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1、 1

2、 1 學(xué)案16　定積分及其簡單的應(yīng)用 導(dǎo)學(xué)目標： 1.以求曲邊梯形的面積和汽車變速行駛的路程為背景準確理解定積分的概念.2.理解定積分的簡單性質(zhì)并會簡單應(yīng)用.3.會說出定積分的幾何意義，能根據(jù)幾何意義解釋定積分.4.會用求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)運算法則，反方向求使F′(x)＝f(x)的F(x)，并運用牛頓—萊布尼茨公式求f(x)的定積分.5.會通過求定積分的方法求由已知曲線圍成的平面圖形的

3、面積.6.能熟練運用定積分求變速直線運動的路程.7.會用定積分求變力所做的功． 自主梳理 1．定積分的幾何意義：如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)≥0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分的幾何意義是直線________________________所圍成的曲邊梯形的________． 2．定積分的性質(zhì) (1)?kf(x)dx＝__________________ (k為常數(shù))； (2)?[f1(x)±f2(x)]dx＝_____________________________________； (3)?f(x)dx＝_________________

4、______________________. 3．微積分基本定理 一般地，如果f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F′(x)＝f(x)，那么?f(x)dx＝F(b)－F(a)，這個結(jié)論叫做__________________，為了方便，我們常把F(b)－F(a)記成__________________，即?f(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)． 4．定積分在幾何中的應(yīng)用 (1)當(dāng)x∈[a，b]且f(x)>0時，由直線x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)圍成的曲邊梯形的面積S＝__________________. (2)當(dāng)x∈[a，b]且f(x)<0時

5、，由直線x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)圍成的曲邊梯形的面積S＝__________________. (3)當(dāng)x∈[a，b]且f(x)>g(x)>0時，由直線x＝a，x＝b (a≠b)和曲線y＝f(x)，y＝g(x)圍成的平面圖形的面積S＝______________________. (4)若f(x)是偶函數(shù)，則?f(x)dx＝2?f(x)dx；若f(x)是奇函數(shù)，則?f(x)dx＝0. 5．定積分在物理中的應(yīng)用 (1)勻變速運動的路程公式 做變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v＝v(t)[v(t)≥0]在時間區(qū)間[a，b]上的定積分，即____

6、____________________． (2)變力做功公式 一物體在變力F(x)(單位：N)的作用下做直線運動，如果物體沿著與F相同的方向從x＝a移動到x＝b (a

7、 A. B.－1 C. D. 3．如右圖所示，陰影部分的面積是 (　　) A．2 B．2－ C. D. 4．(20xx·湖南)?dx等于 (　　) A．－2ln 2 B．2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2 5．若由曲線y＝x2＋k2與直線y＝2kx及y軸所圍成的平面圖形的面積S＝9，則k＝________. 探究點

8、一　求定積分的值 例1　計算下列定積分： (1)； (2)； (3)?(2sin x－3ex＋2)dx； (4)?|x2－1|dx. 變式遷移1　計算下列定積分： (1)?|sin x|dx；(2)?sin2xdx. 探究點二　求曲線圍成的面積 例2　計算由拋物線y＝x2和y＝3－(x－1)2所圍成的平面圖形的面積S. 變式遷移2　計算曲線y＝x2－2x＋3與直線y＝x＋3所圍圖形的面積． 探究點三　定積分在物理中的應(yīng)用 例3　一輛汽車的速度－時間曲線如圖所示，求此汽車在這1 min內(nèi)所行駛的路程．

9、 變式遷移3　A、B兩站相距7.2 km，一輛電車從A站開往B站，電車開出t s后到達途中C點，這一段速度為1.2t m/s，到C點時速度達24 m/s，從C點到B點前的D點以勻速行駛，從D點開始剎車，經(jīng)t s后，速度為(24－1.2t)m/s，在B點恰好停車，試求： (1)A、C間的距離； (2)B、D間的距離； (3)電車從A站到B站所需的時間． 函數(shù)思想的應(yīng)用 例　(12分)在區(qū)間[0,1]上給定曲線y＝x2.試在此區(qū)間內(nèi)確定點t的值，使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最小，并求最小值． 【答題模板】 解　S1面積等于邊長為t與t

