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第四章 數(shù)列
考點測試28 數(shù)列的概念與簡單表示法
一、基礎(chǔ)小題
1．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝(n∈N*)，則是這個數(shù)列的( )
A．第8項 B．第9項 C．第10項 D．第12項
答案 C
解析 由題意知＝，n∈N*，解得n＝10，即是這個數(shù)列的第10項．故選C．
2．在數(shù)列{an}中，a1＝2，且(n＋1)an＝nan＋1，則a3的值為( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 B
解析 由(n＋1)an＝nan＋1得＝，所以數(shù)列為常數(shù)列，則＝＝2，即an＝2n，所以a3＝23＝6．故選B．
3．設(shè)an＝－2n2＋29n＋3，則數(shù)列{an}的最大項是( )
A．107 B．108 C． D．109
答案 B
解析 因為an＝－2n2＋29n＋3＝－22＋，n∈N*，所以當n＝7時，an取得最大值108．
4．數(shù)列{an}中，a1＝1，對于所有的n≥2，n∈N都有a1a2a3…an＝n2，則a3＋a5＝( )
A． B． C． D．
答案 A
解析 解法一：令n＝2,3,4,5，分別求出a3＝，a5＝，∴a3＋a5＝．故選A．
解法二：當n≥2時，a1a2a3…an＝n2．
當n≥3時，a1a2a3…an－1＝(n－1)2．
兩式相除得an＝2，∴a3＝，a5＝，
∴a3＋a5＝．故選A．
5．若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝，則a2018＝( )
A．－2 B．－1 C．2 D．
答案 B
解析 ∵數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，∴a2＝＝－1，a3＝＝，a4＝＝2，…，可知此數(shù)列有周期性，周期T＝3，即an＋3＝an，則a2018＝a6723＋2＝a2＝－1．故選B．
6．把1,3,6,10,15，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的圓點可以排成一個正三角形(如圖所示)．
則第7個三角形數(shù)是( )
A．27 B．28 C．29 D．30
答案 B
解析 觀察三角形數(shù)的增長規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)每一項比它的前一項多的點數(shù)正好是該項的序號，即an＝an－1＋n(n≥2)．所以根據(jù)這個規(guī)律計算可知，第7個三角形數(shù)是a7＝a6＋7＝a5＋6＋7＝15＋6＋7＝28．故選B．
7．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2an－4，n∈N*，則an＝( )
A．2n＋1 B．2n C．2n－1 D．2n－2
答案 A
解析 因為Sn＝2an－4，所以n≥2時，有Sn－1＝2an－1－4，兩式相減可得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，即＝2(n≥2)．因為S1＝a1＝2a1－4，所以a1＝4，所以an＝2n＋1．故選A．
8．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln 1＋，則an＝( )
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
答案 A
解析 解法一：由已知得an＋1－an＝ln 1＋＝
ln ，而an＝(an－an－1)＋(an－1＋an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1，n≥2，所以an＝ln ＋ln ＋…＋
ln ＋2＝ln …＋2＝ln n＋2，n≥2．當n＝1時，a1＝2＝ln 1＋2．故選A．
解法二：由an＝an－1＋ln 1＋＝an－1＋ln ＝an－1＋ln n－ln (n－1)(n≥2)，可知an－ln n＝an－1－ln (n－1)(n≥2)．令bn＝an－ln n，則數(shù)列{bn}是以b1＝a1－ln 1＝2為首項的常數(shù)列，故bn＝2，所以2＝an－ln n，所以an＝2＋ln n．故選A．
9．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝nn，則數(shù)列{an}中的最大項為( )
A． B． C． D．
答案 A
解析 解法一(作差比較法)：
an＋1－an＝(n＋1)n＋1－nn＝n，當n<2時，an＋1－an>0，即an＋1>an；當n＝2時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當n>2時，an＋1－an<0，即an＋1
a4>a5>…>an，所以數(shù)列{an}中的最大項為a2或a3，且a2＝a3＝22＝．故選A．
解法二(作商比較法)：
＝＝1＋，令>1，解得n<2；令＝1，解得n＝2；令<1，解得n>2．又an>0，故a1a4>a5>…>an，所以數(shù)列{an}中的最大項為a2或a3，且a2＝a3＝22＝．故選A．
10．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n2＋tn＋1，若{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)t的取值范圍是( )
A．(－6，＋∞) B．(－∞，－6)
C．(－∞，－3) D．(－3，＋∞)
答案 A
解析 解法一：因為{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以對于任意的n∈N*，都有an＋1>an，即2(n＋1)2＋t(n＋1)＋1>2n2＋tn＋1，化簡得t>－4n－2，所以t>－4n－2對于任意的n∈N*都成立，因為－4n－2≤－6，所以t>－6．故選A．
解法二：設(shè)f(n)＝2n2＋tn＋1，其圖象的對稱軸為n＝－，要使{an}是遞增數(shù)列，則－<，即t>－6．故選A．
11．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且有Sn＝n2＋1，則數(shù)列{an}的通項an＝________．
答案
解析 當n＝1時，a1＝S1＝1＋1＝2，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝2n－1．此時對于n＝1不成立，故an＝
12．對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{bn}滿足：bn＝an＋1－an(n∈N*)，且bn＋1－bn＝1(n∈N*)，a3＝1，a4＝－1，則a1＝________．
答案 8
解析 由bn＋1－bn＝1知數(shù)列{bn}是公差為1的等差數(shù)列，又b3＝a4－a3＝－2，所以b1＝－4，b2＝－3，b1＋b2＝(a2－a1)＋(a3－a2)＝a3－a1＝－7，解得a1＝8．
二、高考小題
13．(2018全國卷Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若Sn＝2an＋1，則S6＝________．
答案?。?3
