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2、 1 第八章 立體幾何 第五節(jié) 直線(xiàn)、平面垂直的判定與性質(zhì) 題型97 證明空間中直線(xiàn)、平面的垂直關(guān)系 1. （20xx四川文19）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上異于端點(diǎn)的點(diǎn). （1）在平面內(nèi)，試作出過(guò)點(diǎn)與平面平行的直線(xiàn)，說(shuō) 明理由，并證明直線(xiàn)平面； （2）設(shè)（1）中的直線(xiàn)交于點(diǎn)，求三棱錐的體積. （錐體體積公式：，其中為底面面積，為

3、高）. 2. （20xx山東文19） 如圖，四棱錐中，，，， ，分別為的中點(diǎn)． （1）求證：平面； （2）求證：平面平面 3. (20xx重慶文19）如圖，四棱錐中，底面，，，. （1）求證：平面； （2）若側(cè)棱上的點(diǎn)滿(mǎn)足，求三棱 錐的體積. 1.（20xx遼寧文4）已知，表示兩條不同直線(xiàn)，表示平面，下列說(shuō)法正確的是（ ） A．若則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則 2.（20xx浙江文6）設(shè)是兩條不同的直線(xiàn)，是兩個(gè)不同的平面（ ）. A．若，，則

4、 B．若，，則 C．若，則 D．若，，，則 3.（20xx廣東文9）若空間中四條兩兩不同的直線(xiàn)，滿(mǎn)足，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）. A． B. C. 既不垂直也不平行 D. 的位置關(guān)系不確定 4.（20xx北京文17）（本小題滿(mǎn)分14分）如圖所示，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，，，，，分別為，的中點(diǎn). （1）求證：平面平面； （2）求證：平面； （3）求三棱錐的體積. 5.（20xx新課標(biāo)Ⅰ文19） 如圖所示，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點(diǎn)為，且平面. （1）求證：； （2）若，，，求三棱柱的高.

5、 6.（20xx遼寧文19） 如圖所示，和所在平面互相垂直，且 ，，，，分別為 ，，的中點(diǎn). （1）求證：平面； （2）求三棱錐的體積. 附：錐體的體積公式，其中為底面面積，為高. 7. （20xx廣東文18）如圖1所示，四邊形為矩形，平面，作如圖2所示的折疊：折痕.其中點(diǎn)分別在線(xiàn)段上，沿折疊后點(diǎn)在線(xiàn)段上的點(diǎn)記為，并且. （1） 求證：平面; （2） 求三棱錐的體積. 8.（20xx江蘇16）如圖所示，在三棱錐中，，，分別為棱，，的中點(diǎn)．已知，，，． 求證：（1）直線(xiàn)平面；（2）平面平面．

6、 9.（20xx重慶文20）如圖所示，四棱錐中，底面是以為中心的菱形，底面，，為上一點(diǎn)，且. （1）求證：平面； （2）若，求四棱錐的體積. 10．（20xx湖北文20）如圖所示，在正方體中， 分別是棱，，， ，，的中點(diǎn). 求證： （1）直線(xiàn)平面； （2）直線(xiàn)平面. 1.（20xx湖南文18）如圖所示，直三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，分別是，的中點(diǎn). （1）證明：平面平面； （2）若直線(xiàn)與平面所成的角為， 求三棱錐的體積. 1. 解析 （1）如圖所示，因?yàn)?/p>

7、三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形的邊的中點(diǎn)，所以，因此平面，又平面，所以平面平面. （2）設(shè)的中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié). 因?yàn)槭钦切?，所?又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面. 所以為直線(xiàn)與平面所成的角. 由題設(shè)，所以， 在中，，所以. 故三棱錐的體積. 2.（20xx天津文17）如圖所示，已知平面， ，， ，， ， 點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn). （1）求證： 平面 ； （2）求證：平面平面. （3）求直線(xiàn)與平面所成角的大小. 2.分析 （1）要證明平面，只需證明且平面； （2）要證明平面平面，可證明，；（3）取 中點(diǎn)， 聯(lián)結(jié) ，則就是