10、2的矩形面積去掉曲線y＝x2與x軸、直線x＝t所圍成的面積，即S1＝t·t2－?x2dx＝t3.[2分] S2的面積等于曲線y＝x2與x軸，x＝t，x＝1圍成的面積去掉矩形面積，矩形邊長分別為t2,1－t，即S2＝?x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.[4分] 所以陰影部分面積S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．[6分] 令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0時，得t＝0或t＝.[8分] t＝0時，S＝；t＝時，S＝；t＝1時，S＝.[10分] 所以當(dāng)t＝時，S最小，且最小值為.[12分] 【突破思維障礙】 本題既不是直接求曲邊梯形面積問題，也不是直接求函數(shù)的最小值問題

11、，而是先利用定積分求出面積的和，然后利用導(dǎo)數(shù)的知識求面積和的最小值，難點在于把用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值的問題置于先求定積分的題境中，突出考查學(xué)生知識的遷移能力和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用意識． 1．定積分?f(x)dx的幾何意義就是表示由直線x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)圍成的曲邊梯形的面積；反過來，如果知道一個這樣的曲邊梯形的面積也就知道了相應(yīng)定積分的值，如?dx＝π (半徑為2的個圓的面積)，?dx＝2π. 2．運用定積分的性質(zhì)可以化簡定積分計算，也可以把一個函數(shù)的定積分化成幾個簡單函數(shù)定積分的和或差． 3．計算一些簡單的定積分問題，解題步驟是：第一步，把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正

12、弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)積的和或差；第二步，把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分；第三步，分別用求導(dǎo)公式找到一個相應(yīng)的使F′(x)＝f(x)的F(x)；第四步，再分別用牛頓—萊布尼茨公式求各個定積分的值后計算原定積分的值． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．下列值等于1的積分是 (　　) A．?xdx B．?(x＋1)dx C．?dx D．?1dx 2．(20xx·汕頭模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝則?f(x)dx等

13、于 (　　) A. B. C．6 D．17 3．已知f(x)為偶函數(shù)且?f(x)dx＝8，則?f(x)dx等于 (　　) A．0 B．4 C．8 D．16 4．(20xx·深圳模擬)曲線y＝sin x，y＝cos x與直線x＝0，x＝所圍成的平面區(qū)域的面積為 (　　) A．?0(sin x－cos x)dx B．2?0(sin

14、x－cos x)dx C．?0(cos x－sin x)dx D．2?0(cos x－sin x)dx 5．(20xx·臨渭區(qū)高三調(diào)研)函數(shù)f(x)＝?t(t－4)dt在[－1,5]上 (　　) A．有最大值0，無最小值 B．有最大值0，最小值－ C．有最小值－，無最大值 D．既無最大值也無最小值 題號 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．若1 N的力使彈簧伸長2 cm，則使彈簧伸長12 cm時克服彈力做的功為__________J. 7．?(2xk＋1)dx＝2，則k＝_

15、_______. 8．(20xx·山東實驗中學(xué)高三三診)若f(x)在R上可導(dǎo)，f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，則?f(x)dx＝________. 三、解答題(共38分) 9．(12分)計算以下定積分： (1)?dx；　(2)?2dx； (3)?0(sin x－sin 2x)dx；　(4)?|3－2x|dx. 10．(12分)設(shè)y＝f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)＝0有兩個相等的實根，且f′(x)＝2x－2. (1)求y＝f(x)的表達式； (2)求y＝f(x)的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積． 11．(14分)求曲線y＝ex－1與直線x＝

