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考前強化練9　解答題綜合練(B) 1.已知函數(shù)f(x)=x2+mx(m>0),數(shù)列{an}的前n項和為Sn.點(n,Sn)在f(x)圖象上,且f(x)的最小值為-, (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)數(shù)列{bn}滿足bn=,記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求證:Tn<1. 2.(2018湖南長郡中學二模,文18)如圖,點C在以AB為直徑的圓O上,PA垂直于圓O所在平面,G為△AOC的重心. (1)求證:平面OPG⊥平面PAC; (2)若PA=AB=2AC=2,點Q在線段PA上,且PQ=2QA,求三棱錐P-QGC的體積. 3.2017高考特別強調(diào)了要增加對數(shù)學文化的考查,為此某校高三年級特命制了一套與數(shù)學文化有關(guān)的專題訓練卷(文、理科試卷滿分均為100分),并對整個高三年級的學生進行了測試.現(xiàn)從這些學生中隨機抽取了50名學生的成績,按照成績[50,60),[60,70),…,[90,100]分成了5組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖(假定每名學生的成績均不低于50分). (1)求頻率分布直方圖中的x的值,并估計所抽取的50名學生成績的平均數(shù)、中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表); (2)若高三年級共有2 000名學生,試估計高三學生中這次測試成績不低于70分的人數(shù); (3)若利用分層抽樣的方法從樣本中成績不低于70分的三組學生中抽取6人,再從這6人中隨機抽取3人參加這次考試的考后分析會,試求后兩組中至少有1人被抽到的概率. 4.已知橢圓C:=1(a>b>0)的長軸長為2,且橢圓C與圓M:(x-1)2+y2=的公共弦長為. (1)求橢圓C的方程; (2)經(jīng)過原點作直線l(不與坐標軸重合)交橢圓于A,B兩點,AD⊥x軸于點D,點E在橢圓C上,且()()=0,求證:B,D,E三點共線. 5.已知函數(shù)f(x)=2mln x-x,g(x)=(m∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)), (1)試討論函數(shù)f(x)的極值情況; (2)當m>1且x>0時,總有g(shù)(x)+3f(x)>0. 6.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為ρ=4cos θ,直線l與圓C交于A,B兩點. (1)求圓C的直角坐標方程及弦AB的長; (2)動點P在圓C上(不與A,B重合),試求△ABP的面積的最大值. 7.已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|x+1|. (1)求函數(shù)f(x)的值域M; (2)若a∈M,試比較|a-1|+|a+1|,-2a的大小. 參考答案 考前強化練9　解答題綜合練(B) 1.(1)解 f(x)=(x+m)2-,故f(x)的最小值為-=-,又m>0,所以m=,即Sn=n2+n,所以當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n;當n=1時,a1=1也適合上式,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=n. (2)證明 由(1)知bn=, 所以Tn=1-+…+=1-, 所以Tn<1. 2.(1)證明 如圖,延長OG交AC于點M. ∵G為△AOC的重心,∴M為AC的中點. ∵O為AB的中點,∴OM∥BC. ∵AB是圓O的直徑,∴BC⊥AC, ∴OM⊥AC. ∵PA⊥平面ABC,OM?平面ABC, ∴PA⊥OM. 又PA?平面PAC,AC?平面PAC,PA∩AC=A, ∴OM⊥平面PAC,即OG⊥平面PAC. 又OG?平面OPG,∴平面OPG⊥平面PAC. (2)解 由(1)知OM⊥平面PAC, ∴GM就是點G到平面PAC的距離. 由已知可得,OA=OC=AC=1, ∴△AOC為正三角形,∴OM=. 又點G為△AOC的重心, ∴GM=OM=. 故點G到平面PQC的距離為. 所以VP-QGC=VG-PQC=S△PQCGM=S△PACGM=21. 3.解 (1)由頻率分布直方圖可得第4組的頻率為1-0.1-0.3-0.3-0.1=0.2,故x=0.02. 故可估計所抽取的50名學生成績的平均數(shù)為 (550.01+650.03+750.03+850.02+950.01)10=74(分). 由于前兩組的頻率之和為0.1+0.3=0.4,前三組的頻率之和為0.1+0.3+0.3=0.7, 故中位數(shù)在第3組中.