廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)規(guī)范練21 兩角和與差的正弦、余弦與正切公式 文.docx
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考點(diǎn)規(guī)范練21 兩角和與差的正弦、余弦與正切公式 一、基礎(chǔ)鞏固 1.cos 160sin 10-sin 20cos 10=( ) A.-32 B.32 C.-12 D.12 答案C 解析cos160sin10-sin20cos10=-sin10cos20-sin20cos10=-sin(10+20)=-12. 2.已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為x軸正半軸,終邊落在第二象限,A(x,y)是其終邊上一點(diǎn),向量m=(3,4),若m⊥OA,則tanα+π4等于( ) A.7 B.-17 C.-7 D.17 答案D 解析因?yàn)閙⊥OA,所以3x+4y=0,所以tanα=yx=-34,所以tanα+π4=1+tanα1-tanα=17. 3.已知α∈π,3π2,且cos α=-45,則tanπ4-α等于( ) A.7 B.17 C.-17 D.-7 答案B 解析因?yàn)棣痢师?3π2,且cosα=-45, 所以sinα=-35,所以tanα=34. 所以tanπ4-α=1-tanα1+tanα=1-341+34=17. 4.已知函數(shù)f(x)=3sin 2x-2cos2x,下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是( ) A.函數(shù)f(x)的最小正周期為π B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=π3對稱 C.函數(shù)f(x)的圖象可由g(x)=2sin 2x-1的圖象向右平移π6個(gè)單位得到 D.函數(shù)f(x)在區(qū)間0,π4上是增函數(shù) 答案C 解析因?yàn)閒(x)=3sin2x-2cos2x=3sin2x-cos2x-1=2sin2x-π6-1,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤,故選C. 5.已知cosα-π6+sin α=435,則sinα+7π6的值為( ) A.12 B.32 C.-45 D.-12 答案C 解析∵cosα-π6+sinα=32cosα+32sinα=435, ∴12cosα+32sinα=45. ∴sinα+7π6=-sinα+π6 =-32sinα+12cosα=-45. 6.已知3sin 2θ=4tan θ,且θ≠kπ(k∈Z),則cos 2θ等于( ) A.-13 B.13 C.-14 D.14 答案B 解析∵3sin2θ=4tanθ,∴6sinθcosθsin2θ+cos2θ=6tanθ1+tan2θ=4tanθ. ∵θ≠kπ(k∈Z),tanθ≠0, ∴31+tan2θ=2,解得tan2θ=12, ∴cos2θ=cos2θ-sin2θ =cos2θ-sin2θcos2θ+sin2θ=1-tan2θ1+tan2θ=1-121+12=13.故選B. 7.(2018全國Ⅱ,文15)已知tanα-5π4=15,則tan α= . 答案32 解析∵tanα-54π=tanα-tan54π1+tanαtan54π=tanα-11+tanα=15, ∴5tanα-5=1+tanα.∴tanα=32. 8.函數(shù)f(x)=sin 2xsinπ6-cos 2xcos5π6在區(qū)間-π2,π2上的單調(diào)遞增區(qū)間為 . 答案-5π12,π12 解析f(x)=sin2xsinπ6-cos2xcos5π6 =sin2xsinπ6+cos2xcosπ6=cos2x-π6. 當(dāng)2kπ-π≤2x-π6≤2kπ(k∈Z), 即kπ-5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z)時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增. 取k=0,得-5π12≤x≤π12,故函數(shù)f(x)在區(qū)間-π2,π2上的單調(diào)遞增區(qū)間為-5π12,π12. 9.(2018廣東一模)已知sin 10+mcos 10=2cos 140,則m= . 答案-3 解析由sin10+mcos10=2cos140可得, m=2cos140-sin10cos10=-2cos40-sin10cos10 =-2cos(30+10)-sin10cos10=-3cos10cos10=-3. 10.函數(shù)f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是 . 答案π 3π8+kπ,7π8+kπ,k∈Z 解析f(x)=sin2x+sinxcosx+1=1-cos2x2+12sin2x+1 =12(sin2x-cos2x)+32=22sin2x-π4+32. 故T=2π2=π. 令2kπ+π2≤2x-π4≤2kπ+3π2,k∈Z, 解得kπ+3π8≤x≤kπ+7π8,k∈Z, 故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為3π8+kπ,7π8+kπ,k∈Z. 11.