16、－ln 2，y＝e－1所圍成的平面圖形的面積． 答案 自主梳理 1．x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)　面積 2．(1)k?f(x)dx　(2)?f1(x)dx±?f2(x)dx (3)?f(x)dx＋?f(x)dx(其中a

17、 當(dāng)k>0時，S＝?(x2＋k2－2kx)dx ＝?(x－k)2dx＝(x－k)3|＝0－(－k)3＝， 由題意知＝9，∴k＝3. 由圖象的對稱性可知k＝－3也滿足題意，故k＝±3. 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　(1)與絕對值有關(guān)的函數(shù)均可化為分段函數(shù)． ①分段函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的積分可分成幾段積分的和的形式． ②分段的標準是使每一段上的函數(shù)表達式確定，按照原函數(shù)分段的情況分即可，無需分得過細． (2)f(x)是偶函數(shù)，且在關(guān)于原點對稱的區(qū)間[－a，a]上連續(xù)，則?f(x)dx＝2?f(x)dx. 解　(1)?dx ＝?xdx＋?dx＋?dx ＝x2|＋ln x|－

18、| ＝(e2－1)＋(ln e－ln 1)－ ＝e2－＋. (2)?0(sin x－2cos x)dx ＝?0sin xdx－2?0cos xdx ＝(－cos x)|0－2sin x|0 ＝－cos －(－cos 0)－2 ＝－1. (3)?(2sin x－3ex＋2)dx ＝2?sin xdx－3?exdx＋?2dx ＝2(－cos x)|－3ex|＋2x| ＝2[(－cos π)－(－cos 0)]－3(eπ－e0)＋2(π－0) ＝7－3eπ＋2π. (4)∵0≤x≤2， 于是|x2－1|＝ ∴?|x2－1|dx＝?(1－x2)dx＋?(x2－1)dx

19、＝|＋|＝2. 變式遷移1　解　(1)∵(－cos x)′＝sin x， ∴?|sin x|dx＝?|sin x|dx＋?|sin x|dx ＝?sin xdx－?sin xdx ＝－cos x|＋cos x| ＝－(cos π－cos 0)＋(cos 2π－cos π)＝4. (2)?sin2xdx＝?dx ＝?dx－?cos 2xdx ＝x|－| ＝－ ＝. 例2　解題導(dǎo)引　求曲線圍成的面積的一般步驟為：(1)作出曲線的圖象，確定所要求的面積；(2)聯(lián)立方程解出交點坐標；(3)用定積分表示所求的面積；(4)求出定積分的值． 解　作出函數(shù)y＝x2和y＝3－(x－1)2

20、的圖象(如圖所示)，則所求平面圖形的面積S為圖中陰影部分的面積． 解方程組得或 所以兩曲線交點為A，B(2,2)． 所以S＝?2－[3－(x－1)2]dx－?2－x2dx ＝?2－(－x2＋2x＋2)dx－?2－x2dx ＝2－－2－ ＝－－× ＝4. 變式遷移2　解　 如圖， 設(shè)f(x)＝x＋3， g(x)＝x2－2x＋3， 兩函數(shù)圖象的交點為A，B， 由 得或 ∴曲線y＝x2－2x＋3與直線y＝x＋3所圍圖形的面積 S＝?[f(x)－g(x)]dx ＝?[(x＋3)－(x2－2x＋3)dx] ＝?(－x2＋3x)dx ＝|＝. 故曲線與直線所

21、圍圖形的面積為. 例3　解題導(dǎo)引　用定積分解決變速運動的位置與路程問題時，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵．變速直線運動的速度函數(shù)往往是分段函數(shù)，故求積分時要利用積分的性質(zhì)將其分成幾段積分，然后求出積分的和，即可得到答案．s(t)求導(dǎo)后得到速度，對速度積分則得到路程． 解　方法一　由速度—時間曲線易知． v(t)＝ 由變速直線運動的路程公式可得 s＝?3tdt＋?30dt＋?(－1.5t＋90)dt ＝t2|＋30t|＋|＝1 350 (m)． 答　此汽車在這1 min內(nèi)所行駛的路程是1 350 m. 方法二　由定積分的物理意義知，汽車1 min內(nèi)所行駛的路程就是速度函數(shù)在[0,

