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專題04 數(shù)列問題 1．（2018新課標(biāo)全國Ⅱ文科）記為等差數(shù)列的前項和，已知，． （1）求的通項公式； （2）求，并求的最小值． 【解析】（1）設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15． 由a1=–7得d=2． 所以{an}的通項公式為an=2n–9． （2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16． 所以當(dāng)n=4時，Sn取得最小值，最小值為–16． 2．（2018新課標(biāo)全國I文科）已知數(shù)列滿足，，設(shè)． （1）求； （2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由； （3）求的通項公式． 【解析】（1）由條件可得an+1=． 將n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4． 將n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12． 從而b1=1，b2=2，b3=4． 【名師點睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點有根據(jù)數(shù)列的遞推公式確定數(shù)列的項，根據(jù)不同數(shù)列的項之間的關(guān)系，確定新數(shù)列的項，利用遞推關(guān)系整理得到相鄰兩項之間的關(guān)系確定數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式求得數(shù)列的通項公式，借助于的通項公式求得數(shù)列的通項公式，從而求得最后的結(jié)果. 3．（2018新課標(biāo)全國Ⅲ文科）等比數(shù)列中，． （1）求的通項公式； （2）記為的前項和．若，求． 4．（2017新課標(biāo)全國Ⅰ文科）記Sn為等比數(shù)列的前n項和，已知S2=2，S3=?6． （1）求的通項公式； （2）求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數(shù)列． 【解析】（1）設(shè)的公比為． 由題設(shè)可得解得，． 故的通項公式為． （2）由（1）可得． 由于， 故，，成等差數(shù)列． 1．等差數(shù)列、等比數(shù)列一直是高考的熱點，尤其是等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì)、前n項和等為考查的重點，有時會將等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項、前n項和及性質(zhì)綜合進行考查. 2．在高考中常出兩道客觀題或一道解答題，若是以客觀題的形式出現(xiàn)，一般一道考查數(shù)列的定義、性質(zhì)或求和的簡單題，另一道則是結(jié)合其他知識，考查遞推數(shù)列等的中等難度的題.若在解答題中出現(xiàn)，則一般結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列考查數(shù)列的通項，前n項和等知識，難度中等. 指點1：等差數(shù)列及其前項和 1．求解等差數(shù)列通項公式的方法主要有兩種：（1）定義法.（2）前項和法，即根據(jù)前項和與的關(guān)系求解. 2．等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用方法： 根據(jù)不同的已知條件選用不同的求和公式，若已知首項和公差，則使用；若已知通項公式，則使用，同時注意與性質(zhì)“”的結(jié)合使用. 【例1】已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足. （1）求數(shù)列、的通項公式； （2）求數(shù)列的前項和. 【解析】（1）依題意，，即，所以，則， 故. 因為，所以①， 當(dāng)時，②， ①②得，即. 當(dāng)時，滿足上式. ∴數(shù)列的通項公式為. 指點2：等比數(shù)列及其前項和 1．求等比數(shù)列的通項公式，一般先求出首項與公比，再利用求解．但在某些情況下，利用等比數(shù)列通項公式的變形可以簡化解題過程． 2．當(dāng)時，若已知，則用求解較方便；若已知，則用求解較方便. 【例2】已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和. 【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， ∵a2＝6，a3＋a4＝72，∴6q＋6q2＝72，即q2＋q－12＝0， 解得q＝3或q＝－4． 又∵an＞0，∴q＞0，∴q＝3，． ∴. （2）∵， ∴. 指點3：數(shù)列的綜合應(yīng)用 1．解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題時，若同一數(shù)列中部分項成等差數(shù)列，部分項成等比數(shù)列，則要把成等差數(shù)列和成等比數(shù)列的項分別抽出來，研究這些項與序號之間的關(guān)系；若兩個數(shù)列是通過運算綜合在一起的，則要把兩個數(shù)列分開求解. 2．?dāng)?shù)列常與函數(shù)、不等式結(jié)合起來考查，其中數(shù)列與不等式的結(jié)合是考查的熱點，注意知識之間的靈活運用. 【例3】設(shè)等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為，已知，，． （1）若，求數(shù)列的通項公式； （2）若，且，求． 【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為． （1）因為，，所以，． 由，可得 ①，由，可得 ②， 聯(lián)立①②，解得（舍去）或， 所以，故數(shù)列的通項公式為． （2）因為，所以，解得或， 又，所以，因為，所以，即， 所以． 【例4】已知公差大于零的等差數(shù)列的前項和為，且，． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)的值． （3）設(shè)，為數(shù)列的前項和，是否存在正整數(shù)，使得對任意的均成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由． 【解析】（1）因為數(shù)列為等差數(shù)列，，所以， 又，所以，是方程的兩個根， 由解得，， 設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，所以， 所以，，所以，解得， 所以，故數(shù)列的通項公式為． （3）由題可得， 利用裂項相消法可得，故， 所以存在正整數(shù)，使得對任意的均成立， 所以的最小值為． 1．等差數(shù)列的前項和為,若,則 A．18 B．27 C．36 D．45 【答案】B 【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得， 而，所以，所以，故選B． 2．已知等比數(shù)列中，，，，數(shù)列的前項和為，則 A．36 B．28 C．45 D．32 【答案】B 【解析】由題可得：，所以，故，所以是以公差為1的等差數(shù)列，故，故選B． 3．中國人在很早就開始研究數(shù)列，中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》、《算法統(tǒng)宗》中都有大量古人研究數(shù)列的記載.現(xiàn)有數(shù)列題目如下：數(shù)列的前項和，，等比數(shù)列滿足， ，則 A．4 B．5 C．9 D．16 【答案】C 【解析】由題意可得：，，則等比數(shù)列的公比，故. 本題選擇C選項. 4．已知數(shù)列的前項和為，，. （1）求的通項公式； （2）若，求的前項和. 【解析】（1）①，當(dāng)時，②. ①-②得，，， 所以. 當(dāng)時，，得，則. 所以是從第二項起，以2為公比的等比數(shù)列. 則，. 所以. （2）易知. ③， ④， ③-④得 . 所以. 5．已知數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，且，，. （1）求數(shù)列，的通項公式； （2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：. 【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，數(shù)列的公差為， 由題意得，，解得， 所以. （2）因為， 所以 ， 因為，所以， 又因為在上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)時，取最小值， 所以.