(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第五章 三角函數(shù)、解三角形 5.5 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及應(yīng)用講義(含解析).docx
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5.5 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及應(yīng)用 最新考綱 考情考向分析 了解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的實際意義,掌握y=Asin(ωx+φ)的圖象,了解參數(shù)A,ω,φ對函數(shù)圖象變化的影響. 以考查函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的五點法畫圖、圖象之間的平移伸縮變換以及由圖象求函數(shù)解析式為主,常與三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換結(jié)合起來進(jìn)行綜合考查,加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識.題型為選擇題和填空題,中檔難度. 1.y=Asin(ωx+φ)的有關(guān)概念 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x≥0 振幅 周期 頻率 相位 初相 A T= f== ωx+φ φ 2.用五點法畫y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)一個周期內(nèi)的簡圖時,要找五個特征點 如下表所示: x ωx+φ 0 π 2π y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 3.函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象的兩種途徑 概念方法微思考 1.怎樣從y=sinωx的圖象變換得到y(tǒng)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的圖象? 提示 向左平移個單位長度. 2.函數(shù)y=sin(ωx+φ)圖象的對稱軸是什么? 提示 x=+-(k∈Z). 題組一 思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)y=sin的圖象是由y=sin的圖象向右平移個單位長度得到的.( √ ) (2)將函數(shù)y=sinωx的圖象向右平移φ(φ>0)個單位長度,得到函數(shù)y=sin(ωx-φ)的圖象.( ) (3)函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的最小正周期為T,那么函數(shù)圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為.( √ ) (4)函數(shù)y=sinx的圖象上各點縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短為原來的,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sinx.( ) 題組二 教材改編 2.[P55T2]為了得到函數(shù)y=2sin的圖象,可以將函數(shù)y=2sin2x的圖象向________平移________個單位長度. 答案 右 3.[P56T3]y=2sin的振幅、頻率和初相分別為__________________. 答案 2,,- 題組三 易錯自糾 4.(2018嘉興第一中學(xué)期中考試)為了得到函數(shù)y=sin的圖象,可以將函數(shù)y=cos2x的圖象( ) A.向右平移個單位長度 B.向右平移個單位長度 C.向左平移個單位長度 D.向左平移個單位長度 答案 A 解析 y=sin=cos =cos=cos, 故把函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)y=sin的圖象. 5.將函數(shù)y=2sin的圖象向右平移個周期后,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為________________. 答案 y=2sin 解析 函數(shù)y=2sin的周期為π,將函數(shù)y=2sin的圖象向右平移個周期,即個單位長度, 所得函數(shù)為y=2sin=2sin. 6.y=cos(x+1)圖象上相鄰的最高點和最低點之間的距離是________. 答案 解析 相鄰最高點與最低點的縱坐標(biāo)之差為2,橫坐標(biāo)之差恰為半個周期π,故它們之間的距離為. 7.若函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示,則f的值為________. 答案 解析 由題干圖象可知A=2,T=-=, ∴T=π,∴ω=2,∵當(dāng)x=時,函數(shù)f(x)取得最大值, ∴2+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=+2kπ(k∈Z), 又0<φ<π,∴φ=,∴f(x)=2sin, 則f=2sin=2cos=. 題型一 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及變換 例1已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期是π,且當(dāng)x=時,f(x)取得最大值2. (1)求f(x)的解析式; (2)作出f(x)在[0,π]上的圖象(要列表). 解 (1)因為函數(shù)f(x)的最小正周期是π,所以ω=2. 又因為當(dāng)x=時,f(x)取得最大值2. 所以A=2, 同時2+φ=2kπ+,k∈Z, φ=2kπ+,k∈Z, 因為-<φ<, 所以φ=, 所以函數(shù)y=f(x)的解析式為f(x)=2sin. (2)因為x∈[0,π],所以2x+∈, 列表如下: 2x+ π 2π x 0 π f(x) 1 2 0 -2 0 1 描點、連線得圖象: 引申探究 在本例條件下,若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移m(m>0)個單位長度后得到函數(shù)y=g(x)的圖象,且y=g(x)是偶函數(shù),求m的最小值. 解 由已知得y=g(x)=f(x-m)=2sin=2sin是偶函數(shù),所以2m-=(2k+1),k∈Z,m=+,k∈Z, 又因為m>0,所以m的最小值為. 思維升華 (1)y=Asin(ωx+φ)的圖象可用“五點法”作簡圖得到,可通過變量代換z=ωx+φ計算五點坐標(biāo). (2)由函數(shù)y=sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象有兩條途徑:“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”. 跟蹤訓(xùn)練1 (1)把函數(shù)y=sinx的圖象上所有點的橫坐標(biāo)都縮小到原來的一半,縱坐標(biāo)保持不變,再把圖象向右平移個單位長度,所得圖象的函數(shù)解析式為________________. 