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第1章 常用邏輯用語
1 怎樣解邏輯用語問題
1.利用集合理清關系
充分(必要)條件是高中學段的一個重要概念，并且是理解上的一個難點.要解決這個難點，將抽象的概念用直觀、形象的圖形表示出來，看得見、想得通，才是最好的方法.下面通過使用集合模型對充要條件的外延與內(nèi)涵作了直觀形象的解釋，實踐證明效果較好.集合模型解釋如下：
①A是B的充分條件，即A?B.(如圖1)
②A是B的必要條件，即B?A.(如圖2)
③A是B的充要條件，即A＝B.(如圖3)
④A是B的既不充分又不必要條件，即A∩B＝?或A，B既有公共元素也有非公共元素.(如圖4)
或
圖4
例1 設集合A，B是全集U的兩個子集，則AB是(?UA)∪B＝U的______________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
解析 當AB時，如圖1所示，則(?UA)∪B＝U成立；當A＝B時，如圖2所示，則(?UA)∪B＝(?UB)∪B＝U成立，即當(?UA)∪B＝U成立時，可有A?B.
故AB是(?UA)∪B＝U的充分不必要條件.
答案 充分不必要
2.抓住量詞，對癥下藥
全稱命題與存在性命題是兩類特殊的命題，這兩類命題的否定又是這部分內(nèi)容中的重要概念，解決有關此類命題的題目時一定要抓住決定命題性質(zhì)的量詞，理解其相應的含義，從而對癥下藥.
例2 (1)已知命題p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”與命題q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為______________.
(2)已知命題p：“存在x∈[1,2]，x2－a≥0”與命題q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為____________.
解析 (1)將命題p轉(zhuǎn)化為“當x∈[1,2]時，
(x2－a)min≥0”，即1－a≥0，
即a≤1.
由命題q知，方程有解，即Δ＝(2a)2－4(2＋a)≥0，
解得a≤－1或a≥2.綜上所述，a≤－1.
(2)命題p轉(zhuǎn)化為“當x∈[1,2]時，(x2－a)max≥0”，
即4－a≥0，即a≤4.
命題q：a≤－1或a≥2.
綜上所述，a≤－1或2≤a≤4.
答案 (1)(－∞，－1] (2)(－∞，－1]∪[2,4]
點評 認真比較兩題就會發(fā)現(xiàn)，兩題形似而神異，所謂失之毫厘，謬之千里，需要我們抓住這類問題的本質(zhì)——量詞，有的放矢.
3.挖掘等價轉(zhuǎn)化思想，提高解題速度
在四種命題的關系、充要條件、簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞中，時時刻刻滲透著等價轉(zhuǎn)化思想，例如互為逆否命題的兩個命題(原命題與逆否命題或逆命題與否命題)一定同真或同假，它們就是等價的；但原命題與逆命題不等價，即原命題為真，其逆命題不一定為真.
例3 設p：q：x2＋y2≤r2 (r>0)，若q是綈p的充分不必要條件，求r的取值范圍.
分析 “q是綈p的充分不必要條件”等價于“p是綈q的充分不必要條件”.設p，q對應的集合分別為A，B，則可由A?RB出發(fā)解題.
解 設p，q對應的集合分別為A，B，將本題背景放到直角坐標系中，則點集A表示平面區(qū)域，點集?RB表示到原點距離大于r的點的集合，即圓x2＋y2＝r2外的點的集合.
∵A?RB表示區(qū)域A內(nèi)的點到原點的最近距離大于r，
∴直線3x＋4y－12＝0上的點到原點的最近距離大于等于r.
∵原點O到直線3x＋4y－12＝0的距離為
d＝＝，
∴r的取值范圍為0
0)在p：所對應的區(qū)域的外部，也是可以解決的.但以上解法將“q是綈p的充分不必要條件”等價轉(zhuǎn)化為“p是綈q的充分不必要條件”，更好地體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想.