解析 根據(jù)Sn＝2an＋1，可得Sn＋1＝2an＋1＋1，兩式相減得an＋1＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，當n＝1時，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，所以數(shù)列{an}是以－1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以S6＝＝－63．
14．(2014全國卷Ⅱ)數(shù)列{an}滿足an＋1＝，a8＝2，則a1＝________．
答案
解析 由an＋1＝，得an＝1－，∵a8＝2，∴a7＝1－＝，a6＝1－＝－1，a5＝1－＝2，…，∴{an}是以3為周期的數(shù)列，∴a1＝a7＝．
15．(2016浙江高考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn．若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝________，S5＝________．
答案 1 121
解析 解法一：∵an＋1＝2Sn＋1，∴a2＝2S1＋1，即S2－a1＝2a1＋1，又∵S2＝4，∴4－a1＝2a1＋1，解得a1＝1．又an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，即Sn＋1＝3Sn＋1，由S2＝4，可求出S3＝13，S4＝40，S5＝121．
解法二：由an＋1＝2Sn＋1，得a2＝2S1＋1，即S2－a1＝2a1＋1，又S2＝4，∴4－a1＝2a1＋1，解得a1＝1．又an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，即Sn＋1＝3Sn＋1，則Sn＋1＋＝3，又S1＋＝，
∴是首項為，公比為3的等比數(shù)列，∴Sn＋＝3n－1，即Sn＝，∴S5＝＝121．
16．(2015江蘇高考)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列前10項的和為________．
答案
解析 由已知得，a2－a1＝1＋1，a3－a2＝2＋1，a4－a3＝3＋1，…，an－an－1＝n－1＋1(n≥2)，則有an－a1＝1＋2＋3＋…＋n－1＋(n－1)(n≥2)，因為a1＝1，所以an＝1＋2＋3＋…＋n(n≥2)，即an＝(n≥2)，又當n＝1時，a1＝1也適合上式，故an＝(n∈N*)，所以＝＝2，從而＋＋＋…＋＝2＋2＋2＋…＋2＝2＝．
三、模擬小題
17．(2018湖南六校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足：?m，n∈N*，都有anam＝an＋m，且a1＝，那么a5＝( )
A． B． C． D．
答案 A
解析 ∵數(shù)列{an}滿足：?m，n∈N*，都有anam＝an＋m，且a1＝，∴a2＝a1a1＝，a3＝a1a2＝．那么a5＝a3a2＝．故選A．
18．(2018南昌模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，則的值是( )
A． B． C． D．
答案 C
解析 由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴2a3＝2＋(－1)3，a3＝，∴a4＝＋(－1)4，a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，∴＝＝．故選C．
19．(2019黃岡質(zhì)檢)已知數(shù)列{xn}滿足xn＋2＝|xn＋1－xn|(n∈N*)，若x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，且xn＋3＝xn對于任意的正整數(shù)n均成立，則數(shù)列{xn}的前2020項和S2020＝( )
A．673 B．674 C．1345 D．1347
答案 D
解析 ∵x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，∴x3＝|x2－x1|＝|a－1|＝1－a，∴x1＋x2＋x3＝1＋a＋(1－a)＝2，又xn＋3＝xn對于任意的正整數(shù)n均成立，∴數(shù)列{xn}的周期為3，∴數(shù)列{xn}的前2020項和S2020＝S6733＋1＝6732＋1＝1347．故選D．
20．(2018河南鄭州一中考前沖刺)數(shù)列{an}滿足：a1＝1，且對任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an＋mn，則＋＋＋…＋＝( )
A． B． C． D．
答案 D
解析 ∵a1＝1，且對任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，∴an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1，用累加法可得an＝a1＋＝，∴＝＝2－，∴＋＋＋…＋＝21－＋－＋…＋－＝，故選D．
21．(2018福建晉江季延中學月考)已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為________．
答案 an＝
解析 已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋1，將n＝1代入，得a1＝2；當n≥2時，將n－1代入得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝n，兩式相減得nan＝(n＋1)－n＝1，∴an＝，∴an＝
22．(2018北京海淀區(qū)模擬)數(shù)列{an}的通項為an＝(n∈N*)，若a5是{an}中的最大值，則a的取值范圍是________．
答案 [9,12]
解析 當n≤4時，an＝2n－1單調(diào)遞增，因此n＝4時取最大值，a4＝24－1＝15．當n≥5時，an＝－n2＋(a－1)n＝－n－2＋．∵a5是{an}中的最大值，∴解得9≤a≤12．∴a的取值范圍是[9,12]．
一、高考大題
1．(2016全國卷Ⅲ)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0．
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通項公式．
解 (1)由題意得a2＝，a3＝．
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因為{an}的各項都為正數(shù)，所以＝．
故{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，因此an＝．
2．(2015浙江高考)已知數(shù)列{an}滿足a1＝且an＋1＝an－a(n∈N*)．
(1)證明：1<≤2(n∈N*)；
(2)設(shè)數(shù)列{a}的前n項和為Sn，證明：<≤(n∈N*)．
證明 (1)由題意得an＋1－an＝－a≤0，
即an＋1≤an，故an≤．
由an＝(1－an－1)an－1，得
an＝(1－an－1)(1－an－2)…(1－a1)a1>0．
由0a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．
∴數(shù)列{an}中的最大項為a5＝2，最小項為a4＝0．
(2)an＝1＋＝1＋．
∵對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋的單調(diào)性，∴5<<6，∴－10
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第四章
數(shù)列
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