《(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第五章 三角函數(shù)、解三角形 5.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)講義(含解析).docx》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第五章 三角函數(shù)、解三角形 5.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)講義(含解析).docx(18頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
5.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
最新考綱
考情考向分析
1.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義及其圖象與性質(zhì).
2.了解三角函數(shù)的周期性.
以考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)為主,題目涉及三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用、圖象的對稱性、單調(diào)性、周期性、最值、零點(diǎn).考查三角函數(shù)性質(zhì)時(shí),常與三角恒等變換結(jié)合,加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想的應(yīng)用意識.題型既有選擇題和填空題,又有解答題,中檔難度.
1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖
(1)在正弦函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖象中,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:(0,0),,(π,0),,(2π,0).
(2)在余弦函數(shù)y=cosx,x∈[0,2π]的圖象中,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).
2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)
函數(shù)
y=sinx
y=cosx
y=tanx
圖象
定義域
R
R
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
遞增區(qū)間
[2kπ-π,2kπ]
遞減區(qū)間
[2kπ,2kπ+π]
無
對稱中心
(kπ,0)
對稱軸
方程
x=kπ+
x=kπ
無
概念方法微思考
1.正(余)弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是多少?相鄰兩個(gè)對稱中心的距離呢?
提示 正(余)弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是半個(gè)周期;相鄰兩個(gè)對稱中心的距離也為半個(gè)周期.
2.思考函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)是奇函數(shù),偶函數(shù)的充要條件?
提示 (1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ=+kπ(k∈Z);
(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ=kπ(k∈Z).
題組一 思考辨析
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊?
(1)y=sinx在第一、第四象限是增函數(shù).( )
(2)由sin=sin知,是正弦函數(shù)y=sinx(x∈R)的一個(gè)周期.( )
(3)正切函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù).( )
(4)已知y=ksinx+1,x∈R,則y的最大值為k+1.( )
(5)y=sin|x|是偶函數(shù).( √ )
題組二 教材改編
2.[P35例2]函數(shù)f(x)=cos的最小正周期是________.
答案 π
3.[P46A組T2]y=3sin在區(qū)間上的值域是________.
答案
解析 當(dāng)x∈時(shí),2x-∈,
sin∈,
故3sin∈,
即y=3sin的值域?yàn)?
4.[P47B組T2]函數(shù)y=-tan的單調(diào)遞減區(qū)間為________________.
答案 (k∈Z)
解析 由-+kπ<2x-<+kπ(k∈Z),
得+
cos23>cos97
解析 sin68=cos22,
又y=cosx在[0,180]上是減函數(shù),
∴sin68>cos23>cos97.
題型一 三角函數(shù)的定義域
1.函數(shù)f(x)=-2tan的定義域是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 由正切函數(shù)的定義域,得2x+≠kπ+,k∈Z,即x≠+(k∈Z),故選D.
2.函數(shù)y=的定義域?yàn)開_______.
答案 (k∈Z)
解析 方法一 要使函數(shù)有意義,必須使sinx-cosx≥0.利用圖象,在同一坐標(biāo)系中畫出[0,2π]上y=sinx和y=cosx的圖象,如圖所示.
在[0,2π]內(nèi),滿足sinx=cosx的x為,,再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2π,所以原函數(shù)的定義域?yàn)?
.
方法二 利用三角函數(shù)線,畫出滿足條件的終邊范圍(如圖中陰影部分所示).
所以定義域?yàn)?
3.函數(shù)y=lg(sinx)+的定義域?yàn)開_______.
答案
解析 要使函數(shù)有意義,則
即解得
所以2kπ時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
∴當(dāng)cosx=時(shí),f(x)有最小值.
又f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx),
∴當(dāng)sinx=-時(shí),f(x)有最小值,
即f(x)min=2=-.
思維升華求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型:
(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值);
(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù),可先設(shè)sinx=t,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值);
(3)形如y=asinxcosx+b(sinxcosx)+c的三角函數(shù),可先設(shè)t=sinxcosx,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值).
(4)一些復(fù)雜的三角函數(shù),可考慮利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,然后求最值.
跟蹤訓(xùn)練1(1)(2017臺(tái)州模擬)已知函數(shù)f(x)=sin,其中x∈,若f(x)的值域是,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________________.