2 辨析“命題的否定”與“否命題”
一、知識梳理
1.定義
定義
命題的否定
對原命題的結論進行否定得到的新命題
否命題
對原命題的條件和結論同時否定得到的新命題
2.真假關系表
原命題、命題的否定與否命題的真假關系表：
原命題
否定
否命題
真
假
與原命題的真假沒有關系
假
真
3.常用正面敘述詞語及它的否定
詞語
等于
大于(>)
小于(<)
是
都是
詞語的否定
不等于
不大于(≤)
不小于(≥)
不是
不都是
詞語
至多有一個
至少有一個
任意的
所有的
至多有n個
p且q
p或q
詞語的否定
至少有兩個
一個也沒有
某個
某些
至少有n＋1個
非p或非q
非p且非q
二、典例剖析
例1 寫出下列各命題的否定形式及否命題：
(1)面積相等的三角形是全等三角形；
(2)若xy＝0，則x＝0或y＝0；
(3)若x，y都是奇數(shù)，則x＋y是奇數(shù).
分析 分清結論和條件，命題的否定只否定結論，而否命題既否定條件，又否定結論.
解 (1)命題的否定：面積相等的三角形不是全等三角形；
否命題：面積不相等的三角形不是全等三角形.
(2)命題的否定：若xy＝0，則x≠0且y≠0；
否命題：若xy≠0，則x≠0且y≠0.
(3)命題的否定：若x，y都是奇數(shù)，則x＋y不是奇數(shù)；
否命題：若x，y不都是奇數(shù)，則x＋y不是奇數(shù).
點評 首先掌握“命題的否定”和“否命題”的區(qū)別和聯(lián)系，把握關鍵詞的否定，然后分清命題的條件和結論即可.
例2 寫出下列命題的否命題與命題的否定，并判斷原命題、否命題和命題的否定的真假：
(1)若x2<4，則－20且n>0，則m＋n>0.
分析 依據(jù)定義分別寫出否命題與命題的否定.根據(jù)不等式及方程的性質(zhì)逐個判斷其真假.
解 (1)否命題：“若x2≥4，則x≥2或x≤－2”；
命題的否定：“若x2<4，則x≥2或x≤－2”.
通過解不等式可以知道，原命題為真，否命題為真，命題的否定為假.
(2)否命題：“若m≤0或n≤0，則m＋n≤0”；
命題的否定：“若m>0且n>0，則m＋n≤0”.
由不等式的性質(zhì)可以知道，原命題為真，否命題為假，命題的否定為假.
3 判斷條件四策略
1.定義法
定義法是判斷充要條件最基本、最適用的方法.步驟如下：
(1)分清條件與結論(p與q)；
(2)找推式：即判斷p?q及q?p的真假；
(3)下結論：?p是q的充分不必要條件，
?p是q的必要不充分條件，
?p是q的充要條件，
?p是q的既不充分又不必要條件.
例1 設集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的______________條件.
解析 條件p：x∈M或x∈P；結論q：x∈P∩M.
若x∈M，則x不一定屬于P，
即x不一定屬于P∩M，所以p?q；
若x∈P∩M，則x∈M且x∈P，所以q?p.
綜上可知，“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分條件.
答案 必要不充分
2.利用傳遞性
充分、必要條件在推導的過程當中具有傳遞性，即：若p?q，q?r，則p?r.
例2 如果A是B的必要不充分條件，B是C的充要條件，D是C的充分不必要條件，那么A是D的________條件.
解析 依題意知，有A?B?C?D且A?B?C?D，由命題的傳遞性可知D?A，但A?D.于是A是D的必要不充分條件.
答案 必要不充分
3.集合法
適用于“當所要判斷的命題與方程的根、不等式的解集以及集合有關，或所描述的對象可以用集合表示時”的情況.
P＝{p}，Q＝{q}，利用集合間的包含關系加以判斷，具體情況如下：
(1)若P?Q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；
(2)若PQ，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；
(3)若P＝Q，則p是q的充要條件(q也是p的充要條件)；
(4)PQ且QP，則p是q的既不充分又不必要條件.
例3 設p：(2x＋1)20)，q：(x－1)(2x－1)>0，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是________________.
解析 由題意得p：1或x<.
∵p是q的充分不必要條件，
∴pq，
∴≤或≥1，
解得m≤2.
又∵m>0，∴00，所以2x＋≥2.又a>1，所以2>2>1，所以“10時，q>1；當a1<0時，0”是“sinA>”的__________條件.