8、直線(xiàn) 與平面所成角，中， 由，得直線(xiàn)與平面所成角為. 解析 （1）如圖所示，聯(lián)結(jié)，在中，因?yàn)楹头謩e是，的 中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫?所以平面. （2）因?yàn)椋?為中點(diǎn)，所以. 因?yàn)槠矫?，，所以平面，從? 又 ，所以平面 . 又因?yàn)槠矫?，所以平面平? （3）取中點(diǎn)和中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，， 因?yàn)楹头謩e為，中點(diǎn)，所以， ，故，，所以. 又因?yàn)槠矫?，所以平面，從而就是直線(xiàn)與平面所成角. 在中，可得，所以. 因?yàn)?，所以，又由，有，在中，可得?在中，，因此. 所以直線(xiàn)與平面所成角為. 3.（20xx全國(guó)1文18）如圖所示，四邊形為菱形，G為與的交點(diǎn)，平面.

9、 （1）求證：平面平面； （2）若，，三棱錐的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積. 3. 解析 （1）因?yàn)槠矫?，所? 又為菱形，所以. 又因?yàn)?，，平面? 所以平面.又平面，所以平面平面. （2）在菱形中，取， 又，所以，. 在中，，所以， 所以在中，， 所以，解得. 在中， 可得. 所以. 4．（20xx山東文18）如圖所示，在三棱臺(tái)中，，分別為的中點(diǎn). （1）求證：∥平面； （2）若，，求證：平面平面. 4. 解析 （1）證法一：聯(lián)結(jié).設(shè)，聯(lián)結(jié)，如圖所示. 在三棱臺(tái)中，，為的中點(diǎn)，可得，所以四邊形是平行四邊形，則為的中點(diǎn). 又

10、是的中點(diǎn)，所以. 又平面，平面，所以平面. 證法二：在三棱臺(tái)中，由，為的中點(diǎn)，可得，所以為平行四邊形，可得. 在中，分別為，的中點(diǎn)，所以.又， 所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平? （2）證明：聯(lián)結(jié)，如圖所示. 因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以. 由，得. 又為的中點(diǎn)，，所以，因此四邊形是平行四邊形，所以. 又，所以. 又平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. 5. (20xx浙江文18) 如圖所示，在三棱柱中，， ，在底面的射影為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn). （1）證明：平面； （2）求直線(xiàn)和平

11、面所成的角的正弦值. 此題無(wú)答案 26.(20xx重慶文20) 如題（20）圖，三棱錐中，平面平面，，點(diǎn)，在線(xiàn)段上，且，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且. （1）證明：平面. （2）若四棱錐的體積為7，求線(xiàn)段的長(zhǎng). 26. 解析 （1）由，知點(diǎn)為等腰中底邊的中點(diǎn)， 故． 又平面平面，平面平面，平面，所以 平面，從而． 因?yàn)?，，? 從而與平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)，都垂直，所以平面． （2）設(shè)，則在中，， 從而. 由，知，得，故，即． 由，， 從而四邊形的面積為 ． 由（1）知，平面，所以為四棱錐的高． 在中，， 體積，故得，解得或． 由于

12、，可得或，所以或． 1.(20xx浙江文2)已知互相垂直的平面，交于直線(xiàn).若直線(xiàn)，滿(mǎn)足，，則（ ）. A. B. C. D. 1.C 解析 對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以與平行或異面.故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B和D，因?yàn)椋?，所以?又因?yàn)?，所以與的關(guān)系平行、相交或異面都有可能.故選項(xiàng)B和D不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)樗砸驗(yàn)樗?，故選項(xiàng)C正確，故選C. 2.（20xx全國(guó)甲文19）如圖所示，菱形的對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在，上， ，交于點(diǎn).將沿折到的位置. （1）證明：； （2）若 ，求五棱錐的體積. 2.解析 （1）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?/p>

13、，所以，所以，所以，所以. 又因?yàn)?，所以，所?所以. （2）由得， 由得 所以 于是故 由（1）知，又，所以平面，于是 又由，所以平面. 又由得， 五邊形的面積 . 3.（20xx北京文18）如圖所示，在四棱錐中，平面，. （1）求證：平面； （2）求證：平面平面； （3）設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面?說(shuō)明理由. 3.解析 （1）因?yàn)槠矫?，所? 又因?yàn)椋?所以平面. （2）由（1）知，平面，又，所以平面. 又平面，所以平面平面 （3）棱上存在點(diǎn)，使得平面.證明如下. 取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié). 又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫?，所?/p>