答案 y=sin 解析 把函數(shù)y=sinx的圖象上所有點的橫坐標(biāo)都縮小到原來的一半,縱坐標(biāo)保持不變,得到函數(shù)y=sin2x的圖象,再把該函數(shù)圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)y=sin2=sin的圖象. (2)已知函數(shù)f(x)=sin(0<ω<2)滿足條件:f=0,為了得到函數(shù)y=f(x)的圖象,可將函數(shù)g(x)=cosωx的圖象向右平移m(m>0)個單位長度,則m的最小值為( ) A.1B.C.D. 答案 A 解析 由題意得sin=0,即-ω+=kπ(k∈Z),則ω=-2kπ(k∈Z),結(jié)合0<ω<2,得ω=,所以f(x)=sin=cos=cos,所以只需將函數(shù)g(x)=cosx的圖象向右至少平移1個單位長度,即可得到函數(shù)y=f(x)的圖象,故選A. 題型二 由圖象確定y=Asin(ωx+φ)的解析式 例2(1)若函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則y=________________. 答案 2sin 解析 由題圖可知,A=2,T=2=π,所以ω=2,由五點作圖法可知2+φ=,所以φ=-,所以函數(shù)的解析式為y=2sin. (2)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ) 的部分圖象如圖所示,則y=f取得最小值時x的集合為________. 答案 解析 根據(jù)所給圖象,周期T=4=π,故π=,∴ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ),另外圖象經(jīng)過點,代入有2+φ=π+2kπ(k∈Z), 再由|φ|<,得φ=-,∴f(x)=sin, ∴f=sin, 當(dāng)2x+=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)時,y=f取得最小值. 思維升華y=Asin(ωx+φ)中φ的確定方法 (1)代入法:把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點或最低點代入. (2)五點法:確定φ值時,往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口. 跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B的部分圖象如圖所示,將函數(shù)f(x)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后,得到函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點對稱,則m的值可能為( ) A.B.C.D. 答案 D 解析 依題意得解得 ==-=, 故ω=2,則f(x)=sin(2x+φ)+. 又f=sin+=, 故+φ=+2kπ(k∈Z),即φ=+2kπ(k∈Z). 因為|φ|<,故φ=, 所以f(x)=sin+. 將函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個單位長度后得到g(x)=sin+的圖象,又函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點對稱,即h(x)=sin的圖象關(guān)于點對稱,故sin=0,即+2m=kπ(k∈Z),故m=-(k∈Z).令k=2,則m=. 題型三 三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用 命題點1 圖象與性質(zhì)的綜合問題 例3(2018浙江省知名重點中學(xué)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+h(A>0,ω>0,0<φ<)的部分圖象如圖所示. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 解 (1)由三角函數(shù)的圖象可知, 得 設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T,則由題意得=-,所以T=π, 所以=π,解得ω=2. 因為函數(shù)f(x)的圖象過點,且0<φ<, 所以2=sin+1,解得φ=. 所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=sin+1. (2)由(1)知,f(x)=sin+1, 因為將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)g(x)圖象, 所以g(x)=sin+1=sin+1. 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z. 命題點2 函數(shù)零點(方程根)問題 例4已知關(guān)于x的方程2sin2x-sin2x+m-1=0在上有兩個不同的實數(shù)根,則m的取值范圍是____________. 答案 (-2,-1) 解析 方程2sin2x-sin2x+m-1=0可轉(zhuǎn)化為 m=1-2sin2x+sin2x=cos2x+sin2x =2sin,x∈. 設(shè)2x+=t,則t∈, ∴題目條件可轉(zhuǎn)化為=sint,t∈有兩個不同的實數(shù)根. ∴y1=和y2=sint,t∈的圖象有兩個不同交點,如圖: 由圖象觀察知,的取值范圍是, 故m的取值范圍是(-2,-1). 引申探究 本例中,若將“有兩個不同的實數(shù)根”改成“有實根”,則m的取值范圍是__________. 答案 [-2,1) 解析 由上例題知,的取值范圍是, ∴-2≤m<1,∴m的取值范圍是[-2,1). 思維升華 (1)研究y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)時可將ωx+φ視為一個整體,利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題. (2)方程根的個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù). 跟蹤訓(xùn)練3 (1)將函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖象向左平移個單位長度后關(guān)于原點對稱,則函數(shù)f(x)在上的最小值為( ) A.- B.- C. D. 答案 A 解析 將函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖象向左平移個單位長度得到y(tǒng)=sin=sin的圖象,該圖象關(guān)于原點對稱,即為奇函數(shù),則+φ=kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=-,即f(x)=sin.當(dāng)x∈時,2x-∈,所以當(dāng)2x-=-,即x=0時,f(x)取得最小值,最小值為-. (2)若函數(shù)f(x)=sin(ω>0)滿足f(0)=f,且函數(shù)在上有且只有一個零點,則f(x)的最小正周期為________. 答案 π 解析 ∵f(0)=f,∴x=是f(x)圖象的一條對稱軸,∴f=1,∴ω+=+kπ,k∈Z, ∴ω=6k+2,k∈Z,∴T=(k∈Z). 又f(x)在上有且只有一個零點, ∴<≤-,∴- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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