,再接下來的三項為第3組,依此類推,則第n組的項數(shù)為n,前n組的項數(shù)和為. 由題意可知,N>100,令>100, 得n≥14,n∈N*,即N出現(xiàn)在第13組之后. 易得第n組的所有項的和為=2n-1,前n組的所有項的和為-n=2n+1-n-2. 設(shè)滿足條件的N在第k+1(k∈N*,k≥13)組,且第N項為第k+1組的第t(t∈N*)個數(shù), 若要使前N項和為2的整數(shù)冪,則第k+1組的前t項的和2t-1應(yīng)與-2-k互為相反數(shù), 即2t-1=k+2,∴2t=k+3,∴t=log2(k+3), ∴當(dāng)t=4,k=13時,N=+4=95<100,不滿足題意; 當(dāng)t=5,k=29時,N=+5=440; 當(dāng)t>5時,N>440,故選A. 3.(2018浙江考前沖刺卷)已知數(shù)列{an}是首項為1,公差d不為0的等差數(shù)列,且a2a3=a8,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,其中b2=-2,b5=16,若數(shù)列{cn}滿足cn=anbn,則|c1|+|c2|+|c3|+…+|cn|=( ) A.3+(2n-3)2n+1 B.3+(2n-3)2n C.3-(2n-3)2n D.3+(2n+3)2n 解析:選B 由題意知,(a1+d)(a1+2d)=a1+7d,a1=1,得d=2,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q,則q3==-8,q=-2,所以bn=(-2)n-1,所以|cn|=|(2n-1)(-2)n-1|=(2n-1)2n-1,所以|c1|+|c2|+|c3|+…+|cn|=120+321+…+(2n-1)2n-1.令Tn=120+321+…+(2n-1)2n-1,則2Tn=121+322+…+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,兩式相減得Tn=-2(21+22+…+2n-1)+(2n-1)2n-1=3+(2n-3)2n,所以選B. 4.(2018浙江高三模擬)已知在數(shù)列{an}中,a1=-,[1-(-1)n]an=(-1)nan-1+2-(n≥2),且對任意的n∈N*,(an+1-p)(an-p)<0恒成立,則實數(shù)p的取值范圍是( ) A. B. C. D. 解析:選A ∵[1-(-1)n]an=(-1)nan-1+2-(n≥2),(*) a1=-,∴①當(dāng)n為偶數(shù)時,化簡(*)式可知,an-1=-2,∴an=-2(n為奇數(shù)); ②當(dāng)n為奇數(shù)時,化簡(*)式可知,2an=-an-1+2-,即-4=-an-1+2-,即an-1=6-, ∴an=6-(n為偶數(shù)).于是an= ∵對任意n∈N*,(an+1-p)(an-p)<0恒成立, ∴對任意n∈N*,(p-an+1)(p-an)<0恒成立.又數(shù)列{a2k-1}單調(diào)遞減,數(shù)列{a2k}單調(diào)遞增,∴當(dāng)n為奇數(shù)時,有an 32n-1,且bn∈Z,則bn=________,數(shù)列的前n項和為________. 解析:由2an+1=an+an+2,知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,因為a1=2,a2=4,所以其公差為2,所以an=2n.由bn+1-bn<2n+,得bn+2-bn+1<2n+1+,所以bn+2-bn<32n+1,又bn+2-bn>32n-1,且bn∈Z,所以bn+2-bn=32n,又b1=2,b2=4,所以bn=2n.所以==2n-1,則數(shù)列的前n項和為=2n-1. 答案:2n 2n-1 第二講 大題考法——數(shù)列的綜合應(yīng)用及數(shù)學(xué)歸納法 題型(一) 等差、等比數(shù)列基本量的計算 主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n項和的求解,且常結(jié)合數(shù)列的遞推公式命題. [典例感悟] [典例1] 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,滿足a1=2,a4=8,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,滿足b2=4,b5=32. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式; (2)求數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn. [解] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 由題意得d==2, 所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)2=2n. 設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q, 由題意得q3==8,解得q=2. 因為b1==2,所以bn=b1qn-1=22n-1=2n. (2)因為an=2n,bn=2n,所以an+bn=2n+2n,所以Sn=+=n2+n+2n+1-2. [備課札記] [方法技巧] 等差、等比數(shù)列的基本量的求解策略 (1)分析已知條件和求解目標,確定為最終解決問題需要先求解的中間問題.如為求和需要先求出通項、為求出通項需要先求出首項和公差(公比)等,即確定解題的邏輯次序. (2)注意細節(jié).例如:在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中,若等比數(shù)列的公比不能確定,則要看其是否有等于1的可能;在數(shù)列的通項問題中,第一項和后面的項能否用同一個公式表示等. [演練沖關(guān)] 1.(2018浙江第二次聯(lián)盟聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{an}的首項a1=,前n項和為Sn,且滿足2an+1+Sn=3(n∈N*). (1)求a2及an; (2)求證:anSn的最大值為. 解:(1)由題意得2a2+S1=3, 即2a2+a1=3, 所以a2==. 當(dāng)n≥2時,由2an+1+Sn=3,得2an+Sn-1=3, 兩式相減得2an+1-an=0,即an+1=an. 因為a1=,a2=,所以a2=a1, 即當(dāng)n=1時,an+1=an也成立. 所以{an}是以為首項,為公比的等比數(shù)列, 所以an=. (2)證明:因為2an+1+Sn=3,且an+1=an, 所以Sn=3-2an+1=3-an. 于是,anSn=an(3-an)≤2=, 當(dāng)且僅當(dāng)an=,即n=1時等號成立. 故anSn的最大值為. 題型(二) 等差、等比數(shù)列的判定與證明 主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、等差中項及等比中項,且常與數(shù)列的遞推公式相結(jié)合命題. [典例感悟] [典例2] 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=1+λan,其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列,并求其通項公式; (2)若S5=,求λ. [解] (1)證明:由題意得a1=S1=1+λa1, 故λ≠1,a1=,故a1≠0. 