14、平面. 4.（20xx山東文18）在如圖所示的幾何體中，是的中點(diǎn)，. （1）已知，. 求證：； （2）已知分別是和的中點(diǎn).求證：平面. 4.解析 （1）證明：因?yàn)?，所以與確定一個(gè)平面，連接，如圖1所示. 因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以；同理可得. 又因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所? （2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，如圖2所示. 在中，是的中點(diǎn)，所以.又，所以；在中，是的中點(diǎn)， 所以.又，，所以平面平面. 因?yàn)槠矫?，所以平? 5（20xx江蘇16）如圖所示，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)棱上，且，. 求證：（1）直線(xiàn)平面； （2）平面平面.

15、5.解析 （1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以為的中位線(xiàn)，所以. 又因?yàn)槿庵鶠橹崩庵?，故，所? 又因?yàn)槠矫妫?，故平? （2）三棱柱為直棱柱，所以平面. 又平面，故.又，且，平面，所以平面. 又因?yàn)槠矫?，所? 又因?yàn)?，，且平面，所以平?又因?yàn)槠矫?，所以平面平? 6.（20xx全國(guó)乙文18）如圖所示，已知正三棱錐的側(cè)面是直角三角形，，頂點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)，在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn).聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn). （1）求證：是的中點(diǎn)； （2）在題圖中作出點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影（說(shuō)明作法及理由），并求四面體的體積. 6.解析 （1）由題意可得為正三角形，故.

16、因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為點(diǎn)，故平面. 又平面，所以. 因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為點(diǎn)，故平面. 又平面，所以. 因?yàn)?，，，平面，所以平?又平面，所以. 因?yàn)?，所以是的中點(diǎn). （2）如圖所示，過(guò)作交于，則即為所要尋找的正投影. 理由如下，因?yàn)?，，?同理， 又，平面，所以平面， 故即為點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影. 所以. 在中，，，，故由等面積法知.由勾股定理知，由為等腰直角三角形知，故. 7.（20xx四川文17）如圖所示，在四棱錐中，，，，. （1）在平面內(nèi)找一點(diǎn)，使得直線(xiàn)平面，并說(shuō)明理由； （2）證明：平面平面 7.解析（1）取棱的中點(diǎn)平面，點(diǎn)即為所求的一個(gè)點(diǎn).

17、證明如下： 因?yàn)?，所以，且所以四邊形是平行四邊形，從? 又平面，平面，所以平面 (說(shuō)明：取棱的中點(diǎn)，則所找的點(diǎn)可以是直線(xiàn)上任意一點(diǎn)). （2）由已知，，因?yàn)椋灾本€(xiàn)與相交，所以平面從而 因?yàn)?，所以，?所以四邊形是平行四邊形. 所以，所以又，所以平面 又平面，所以平面平面 1.（20xx全國(guó)3文10）在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則（ ）. A． B． C． D． 解析 因?yàn)?，，且，所以平面? 又因?yàn)槠矫?所以.故選C. 評(píng)注 本題屬于線(xiàn)面關(guān)系定理的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，有一定難度，需要學(xué)生有較

18、強(qiáng)的空間想象能力和公式定理的實(shí)際應(yīng)用能力，問(wèn)題的重點(diǎn)與難點(diǎn)在于找到與包含的平面垂直的直線(xiàn)！ 2.（20xx全國(guó)1文18）如圖所示，在四棱錐中，，且. (1)證明：平面平面； (2)若，，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積. 解析 （1）因?yàn)?，所? 因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以? 又，所以平面. 因?yàn)槠矫?，所以平面平面? （2）由（1）知平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面? 如圖所示，取中點(diǎn).因?yàn)?，，所? 又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面? 所以平面． 由，得四邊形為平行四邊形.又因?yàn)槠矫?，得，即四邊形是矩? 不妨設(shè)，則，所以，且． 因此四棱錐的體積為，解得． 所以

19、． 3.（20xx全國(guó)3文19）如圖所示，四面體中，是正三角形，． （1）證明：； （2）已知是直角三角形，．若為棱上與不重合的點(diǎn)， 且，求四面體與四面體的體積比． 解析 （1）設(shè)中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)，. 由，得，由，得. 又因?yàn)?，所以平?又因?yàn)槠矫?，所? (2)設(shè)，則. 由，得，故. 又因?yàn)?，所?所以，所以，可得. 即點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的一半，所以，所以體積比為. 評(píng)注 本題第一問(wèn)考查線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明，屬于常規(guī)題型；第二問(wèn)用相似或解三角形的方法求解直線(xiàn)長(zhǎng)度，特別是用相似在高中階段比較少見(jiàn)，但16年全國(guó)卷選擇題的壓軸題也有類(lèi)似考法.這說(shuō)明，雖