答案
解析 ∵x∈,∴x+∈,
∵當(dāng)x+∈時(shí),f(x)的值域?yàn)椋?
∴由函數(shù)的圖象(圖略)知,≤a+≤,
∴≤a≤π.
(2)函數(shù)y=sinx-cosx+sinxcosx的值域?yàn)開_________.
答案
解析 設(shè)t=sinx-cosx,則t2=sin2x+cos2x-2sinxcosx,sinxcosx=,且-≤t≤.
∴y=-+t+=-(t-1)2+1,t∈[-,].
當(dāng)t=1時(shí),ymax=1;
當(dāng)t=-時(shí),ymin=--.
∴函數(shù)的值域?yàn)?
題型三 三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性
命題點(diǎn)1 三角函數(shù)的周期性
例2(1)(2016浙江)設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+bsinx+c,則f(x)的最小正周期( )
A.與b有關(guān),且與c有關(guān)
B.與b有關(guān),但與c無關(guān)
C.與b無關(guān),且與c無關(guān)
D.與b無關(guān),但與c有關(guān)
答案 B
解析 因?yàn)閒(x)=sin2x+bsinx+c=-+bsinx+c+,其中當(dāng)b=0時(shí),f(x)=-+c+,f(x)的周期為π;b≠0時(shí),f(x)的周期為2π.即f(x)的周期與b有關(guān)但與c無關(guān),故選B.
(2)若函數(shù)f(x)=2tan的最小正周期T滿足10)圖象的兩條相鄰對稱軸,則φ的一個(gè)可能取值為( )
A.πB.C.D.
答案 A
解析 由題意,函數(shù)的周期T=2=2π,∴ω==1,∴y=cos(x+φ),當(dāng)x=π時(shí),函數(shù)取得最大值或最小值,即cos=1,可得π+φ=kπ,k∈Z,∴φ=kπ-π,k∈Z.當(dāng)k=2時(shí),可得φ=π.
題型四 三角函數(shù)的單調(diào)性
命題點(diǎn)1 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例5(1)函數(shù)f(x)=sin的單調(diào)遞減區(qū)間為______________________.
答案 (k∈Z)
解析 f(x)=sin=sin
=-sin,
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故所求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z).
(2)函數(shù)f(x)=tan的單調(diào)遞增區(qū)間是____________.
答案 (k∈Z)
解析 由kπ-<2x+0,函數(shù)f(x)=sin在上單調(diào)遞減,則ω的取值范圍是________.
答案
解析 由0,得+<ωx+<ωπ+,
又y=sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為,k∈Z,
所以k∈Z,
解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z.
又由4k+-≤0,k∈Z且2k+>0,k∈Z,得k=0,所以ω∈.
引申探究
本例中,若已知ω>0,函數(shù)f(x)=cos在上單調(diào)遞增,則ω的取值范圍是____________.
答案
解析 函數(shù)y=cosx的單調(diào)遞增區(qū)間為[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,則k∈Z,
解得4k-≤ω≤2k-,k∈Z,
又由4k--≤0,k∈Z且2k->0,k∈Z,
得k=1,所以ω∈.
思維升華 (1)已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間
求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的單調(diào)區(qū)間時(shí),要視“ωx+φ”為一個(gè)整體,通過解不等式求解.但如果ω<0,可借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù),防止把單調(diào)性弄錯(cuò).
(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù).先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,然后利用集合間的關(guān)系求解.
跟蹤訓(xùn)練3 (1)已知函數(shù)f(x)=2sin,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 D
解析 函數(shù)的解析式可化為f(x)=-2sin.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z).
(2)若函數(shù)g(x)=sin在區(qū)間和上均單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
答案
解析 由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),可得
kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
∴g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).
又∵函數(shù)g(x)在區(qū)間和上均單調(diào)遞增,
∴ 解得≤a<.
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
縱觀近年高考中三角函數(shù)的試題,其有關(guān)性質(zhì)幾乎每年必考,題目較為簡單,綜合性的知識多數(shù)為三角函數(shù)本章內(nèi)的知識,通過有效地復(fù)習(xí)完全可以對此類題型及解法有效攻破,并在高考中拿全分.