解析 在△ABC中，當A>且A∈時，sinA<，故“A>”不是“sinA>”的充分條件.但當sinA>時，A>一定成立，所以“A>”是“sinA>”的必要不充分條件.
答案 必要不充分
7.與立體幾何的交匯
例7 已知E，F(xiàn)，G，H是空間四個點，命題甲：E，F(xiàn)，G，H四點不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙成立的____________條件.
解析 由空間點的位置關系知，E，F(xiàn)，G，H四點不共面，則直線EF和GH不相交，反之，未必成立，故甲是乙成立的充分不必要條件.
答案 充分不必要
5 命題和充要條件錯誤剖析
1.考慮不周出錯
例1 判斷命題的真假：函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－1只有一個零點，則a＝－1.
錯解 因為函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－1只有一個零點，所以Δ＝22－4(－1)a＝0，即a＝－1.所以該命題是真命題.
剖析 出現(xiàn)上述錯解的主要原因是由于沒考慮到函數(shù)f(x)的最高次項系數(shù)含字母參數(shù)a，應對字母參數(shù)是否為零進行討論.
正解 當a＝0時，函數(shù)f(x)為一次函數(shù)，此時函數(shù)只有一個零點；當a≠0時，函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－1只有一個零點，所以Δ＝22－4(－1)a＝0，即a＝－1.所以函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－1只有一個零點，則a＝－1或a＝0.故原命題為假命題.
2.否命題否定錯誤
例2 寫出命題“若m2＋n2＋a2＋b2＝0，則實數(shù)m，n，a，b全為零”的否命題.
錯解 否命題為：若m2＋n2＋a2＋b2＝0，則實數(shù)m，n，a，b全不為零.
剖析 否命題是將原命題的條件和結論分別否定.錯解是條件沒有否定，而結論否定為“不全為零”，卻錯誤地寫為“全不為零”.
正解 該命題的否命題為：“若m2＋n2＋a2＋b2≠0，則實數(shù)m，n，a，b不全為零”.
3.判斷充要條件時出錯
例3 (1)設x∈R，則x>2成立的必要條件有________.(填上所有正確的序號)
①x>1；②x<1；③x>3；④x<3；⑤x>0.
錯解 因為x>3?x>2，所以x>2的一個必要條件為x>3.
答案 ③
剖析 錯解的主要原因是沒弄清“a是b的必要條件”和“a的必要條件是b”的真正含義，前者等價于b?a；后者等價于“b是a的必要條件”，即a?b.
正解 因為x>2?x>1，所以x>2的一個必要條件為x>1.同理x>2?x>0，所以x>2的一個必要條件為x>0.
答案 ①⑤
(2)命題p：“向量a與向量b的夾角θ為銳角”是命題q：“ab>0”的__________條件.
錯解 若向量a與向量b的夾角θ為銳角，
則cosθ＝>0，即ab>0；反之也成立，所以p是q的充要條件.
答案 充要
剖析 判斷兩個命題是否可以相互推導時，要注意特殊情況的判斷，以防判斷出現(xiàn)錯誤.
正解 若向量a與向量b夾角θ為銳角，則cosθ＝>0?ab>0；而當ab>0時，θ＝0也成立，但此時a與b夾角不為銳角.故p是q的充分不必要條件.
答案 充分不必要
6 例析邏輯用語中的常見誤區(qū)
誤區(qū)1 所有不等式、集合運算式都不是命題
例1 判斷下列語句是不是命題，若是命題，判斷其真假：
(1)x＋2>0；
(2)x2＋2>0；
(3)A∩B＝A∪B；
(4)A?(A∪B).
錯解 (1)，(2)，(3)，(4)都不是命題.
剖析 (1)中含有未知數(shù)x，且x不確定，所以x＋2的值也不確定，故無法判斷x＋2>0是否成立，不能判斷其真假，故(1)不是命題；
(2)x雖為未知數(shù)，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判斷x2＋2>0成立，故(2)為真命題.
(3)若A＝B，則A∩B＝A∪B＝A＝B；
若AB，則A∩B＝AA∪B＝B.
由于A，B的關系未知，所以不能判斷其真假，故(3)不是命題.
(4)A為A∪B的子集，故A?(A∪B)成立，故(4)為真命題.
正解 (2)，(4)是命題，且都為真命題.