20、然幾何證明在高中階段已經(jīng)不再作為一個(gè)固定的選作題出現(xiàn)，但其主要知識(shí)點(diǎn)仍然可以作為考點(diǎn)，在高考中進(jìn)行考查，筆者提醒各位老師在今后的教學(xué)中要特別注意到這一點(diǎn). 4.（20xx北京文18）如圖所示，在三棱錐中，，，，，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上一點(diǎn)． （1）求證：； （2）求證：平面平面； （3）當(dāng)平面時(shí)，求三棱錐的體積． 解析 （1）因?yàn)椋?，，所以平面.又因?yàn)槠矫?，所?. （2）因?yàn)?，，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以在等腰中，.又 由（1）可知，，所以平面.由為線(xiàn)段上一點(diǎn)，則平面，所以又因?yàn)槠矫?，所以平面平? （3）當(dāng)平面時(shí)，平面,且平面平面,可得.由是邊的中點(diǎn)知，為邊的中點(diǎn).故而，，因?yàn)?/p>

21、平面，所以平面. 由，，為邊中點(diǎn)知，又，有，即因此，. 5.（20xx山東文18）由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形為正方形，為與的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，平面. （1）證明：平面； （2）設(shè)是的中點(diǎn)，證明：平面平面. 解析（1）如圖所示，取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，由于為四棱柱， 所以，，因此四邊形為平行四邊形，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，，分別為和的中點(diǎn)，所以. 又 面，平面，所以. 因?yàn)?，所以. 又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面. 解析（1）如圖所示，取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，由于為四棱柱， 所以，，因此四邊形為平行四邊形，所

22、以. 又平面，平面，所以平面. （2）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，，分別為和的中點(diǎn)，所以. 又 面，平面，所以. 因?yàn)?，所以. 又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面. 6.（20xx浙江19）如圖所示，已知四棱錐，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，為的中點(diǎn). （1）證明：平面； （2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值. 解析 （1）如圖所示，設(shè)DE的中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)，. 因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，且. 又因?yàn)?，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，所以平? （2）分別取，的中點(diǎn)為，.聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié). 因?yàn)椋?，分別是，，的中點(diǎn)，所以為的中

23、點(diǎn)，在平行四邊形中，. 由為等腰直角三角形，得. 由，是的中點(diǎn)，所以，且,所以四邊形是平行四邊形，所以，所以.又,所以平面， 由，得平面，又平面，所以平面平面. 過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，聯(lián)結(jié). 是在平面上的射影，所以是直線(xiàn)與平面所成的角. 設(shè).在中，由，，，由余弦定理得， 又平面，平面，所以.在中，由，，,為的中點(diǎn)，得. 在中，，，所以， 所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值是. 7.（20xx江蘇15）如圖所示，在三棱錐中，，， 平面平面， 點(diǎn)（與不重合）分別在棱上，且． 求證：（1）平面； （2）． 解析 （1）在平面內(nèi)，因?yàn)?，，且點(diǎn)與點(diǎn)不重合，所以. 又

24、因?yàn)槠矫?，平面，所以平? （2）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面? 平面，，所以平面. 因?yàn)槠矫?，所? 又，，平面，平面， 所以平面.又因?yàn)槠矫?，所? 題型98 與垂直有關(guān)的開(kāi)放性、探究性問(wèn)題 1.(20xx安徽文19) 如圖所示，在三棱錐中，平面，. （1）求三棱錐的體積； （2）求證：在線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得，并求的值. 1.分析 （1）在中，由三角形的面積公式，求出三角形面積.又因?yàn)槊?，所以是三棱錐的高，根據(jù)錐體的體積公式即可求出結(jié)果； （2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，可知此點(diǎn)即為所求，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出結(jié)果. 解析 （1