設(shè)中位數(shù)為t分,則有(t-70)0.03=0.1,所以t=73, 即所求的中位數(shù)為73分. (2)由(1)可知,50名學生中成績不低于70分的頻率為0.3+0.2+0.1=0.6, 由以上樣本的頻率,可以估計高三年級2 000名學生中成績不低于70分的人數(shù)為2 0000.6=1 200. (3)由(1)可知,后三組中的人數(shù)分別為15,10,5,故這三組中所抽取的人數(shù)分別為3,2,1.記成績在[70,80)這組的3名學生分別為a,b,c,成績在[80,90)這組的2名學生分別為d,e,成績在[90,100]這組的1名學生為f,則從中任抽取3人的所有可能結(jié)果為(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,b,f),(a,c,d),(a,c,e),(a,c,f),(a,d,e),(a,d,f),(a,e,f),(b,c,d),(b,c,e),(b,c,f),(b,d,e),(b,d,f),(b,e,f),(c,d,e),(c,d,f),(c,e,f),(d,e,f)共20種. 其中后兩組中沒有人被抽到的可能結(jié)果為(a,b,c),只有1種, 故后兩組中至少有1人被抽到的概率為P=1-. 4.解 (1)由題意得2a=2,則a=. 由橢圓C與圓M:(x-1)2+y2=的公共弦長為,其長度等于圓M的直徑,可得橢圓C經(jīng)過點1,, 所以=1,解得b=1. 所以橢圓C的方程為+y2=1. (2)證明:設(shè)A(x1,y1),E(x2,y2),則B(-x1,-y1),D(x1,0). ∵點A,E都在橢圓C上,所以 ∴(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0,即=-. 又()()==0, ∴kABkAE=-1,即=-1, ∴=1, ∴. 又kBE-kBD==0, ∴kBE=kBD,∴B,D,E三點共線. 5.解 (1)f(x)的定義域為(0,+∞), f(x)=-1=-. ①當m≤0時,f(x)<0,故f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,f(x)無極值; ②當m>0時,令f(x)>0,得02m,故f(x)在x=2m處取得極大值,且極大值為f(2m)=2mln(2m)-2m,f(x)無極小值. (2)當x>0時,g(x)+3f(x)>0?-3>0?3ex-3x2+6mx-3>0. 設(shè)函數(shù)u(x)=3ex-3x2+6mx-3, 則u(x)=3(ex-2x+2m),記v(x)=ex-2x+2m, 則v(x)=ex-2. 當x變化時,v(x),v(x)的變化情況如下表: x (0,ln 2) ln 2 (ln 2,+∞) v(x) - 0 + v(x) 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 由上表可知v(x)≥v(ln 2), 而v(ln 3)=eln 2-2ln 2+2m=2-2ln 2+2m=2(m-ln 2+1), 由m>1,知m>ln 2-1,∴v(ln 2)>0, ∴v(x)>0,即u(x)>0, ∴u(x)在(0,+∞)內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù). ∴當x>0時,u(x)>u(0)=0, 即m>1當且x>0時,3ex-3x2+6mx-3>0. ∴m>1當且x>0時,總有g(shù)(x)+3f(x)>0. 6.解 (1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ, 所以x2+y2-4x=0,所以圓C的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4. 將直線l的參數(shù)方程代入圓C:(x-2)2+y2=4,并整理得t2+2t=0, 解得t1=0,t2=-2, 所以直線l被圓C截得的弦長為|t1-t2|=2. (2)直線l的普通方程為x-y-4=0. 圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)), 可設(shè)圓C上的動點P(2+2cos θ,2sin θ), 則點P到直線l的距離d==|2cosθ+-|. 當cosθ+=-1時,d取最大值,且d的最大值為2+, 所以S△ABP≤2(2+)=2+2, 即△ABP的面積的最大值為2+2. 7.解 (1)f(x)= 根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性可知,當x=時,f(x)min=f=. 所以函數(shù)f(x)的值域M=,+∞. (2)∵a∈M,∴a≥,∴0<≤1. 又|a-1|+|a+1|=a-1+a+1=2a≥3, ∴a≥,知a-1>0,4a-3>0, ∴>0, ∴-2a, 所以|a-1|+|a+1|>-2a.