誤區(qū)2 原命題為真，其否命題必為假
例2 判斷下列命題的否命題的真假：
(1)若a＝0，則ab＝0；
(2)若a2>b2，則a>b.
錯解 (1)因為原命題為真命題，故其否命題是假命題；
(2)因為原命題為假命題，故其否命題為真命題.
剖析 否命題的真假與原命題的真假沒有關系，否命題的真假不能根據(jù)原命題的真假來判斷，應先寫出命題的否命題，再判斷.
正解 (1)否命題：若a≠0，則ab≠0，是假命題；
(2)否命題：若a2≤b2，則a≤b，是假命題.
誤區(qū)3 用“且”“或”聯(lián)結命題時只聯(lián)結條件或結論
例3 (1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2，試寫出p∨q.
(2)p：四條邊相等的四邊形是正方形；q：四個角相等的四邊形是正方形，試寫出p∧q.
錯解 (1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2.
(2)p∧q：四條邊相等且四個角相等的四邊形是正方形.
剖析 (1)(2)兩題中p，q都是假命題，所以“p∨q”，“p∧q”也都應是假命題.而上述解答中寫出的兩命題卻都是真命題.錯誤原因：(1)只聯(lián)結了兩個命題的結論；(2)只聯(lián)結了兩個命題的條件.
正解 (1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2.
(2)p∧q：四條邊相等的四邊形是正方形且四個角相等的四邊形是正方形.
誤區(qū)4 對含有一個量詞的命題否定不完全
例4 已知命題p：存在一個實數(shù)x，使得x2－x－2<0，寫出綈p.
錯解一 綈p：存在一個實數(shù)x，使得x2－x－2≥0.
錯解二 綈p：對任意的實數(shù)x，都有x2－x－2<0.
剖析 該命題是存在性命題，其否定是全稱命題，但錯解一中得到的綈p仍是存在性命題，顯然只對結論進行了否定，而沒有對存在量詞進行否定；錯解二中只對存在量詞進行了否定，而沒有對結論進行否定.
正解 綈p：對任意的實數(shù)x，都有x2－x－2≥0.
誤區(qū)5 忽略了隱含的量詞
例5 寫出下列命題的否定：
(1)p：若2x>4，則x>2；
(2)p：可以被5整除的數(shù)末位是0；
(3)p：能被8整除的數(shù)也能被4整除.
錯解 (1)綈p：若2x>4，則x≤2.
(2)綈p：可以被5整除的數(shù)末位不是0.
(3)綈p：能被8整除的數(shù)不能被4整除.
剖析 由于有些全稱命題或存在性命題隱含了量詞，從而導致未變化量詞而直接否定結論出現(xiàn)錯誤.
正解 (1)綈p：存在x，使得若2x>4，則x≤2.
(2)綈p：存在可以被5整除的數(shù)末位不是0.
(3)綈p：存在能被8整除的數(shù)不能被4整除.
7 解“邏輯”問題的三意識
1.轉(zhuǎn)化意識
由于互為逆否的兩個命題同真假，因此，當原命題的真假不易判斷或證明原命題較困難時，可以轉(zhuǎn)化為逆否命題的真假來判斷或證明.
例1 證明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，則a－b≠1.
分析 本題直接證明原命題是真命題，顯然不太容易，可考慮轉(zhuǎn)化為證明它的逆否命題是真命題.
證明 命題“若a2－b2＋2a－4b－3≠0，則a－b≠1”的逆否命題是“若a－b＝1，則a2－b2＋2a－4b－3＝0”.由a－b＝1，得a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝a－b－1＝0.
∵原命題的逆否命題是真命題，
∴原命題也是真命題.
故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，則a－b≠1.
例2 已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分不必要條件，求正實數(shù)a的取值范圍.
分析 將充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關系，進而轉(zhuǎn)化為集合運算問題.
解 解不等式x2－8x－20>0，
得p：A＝{x|x>10或x<－2}；
解不等式x2－2x＋1－a2>0，
得q：B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}.
依題意p?q，但q?p，說明AB.
于是有或解得01?a<2，
即q真?a<2.
由p或q為真命題，p且q為假命題知，命題p，q中必有一真一假.若p真q假，則無解；若p假q真，則1
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