22、60]上的積分，也就是其速度曲線與x軸圍成梯形的面積， ∴s＝(AB＋OC)×30＝×(30＋60)×30＝1 350 (m)． 答　此汽車在這1 min內(nèi)所行駛的路程是1 350 m. 變式遷移3　解　(1)設(shè)v(t)＝1.2t，令v(t)＝24，∴t＝20. ∴A、C間距離|AC|＝?1.2tdt ＝(0.6t2)|＝0.6×202＝240 (m)． (2)由D到B時段的速度公式為 v(t)＝(24－1.2t) m/s，可知|BD|＝|AC|＝240 (m)． (3)∵|AC|＝|BD|＝240 (m)， ∴|CD|＝7 200－240×2＝6 720 (m)． ∴C、

23、D段用時＝280 (s)． 又A、C段與B、D段用時均為20 s， ∴共用時280＋20＋20＝320 (s)． 課后練習(xí)區(qū) 1．D　2.B　3.D　4.D　5.B 6．0.36 解析　設(shè)力F與彈簧伸長的長度x的關(guān)系式為F＝kx， 則1＝k×0.02，∴k＝50， ∴F＝50x，伸長12 cm時克服彈力做的功 W＝?50xdx＝x2|＝×0.122＝0.36(J)． 7．1 解析　∵?(2xk＋1)dx＝ ＝＋1＝2，∴k＝1. 8．－18 解析　∵f′(x)＝2x＋2f′(2)，∴f′(2)＝4＋2f′(2)， 即f′(2)＝－4，∴f(x)＝x2－8x＋3，

24、 ∴?f(x)dx＝×33－4×32＋3×3＝－18. 9．解　(1)函數(shù)y＝2x2－的一個原函數(shù)是y＝x3－ln x， 所以?dx＝ ＝－ln 2－＝－ln 2.………………………………………………………………(3分) (2)?2dx＝?dx ＝ ＝－(2＋ln 2＋4) ＝ln ＋.…………………………………………………………………………………(6分) (3)函數(shù)y＝sin x－sin 2x的一個原函數(shù)為 y＝－cos x＋cos 2x，所以?0(sin x－sin 2x)dx ＝0 ＝－＝－.……………………………………………………………(9分) ＝(3x－x

25、2)|1＋(x2－3x)|2＝.…………………………………………………………(12分) 10．解　(1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)， 則f′(x)＝2ax＋b.又f′(x)＝2x－2， 所以a＝1，b＝－2，即f(x)＝x2－2x＋c.………………………………………………(4分) 又方程f(x)＝0有兩個相等實根， 所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1. 故f(x)＝x2－2x＋1.………………………………………………………………………(8分) (2)依題意，所求面積S＝?(x2－2x＋1)dx ＝|＝.……………………………………………………………………(12分)

26、11．解　畫出直線x＝－ln 2，y＝e－1及曲線y＝ex－1如圖所示，則所求面積為圖中陰影部分的面積． 由解得B(1，e－1)． 由解得A.…………………………………………………(4分) 此時，C(－ln 2，e－1)，D(－ln 2,0)． 所以S＝S曲邊梯形BCDO＋S曲邊三角形OAD ＝?(e－1)dx－?(ex－1)dx＋………………………………………(7分) ＝(e－1)x|－(ex－x)|＋|(ex－x)|| ………………………………………………(10分) ＝(e－1)(1＋ln 2)－(e－1－e0)＋|e0－(e－ln 2＋ln 2)| ＝(e－1)(1＋ln 2)－(e－2)＋ln 2－ ＝eln 2＋.……………………………………………………………………………(14分)