25、）在中，，，， 所以. 又因?yàn)槊?，所以是三棱錐的高， 所以. （2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，如圖所示.因?yàn)槊?，所以? 又面，得. 又，所以面. 又面，所以. 此時(shí)點(diǎn)即為所找點(diǎn)，在中，由題意可得，所以. 由，可得，所以，所以. 2.（20xx北京文18） 如圖所示，在三棱錐中，平面平面，三角形 為等邊三角形，，且，，分別為，的中點(diǎn). （1） 求證：平面. （2） 求證：平面平面 . （3） 求三棱錐的體積. 2.解析 （1）依題意，，分別為，的中點(diǎn)，則是的中位線(xiàn)， 所以，平面，平面，故平面. （2）因?yàn)樵谥校?/p>

26、，且為的中點(diǎn)，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，故平面平面. （3）由（2）知，平面， 所以 3．（20xx福建文20）如圖所示，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)， 垂直于圓所在的平面，且． （1）若為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求證：平面； （2）求三棱錐體積的最大值； （3）若，點(diǎn)在線(xiàn)段上，求的最小值． 3.分析 （1）要證明平面，只需證明垂直于面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)．首先由垂直于圓所在的平面，可證明.又，為的中點(diǎn)，可證明，進(jìn)而證明結(jié)論；（2）三棱錐中，高，要使得體積最大，則底面面積最大，又是定值，故當(dāng)邊上的高最大，此時(shí)高為半徑，進(jìn)而求三棱錐體積的最大值；（3）將

27、側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面，使 之與平面共面，此時(shí)線(xiàn)段的長(zhǎng)度即為的最小值． 解析 （1）在中，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以． 又垂直于圓所在的平面，所以.因?yàn)?，所以平面? （2）因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以當(dāng)時(shí)，到的距離最大，且最大值為1． 又，所以面積的最大值為． 又因?yàn)槿忮F的高，故三棱錐體積的最大值為． （3）解法一：在中，，，所以．同理，所以． 在三棱錐中，將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面，使之與平面共面， 如圖所示． 當(dāng)共線(xiàn)時(shí)，取得最小值． 又因?yàn)?，，所以垂直平分，即為中點(diǎn)． 從而，即的最小值為． 解法二：由解法一可知，， ， 所以當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，與同時(shí)取得最小值. 故. 所

28、以的最小值為. 4.（20xx湖北文20）《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑.在如圖所示的陽(yáng)馬中，側(cè)棱底面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接、、. (1)證明：平面.試判斷四面體是否為鱉臑. 若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角（只需寫(xiě)出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說(shuō)明 理由； (2)記陽(yáng)馬的體積為，四面體的體積為， 求的值. 4.解析 (1)因?yàn)榈酌?，所? 由底面為長(zhǎng)方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以. 而，所以平面.由平面，平面. 可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體是一個(gè)鱉臑，其四

29、個(gè)面的直角分別是 (2)由已知，是陽(yáng)馬的高，所以. 由(1)知，是鱉臑的高，，所以. 在中，因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)， 所以，于是 5.（20xx江蘇文22）如圖所示，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，． （1）求平面與平面所成二面角的余弦值； （2）點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)與所成的角最小時(shí)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)． 5.解析 由平面，，故，，兩兩垂直，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，． （1）易知平面，故平面的一個(gè)法向量為． 又，. 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，. 所以，取，則，，故， 因此. 易知平面與平面所成二面角為銳二面角，

30、故其余弦值為． （2）因，設(shè)，． 所以， 因此， 設(shè)， 所以 ， 令，則， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 所以當(dāng)時(shí)，有最大值， 即有最大值，此時(shí)直線(xiàn)與所成的角最小，故． 評(píng)注 也可以假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)解決． 在求解的最大值時(shí)，也可以處理成： ，設(shè)，則， 所以， 所以當(dāng)，取最小值， 此時(shí)取最大值， 此時(shí)直線(xiàn)與所成的角最小，即，解得，故． 6.（20xx四川文18）一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示. （1）請(qǐng)按字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)地頂點(diǎn)處（不需要說(shuō)明理由）； （2）判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)