例(1)(2018浙江十校聯(lián)盟適應(yīng)性考試)下列四個(gè)函數(shù)中,以π為最小正周期,在上單調(diào)遞減且為偶函數(shù)的是( )
A.y=sin|x| B.y=cos|x|
C.y=|tanx| D.y=-ln|sinx|
答案 D
解析 由題意知函數(shù)y=sin|x|在上單調(diào)遞增,y=cos|x|的最小正周期為2π,y=|tanx|在上單調(diào)遞增.因?yàn)閒(x)=|sinx|為偶函數(shù),且當(dāng)x∈時(shí)單調(diào)遞增,所以y=-ln|sinx|為偶函數(shù),且當(dāng)x∈時(shí)單調(diào)遞減,又g(x)=sinx的最小正周期為2π,所以f(x)=|sinx|的最小正周期為π,則函數(shù)y=-ln|sinx|的最小正周期為π,故選D.
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=cos,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.f(x)的一個(gè)周期為-2π
B.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱
C.f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x=
D.f(x)在上單調(diào)遞減
答案 D
解析 A項(xiàng),因?yàn)閒(x)=cos的周期為2kπ(k∈Z,且k≠0),所以f(x)的一個(gè)周期為-2π,A項(xiàng)正確;
B項(xiàng),因?yàn)閒(x)=cos的圖象的對稱軸為直線x=kπ-(k∈Z),所以y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱,B項(xiàng)正確;
C項(xiàng),f(x+π)=cos.令x+=kπ+(k∈Z),得x=kπ-(k∈Z),當(dāng)k=1時(shí),x=,
所以f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x=,C項(xiàng)正確;
D項(xiàng),因?yàn)閒(x)=cos的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z),
單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z),
所以f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選D.
(3)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)的部分圖象如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為______________________.
答案 ,k∈Z
解析 由圖象知,周期T=2=2,∴=2,∴ω=π.由π+φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=,
∴f(x)=cos.由2kπ<πx+<2kπ+π,k∈Z,
得2k-0,ω>0).若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性,且f=f=-f,則f(x)的最小正周期為________.
答案 π
解析 記f(x)的最小正周期為T.
由題意知≥-=,
又f=f=-f,且-=,
可作出示意圖如圖所示(一種情況):
∴x1==,
x2==,
∴=x2-x1=-=,∴T=π.
1.(2018浙江六校協(xié)作體期末聯(lián)考)“φ=kπ+(k∈Z)”是“函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)是奇函數(shù)”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 C
解析 若φ=kπ+(k∈Z),則f(x)=cos(ωx+φ)=cos=sinωx,函數(shù)f(x)為奇函數(shù),所以充分性成立;
反之,若函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)是奇函數(shù),則ω0+φ=kπ+(k∈Z),即φ=kπ+(k∈Z),因此必要性成立.所以“φ=kπ+(k∈Z)”是“函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)是奇函數(shù)”的充要條件,故選C.
2.函數(shù)f(x)=sin在區(qū)間上的最小值為( )
A.-1B.-C.D.0
答案 B
解析 由已知x∈,得2x-∈,
所以sin∈,故函數(shù)f(x)=sin在區(qū)間上的最小值為-.故選B.
3.(2019舟山模擬)函數(shù)y=sinx2的圖象是( )
答案 D
解析 函數(shù)y=sinx2為偶函數(shù),排除A,C;又當(dāng)x=時(shí)函數(shù)取得最大值,排除B,故選D.
4.函數(shù)y=cos2x-2sinx的最大值與最小值分別為( )
A.3,-1 B.3,-2
C.2,-1 D.2,-2
答案 D
解析 y=cos2x-2sinx=1-sin2x-2sinx
=-sin2x-2sinx+1,
令t=sinx,則t∈[-1,1],y=-t2-2t+1=-(t+1)2+2,
所以ymax=2,ymin=-2.
5.已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+φ)的圖象過點(diǎn)(0,),則f(x)圖象的一個(gè)對稱中心是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 函數(shù)f(x)=2sin(2x+φ)的圖象過點(diǎn)(0,),則f(0)=2sinφ=,
∴sinφ=,又|φ|<,∴φ=,
則f(x)=2sin,令2x+=kπ(k∈Z),
則x=-(k∈Z),當(dāng)k=0時(shí),x=-,
∴是函數(shù)f(x)的圖象的一個(gè)對稱中心.