已知α,β均為銳角,且sin α=35,tan(α-β)=-13. (1)求sin(α-β)的值; (2)求cos β的值. 解(1)∵α,β∈0,π2,∴-π2<α-β<π2. 又tan(α-β)=-13<0, ∴-π2<α-β<0.∴sin(α-β)=-1010. (2)由(1)可得,cos(α-β)=31010. ∵α為銳角,且sinα=35,∴cosα=45. ∴cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) =4531010+35-1010=91050. 二、能力提升 12.設(shè)a=cos 50cos 127+cos 40cos 37,b=22(sin 56-cos 56),c=1-tan2391+tan239,則a,b,c的大小關(guān)系是( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b 答案D 解析a=sin40cos127+cos40sin127=sin(40+127)=sin167=sin13, b=22(sin56-cos56)=22sin56-22cos56=sin(56-45)=sin11, c=1-tan2391+tan239=cos239-sin239cos239cos239+sin239cos239 =cos239-sin239=cos78=sin12. ∵sin13>sin12>sin11,∴a>c>b.故選D. 13.12-cos2θ+12-sin2θ(θ∈R)的最小值為( ) A.43 B.34 C.23 D.32 答案A 解析12-cos2θ+12-sin2θ =4-(sin2θ+cos2θ)4-2(sin2θ+cos2θ)+sin2θcos2θ =32+14sin22θ≥43, 當(dāng)且僅當(dāng)θ=kπ2+π4(k∈Z)時(shí),等號成立. 14.已知α∈0,π2,tan α=2,則cosα-π4= . 答案31010 解析由tanα=2,得sinα=2cosα. 又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=15. 因?yàn)棣痢?,π2,所以cosα=55,sinα=255. 因?yàn)閏osα-π4=cosαcosπ4+sinαsinπ4, 所以cosα-π4=5522+25522=31010. 15.設(shè)α,β∈0,π2,且tan α=1+sinβcosβ,則2α-β= . 答案π2 解析∵α,β∈0,π2,且tanα=1+sinβcosβ, ∴sinαcosα=1+sinβcosβ, ∴sinαcosβ=cosα+cosαsinβ. ∴sinαcosβ-cosαsinβ=cosα. ∴sin(α-β)=cosα=sinπ2-α. ∵α,β∈0,π2,∴α-β∈-π2,π2, π2-α∈0,π2. ∵函數(shù)y=sinx在-π2,π2內(nèi)單調(diào)遞增, ∴由sin(α-β)=sinπ2-α可得α-β=π2-α, 即2α-β=π2. 16.已知函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)g(x)=cos x的圖象經(jīng)過如下變換得到:先將g(x)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍,橫坐標(biāo)不變,再將所得到的圖象向右平移π2個(gè)單位長度. (1)求函數(shù)f(x)的解析式,并求其圖象的對稱軸方程; (2)已知關(guān)于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)內(nèi)有兩個(gè)不同的解α,β. ①求實(shí)數(shù)m的取值范圍; ②證明:cos(α-β)=2m25-1. (1)解將g(x)=cosx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)=2cosx的圖象,再將y=2cosx的圖象向右平移π2個(gè)單位長度后得到y(tǒng)=2cosx-π2的圖象,故f(x)=2sinx. 從而函數(shù)f(x)=2sinx的圖象的對稱軸方程為x=kπ+π2(k∈Z). (2)①解f(x)+g(x)=2sinx+cosx =525sinx+15cosx =5sin(x+φ)其中sinφ=15,cosφ=25. 依題意,sin(x+φ)=m5在區(qū)間[0,2π)內(nèi)有兩個(gè)不同的解α,β,當(dāng)且僅當(dāng)m5<1,故m的取值范圍是(-5,5). ②證明因?yàn)棣?β是方程5sin(x+φ)=m在區(qū)間[0,2π)內(nèi)的兩個(gè)不同的解, 所以sin(α+φ)=m5,sin(β+φ)=m5. 當(dāng)1≤m<5時(shí),α+β+2φ=2π2, 即α-β=π-2(β+φ); 當(dāng)-5下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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