31、系.并說(shuō)明你的結(jié)論； （3）求證：直線(xiàn)平面. 6.解析 （1）點(diǎn)F，G，H的位置如圖所示. （2）平面平面.證明如下： 因?yàn)闉檎襟w，所以，. 又，，所以，.所以為平行四邊形，所以. 又平面，平面，所以平面.同理平面. 又，所以平面平面. （3）聯(lián)結(jié)，因?yàn)闉檎襟w，所以平面.因?yàn)槠矫?，所? 又，，所以平面. 又平面，所以. 同理，.又，所以平面. 題型99 空間角與空間距離 1．（20xx江西文19）如圖，直四棱柱中，，，，，， 為上一點(diǎn)，，. （1）證明：⊥平面; （2）求點(diǎn)到平面的距離 2. (20xx

32、天津文17） 如圖， 三棱柱中， 側(cè)棱⊥底面，且各棱長(zhǎng)均相等.分別為棱的中點(diǎn). （1）證明：平面； （2）證明：平面⊥平面； （3）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值. 3. (20xx湖南文17） 如圖2.在直棱柱中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng). （1）證明：； （2）當(dāng)異面直線(xiàn)， 所成的角為時(shí)，求三棱錐的體積. 4.(20xx浙江文20）如圖，在在四棱錐中，⊥面，，， ，，為線(xiàn)段上的點(diǎn). （1）證明：⊥平面; （2）若是的中點(diǎn)，求與所成的角的正切值； （3）若滿(mǎn)足⊥ 面，求的值. 1.（20xx大綱文4）已知正四面體ABCD中，

33、E是AB的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)CE與BD所成角的余弦值為（ ）. A． B． C． D． 2.（20xx天津文17）如圖所示，四棱錐的底面是平行四邊形，，,分別是棱的中點(diǎn). （1） 求證：平面； （2） 若二面角為， ① 求證：平面平面； ② 求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值. 3.（20xx浙江文20）如圖所示，在四棱錐中，平面平面；，，，. （1）求證：平面； （2）求直線(xiàn)與平面所成的角的正切值. 4.（20xx大綱文19）如圖所示，三棱柱中，點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，，. （1）求證：； （2

34、）設(shè)直線(xiàn)與平面的距離為，求二面角的大小. 5. （20xx新課標(biāo)Ⅱ文18）如圖所示，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn). （1）求證：平面； （2）設(shè)，，三棱錐的體積，求到平面的距離. 5.（20xx湖南文18）如圖所示，已知二面角的大小為，菱形在面內(nèi)，兩點(diǎn)在棱上，，是的中點(diǎn)，面，垂足為. （1）求證：平面； （2）求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值. 1.（20xx江蘇文22）如圖所示，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，． （1）

35、求平面與平面所成二面角的余弦值； （2）點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)與所成的角最小時(shí)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)． 1.解析 由平面，， 故，，兩兩垂直，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則，，，． （1）易知平面， 故平面的一個(gè)法向量為． 又，， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 則，， 所以，取， 則，，故， 因此， 易知平面與平面所成二面角為銳二面角，故其余弦值為． （2）因，設(shè)，． 所以， 因此， 設(shè)， 所以 ， 令，則， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 所以當(dāng)時(shí)，有最大值， 即有最大值，此時(shí)直線(xiàn)與所成的角最小，故． 評(píng)注 也可以假

36、設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)解決． 在求解的最大值時(shí)，也可以處理成： ，設(shè)，則， 所以， 所以當(dāng)，取最小值， 此時(shí)取最大值， 此時(shí)直線(xiàn)與所成的角最小，即，解得，故． 1.（20xx全國(guó)乙文11）平面過(guò)正方體的頂點(diǎn)，平面，平面，平面，則所成角的正弦值為（ ）. A. B. C. D. 1.A 解析 解法一：將圖形延伸出去，構(gòu)造一個(gè)正方體，如圖所示.通過(guò)尋找線(xiàn)線(xiàn)平行構(gòu)造出平面，即平面，即研究與所成角的正弦值，易知，所以其正弦值為.故選A. 解法二（原理同解法一）：過(guò)平面外一點(diǎn)作平面，并使平面，不妨將點(diǎn)變換成，作使之滿(mǎn)足同等條件，在這樣的情況