6.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ),其中φ為實(shí)數(shù),若f(x)≤對任意x∈R恒成立,且f>0,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 C
解析 由題意可得函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖象關(guān)于直線x=對稱,故有2+φ=kπ+,k∈Z,即φ=kπ,k∈Z.又f=sin>0,所以φ=2nπ,n∈Z,所以f(x)=sin(2x+2nπ)=sin2x.令2kπ+≤2x≤2kπ+,k∈Z,求得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,k∈Z.
7.函數(shù)y=的定義域?yàn)開_______.
答案
解析 要使函數(shù)有意義必須有tan≠0,
則
所以x-≠,k∈Z,所以x≠+,k∈Z,
所以原函數(shù)的定義域?yàn)?
8.設(shè)函數(shù)f(x)=3sin,若存在這樣的實(shí)數(shù)x1,x2,對任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,則|x1-x2|的最小值為________.
答案 2
解析 |x1-x2|的最小值為函數(shù)f(x)的半個(gè)周期,
又T=4,∴|x1-x2|的最小值為2.
9.(2018浙江溫州中學(xué)模擬)函數(shù)f(x)=2cos2x+cos-1,則函數(shù)的最小正周期為____________,在[0,π]內(nèi)的對稱軸方程是________.
答案 π x=和x=
解析 因?yàn)閒(x)=1+cos2x+cos2x+sin2x-1
=sin2x+cos2x=sin,
所以最小正周期T==π.解sin=1,
得f(x)的對稱軸方程為x=+(k∈Z).
由于x∈[0,π],所以在[0,π]內(nèi)的對稱軸方程是x=和x=.
10.已知函數(shù)f(x)=,則下列說法正確的是________.(填序號)
①f(x)的周期是;
②f(x)的值域是{y|y∈R,且y≠0};
③直線x=是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸;
④f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是,k∈Z.
答案?、?
解析 函數(shù)f(x)的周期為2π,①錯(cuò);f(x)的值域?yàn)閇0,+∞),②錯(cuò);當(dāng)x=時(shí),x-=≠,k∈Z,∴x=不是f(x)的對稱軸,③錯(cuò);令kπ-sinx,此時(shí)f(x)=sinx,f(x)∈∪[-1,0].綜上知f(x)的值域?yàn)?
14.已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)+1,其圖象與直線y=3相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為,若f(x)>1對任意x∈恒成立,則φ的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由題意可得函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)+1的最大值為3.∵f(x)的圖象與直線y=3相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為,∴f(x)的周期T=,∴=,解得ω=3,∴f(x)=2cos(3x+φ)+1.∵f(x)>1對任意x∈恒成立,∴2cos(3x+φ)+1>1,即cos(3x+φ)>0對任意x∈恒成立,∴-+φ≥2kπ-且+φ≤2kπ+,k∈Z,解得φ≥2kπ-且φ≤2kπ,k∈Z,即2kπ-≤φ≤2kπ,k∈Z.結(jié)合|φ|<可得,當(dāng)k=0時(shí),φ的取值范圍為.
15.已知函數(shù)f(x)=cos(2x+θ)在上單調(diào)遞增,若f≤m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________.
答案 [0,+∞)
解析 f(x)=cos(2x+θ),
當(dāng)x∈時(shí),-+θ≤2x+θ≤-+θ,
由函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)得
k∈Z,
則2kπ-≤θ≤2kπ+(k∈Z).
又0≤θ≤,∴0≤θ≤,∵f=cos,
又≤θ+≤,∴fmax=0,∴m≥0.
16.設(shè)函數(shù)f(x)=2sin+m的圖象關(guān)于直線x=π對稱,其中0<ω<.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期.
(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象過點(diǎn)(π,0),求函數(shù)f(x)在上的值域.
解 (1)由直線x=π是y=f(x)圖象的一條對稱軸,
可得sin=1,
∴2ωπ-=kπ+(k∈Z),
即ω=+(k∈Z).
又0<ω<,∴ω=,
∴函數(shù)f(x)的最小正周期為3π.
(2)由(1)知f(x)=2sin+m,
∵f(π)=0,∴2sin+m=0,∴m=-2,
∴f(x)=2sin-2,
當(dāng)0≤x≤時(shí),-≤x-≤,
-≤sin≤1.
∴-3≤f(x)≤0,
故函數(shù)f(x)在上的值域?yàn)?
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