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan, 即an+1(λ-1)=λan. 由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=. 因此{an}是首項為,公比為的等比數(shù)列, 于是an=n-1. (2)由(1)得Sn=1-n. 由S5=得1-5=,即5=. 解得λ=-1. [備課札記] [方法技巧] 判定和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的方法 定義法 對于n≥1的任意自然數(shù),驗證an+1-an為與正整數(shù)n無關(guān)的某一常數(shù) 中項公式法 ①若2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),則{an}為等差數(shù)列; ②若a=an-1an+1≠0(n∈N*,n≥2),則{an}為等比數(shù)列 [演練沖關(guān)] 2.(2018溫州高考適應(yīng)性測試)已知數(shù)列{an}的前n項積為Tn,且Tn=1-an. (1)證明:是等差數(shù)列; (2)求數(shù)列的前n項和Sn. 解:(1)證明:由Tn=1-an得,當(dāng)n≥2時,Tn=1-, 兩邊同時除以Tn,得-=1. ∵T1=1-a1=a1,∴a1=,==2, ∴是首項為2,公差為1的等差數(shù)列. (2)由(1)知=n+1,則Tn=, 從而an=1-Tn=,故=n. ∴數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列, ∴Sn=. 題型(三) 數(shù)列求和問題 主要考查錯位相減法求和、裂項相消法求和以及分組求和、含絕對值的數(shù)列求和,且常結(jié)合數(shù)列的遞推公式、周期等命題. [典例感悟] [典例3] (2018浙江高考)已知等比數(shù)列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中項.?dāng)?shù)列{bn}滿足b1=1,數(shù)列{(bn+1-bn)an}的前n項和為2n2+n. (1)求q的值; (2)求數(shù)列{bn}的通項公式. [解] (1)由a4+2是a3,a5的等差中項, 得a3+a5=2a4+4, 所以a3+a4+a5=3a4+4=28, 解得a4=8. 由a3+a5=20,得8=20, 解得q=2或q=. 因為q>1,所以q=2. (2)設(shè)cn=(bn+1-bn)an,數(shù)列{cn}的前n項和為Sn. 由cn=解得cn=4n-1. 由(1)可得an=2n-1, 所以bn+1-bn=(4n-1)n-1, 故bn-bn-1=(4n-5)n-2,n≥2, bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)n-2+(4n-9)n-3+…+7+3. 設(shè)Tn=3+7+112+…+(4n-5)n-2,n≥2.① 則Tn=3+72+…+(4n-9)n-2+(4n-5)n-1,② ①-②,得Tn=3+4+42+…+4n-2-(4n-5)n-1, 所以Tn=14-(4n+3)n-2,n≥2. 又b1=1,所以bn=15-(4n+3)n-2. [備課札記] [方法技巧] 1.分組求和中分組的策略 (1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組. (2)根據(jù)正號、負號分組. 2.裂項相消的規(guī)律 (1)裂項系數(shù)取決于前后兩項分母的差. (2)裂項相消后前、后保留的項數(shù)一樣多. 3.錯位相減法的關(guān)注點 (1)適用題型:等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}對應(yīng)項相乘({anbn})型數(shù)列求和. (2)步驟: ①求和時先乘以數(shù)列{bn}的公比; ②將兩個和式錯位相減; ③整理結(jié)果形式. [演練沖關(guān)] 3.(2018浙江高三模擬)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且a1=11,b1=1,a2+b2=11,a3+b3=11. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式; (2)求數(shù)列{|an-bn|}的前12項和S12. 解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,{bn}的公比為q(q≠0), 則由a3+b3=a2+b2=a1=11, 可得得d=-2,q=2, 從而an=-2n+13,bn=2n-1. (2)不妨設(shè)cn=an-bn=13-2n-2n-1, 若n≤3,則cn>0;若n≥4,則cn<0, 因此S12=|c1|+|c2|+|c3|+|c4|+|c5|+…+|c12| =c1+c2+c3-(c4+c5+…+c12) =2(c1+c2+c3)-(c1+c2+…+c12) =2(c1+c2+c3)-(a1+a2+…+a12)+(b1+b2+…+b12) =2(10+7+3)-12+ =40-0+212-1 =4 135. 4.(2018浙江考前沖刺卷)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公比q>0,S2=2a2-2,S3=a4-2. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)bn=Tn為數(shù)列{bn}的前n項和,求T2n. 解:(1)∵S2=2a2-2,① S3=a4-2,② ②—①得a3=a4-2a2,即q2-q-2=0. 又q>0,∴q=2. ∵S2=2a2-2,∴a1+a2=2a2-2, 即a1+a1q=2a1q-2,∴a1=2, ∴an=2n. (2)由(1)知bn= 即bn= ∴T2n=b1+b2+b3+…+b2n=+[22-2+42-4+62-6+…+(2n)2-2n]=+[22-2+42-4+62-6+…+(2n)2-2n]. 設(shè)A=22-2+42-4+62-6+…+(2n)2-2n, 則2-2A=22-4+42-6+62-8+…+(2n-2)2-2n+(2n)2-2n-2, 兩式相減得A=+2(2-4+2-6+2-8+…+2-2n)-(2n)2-2n-2, 整理得A=-, ∴T2n=-+. 題型(四) 數(shù)列與不等式的綜合問題 主要考查證明不等式、比較數(shù)列中項的大小問題. [典例感悟] [典例4] (2018衢州質(zhì)量檢測)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,Sn=2an+1,其中Sn為{an}的前n項和(n∈N*). (1)求S1,S
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