37、下容易得到，即為平面，如圖所示，即研究與所成角的正弦值，易知，所以其正弦值為.故選A. 2.（20xx浙江文14）如圖所示，已知平面四邊形，，，，.沿直線(xiàn)將翻折成，直線(xiàn)與所成角的余弦的最大值是______. 2. 解析 設(shè)直線(xiàn)與所成角為.設(shè)是中點(diǎn)由已知得，如圖所示，以為軸，為軸，過(guò)與平面垂直的直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，有，，. 作于，翻折的過(guò)程中，始終與垂直，且的長(zhǎng)度始終不變，，則，，因此可設(shè)，則，與平行的單位向量為. 所以， 所以時(shí)，取最大值. 3.（20xx上海文19）將邊長(zhǎng)為的正方形（及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖所示，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為

38、，其中與在平面的同側(cè). （1）求圓柱的體積與側(cè)面積； （2）求異面直線(xiàn)與所成的角的大小. 3.解析 （1）由題意可知，圓柱的母線(xiàn)長(zhǎng)，底面半徑. 圓柱的體積， 圓柱的側(cè)面積. （2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的母線(xiàn)與下底面交于點(diǎn)，則， 所以或其補(bǔ)角為與所成的角. 由長(zhǎng)為，可知， 由長(zhǎng)為，可知，， 所以異面直線(xiàn)與所成的角的大小為. 4.（20xx浙江文18）如圖所示，在三棱臺(tái)中，平面平面，，，，. （1）求證：平面； （2）求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值. 4.解析 （1）因?yàn)榇藥缀误w三棱臺(tái)，延長(zhǎng)可相交于一點(diǎn)，如圖所示. 因?yàn)槠矫?，平面為，，且，所以，?/p>

39、此. 又因?yàn)?，可以求得? 所以為等邊三角形，且為的中點(diǎn)，則. 因?yàn)?，，所以平? （2）因?yàn)槠矫?，所以是直線(xiàn)與平面所成的角，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，，所以.在中，，，得.所以直線(xiàn)與平面所成的角的余弦值為. 5.（20xx天津文17）如圖所示，四邊形是平行四邊形，平面平面，，，，，，，為的中點(diǎn). （1）求證：平面； （2）求證：平面平面； （3）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值. 5.解析 （1）如圖所示，取的中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)，. 在中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以且. 又因?yàn)?，，所以且，即四邊形是平行四邊形，所?又平面，平面，所以平面 （2）證明：在中，，，. 由余

40、弦定理可得，進(jìn)而可得，即. 又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面平面，所以平? 又因?yàn)槠矫?，所以平面平? （3）因?yàn)?，所以直線(xiàn)與平面所成角即為直線(xiàn)與平面所成角. 過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，如圖所示. 又因?yàn)槠矫嫫矫?，由?）知平面，所以直線(xiàn)與平面所成角即為. 在中，. 由余弦定理可得，所以. 因此. 在中，， 所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為. 1.（20xx天津文17）如圖所示，在四棱錐中，平面，，，，，，. （1）求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值； （2）求證：平面； （3）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值. 解析 （1）如圖所示，由已知，故或

41、其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)與所成的角.因?yàn)槠矫?，平面，所? 在中，由勾股定理，得，故. 所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為. （2）證明：因?yàn)槠矫?，直線(xiàn)平面，所以. 又因?yàn)?，所? 又，且，所以平面. （3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，則與平面所成的角等于與平面所成的角. 因?yàn)镻D⊥平面，平面，所以PD⊥，所以為在平面上的射影，所以為直線(xiàn)和平面所成的角. 因?yàn)椋?，所以四邊形是平行四邊形，所? 由，得. 因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，所? 在中，由勾股定理得，所以. 所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為. 2.（20xx浙江19）如圖所示，已知四棱錐，是以為斜邊的

42、等腰直角三角形，，，，為的中點(diǎn). （1）證明：平面； （2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值. 解析 （1）如圖所示，設(shè)DE的中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)，. 因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，且. 又因?yàn)?，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，所以平? （2）分別取，的中點(diǎn)為，.聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié). 因?yàn)?，，分別是，，的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，在平行四邊形中，. 由為等腰直角三角形，得. 由，是的中點(diǎn)，所以，且,所以四邊形是平行四邊形，所以，所以.又,所以平面， 由，得平面，又平面，所以平面平面. 過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，聯(lián)結(jié). 是在平面上的射影，所以是直線(xiàn)與平面所成的角. 設(shè).在中，由，，，由余弦定理得， 又平面，平面，所以.在中，由，，,為的中點(diǎn)，得. 在中，，，所以， 所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值是. 歡迎訪(fǎng)問(wèn)“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org