（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 高考解答題專項練3 數(shù)列.docx
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高考解答題專項練——數(shù)列 1.已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足an2=Sn+Sn-1(n≥2),a1=1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)bn=(1-an)2-a(1-an),若bn+1>bn對任意n∈N*恒成立,求實數(shù)a的取值范圍. 解(1)∵an2=Sn+Sn-1(n≥2),∴an-12=Sn-1+Sn-2(n≥3). 兩式相減可得an2-an-12=Sn-Sn-2=an+an-1,∴an-an-1=1. ∵a1=1, ∴正數(shù)數(shù)列{an}是以1為首項,以1為公差的等差數(shù)列, ∴an=n. (2)∵bn=(1-an)2-a(1-an), ∴bn+1=(1-an+1)2-a(1-an+1). 即bn=(1-n)2-a(1-n)=n2+(a-2)n+1-a, bn+1=[1-(n+1)]2-a[1-(n+1)]=n2+an. 故bn+1-bn=2n+a-1. 再由bn+1>bn對任意n∈N*恒成立可得2n+a-1>0恒成立,故a>1-2n恒成立. 而1-2n的最大值為1-2=-1,故a>-1, 即實數(shù)a的取值范圍為(-1,+∞). 2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,Sn=2an+1,其中Sn為{an}的前n項和(n∈N*). (1)求S1,S2及數(shù)列{Sn}的通項公式; (2)若數(shù)列{bn}滿足bn=(-1)nSn,且{bn}的前n項和為Tn,求證:當(dāng)n≥2時,13≤|Tn|≤79. (1)解數(shù)列{an}滿足Sn=2an+1,則Sn=2an+1=2(Sn+1-Sn),即3Sn=2Sn+1,∴Sn+1Sn=32. 即數(shù)列{Sn}為以1為首項,以32為公比的等比數(shù)列, ∴Sn=32n-1(n∈N*).∴S1=1,S2=32. (2)證明在數(shù)列{bn}中,bn=(-1)nSn=(-1)(-1)n-132n-1=-23n-1,Tn為{bn}的前n項和, 則|Tn|= (-1)1+-23+49+-233+…+-23n-1= 1+-23+49+-233+…+-23n-1. 而當(dāng)n≥2時, 1-23≤1+-23+49+-233+…+-23n-1 ≤1+-23+49=79,即13≤|Tn|≤79. 3.已知數(shù)列{an}滿足:an2-an-an+1+1=0,a1=2. (1)求a2,a3; (2)證明數(shù)列{an}為遞增數(shù)列; (3)求證:1a1+1a2+1a3+…+1an<1. (1)解∵a1=2,an+1=an2-an+1,∴a2=22-2+1=3, 同理可得a3=7. (2)證明∵an+1-an=an2-2an+1=(an-1)2>0,對n∈N*恒成立,∴an+1>an. (3)證明an+1-1=an2-an,故1an+1-1=1an2-an=1an-1-1an, 故1an=1an-1-1an+1-1, 故1a1+1a2+1a3+…+1an=1a1-1-1a2-1+1a2-1-1a3-1+…+1an-1-1an+1-1=1a1-1-1an+1-1=12-1-1an+1-1=1-1an+1-1<1. 4.(2018浙江桐鄉(xiāng)第一次模擬考)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,2(n+1)an+1=(n+2)an. (1)求a2,a3,并求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和,求Sn. 解(1)a2=34,a3=12.∵2(n+1)an+1=(n+2)an, ∴an+1an=n+22(n+1). 由累乘法得a2a1a3a2a4a3…anan-1=322423524…n+12n,∴ana1=n+12n-12=n+12n.∴an=n+12n. (2)由題意知Sn=221+322+423+…+n+12n,① 12Sn=222+323+…+n2n+n+12n+1,② ①-②,得12Sn=1+122+123+…+12n-n+12n+1 =1+1221-12n-11-12-n+12n+1=32-n+32n+1,故Sn=3-n+32n. 5.(2018浙江“七彩陽光”聯(lián)盟期初聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1=2,(2n+1)anan+1=2n+1(2an-an+1)(n∈N*). (1)求a2,a3的值; (2)如果數(shù)列{bn}滿足anbn=2n,求數(shù)列{bn}的通項公式bn. 解(1)由已知得an+1=2n+1ann+12an+2n(n∈N*),因為a1=2,所以a2=21+1a11+12a1+21=85,a3=22+1a22+12a2+22=85. (2)因為anbn=2n,且由已知可得an+12n+1=ann+12an+2n,把bn=2nan代入即得bn+1-bn=n+12, 所以b2-b1=1+12,b3-b2=2+12,…,bn-bn-1=(n-1)+12, 累加得bn-b1=1+2+3+…+(n-1)+n-12=(n-1)n2+n-12=n2-12,又b1=2a1=22=1,因此bn=n2-12+1=n2+12. 6.(2018江蘇高考)設(shè){an}是首項為a1,公差為d的等差數(shù)列,{bn}是首項為b1,公比為q的等比數(shù)列. (1)設(shè)a1=0,b1=1,q=2,若|an-bn|≤b1對n=1,2,3,4均成立,求d的取值范圍; (2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,m2],證明:存在d∈R,使得|an-bn|≤b1對n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范圍(用b1,m,q表示). 解(1)由條件知,an=(n-1)d,bn=2n-1. 因為|an-bn|≤b1對n=1,2,3,4均成立, 即|(n-1)d-2n-1|≤1對n=1,2,3,4均成立, 即1≤1,1≤d≤3,3≤2d≤5,7≤3d≤9,得73≤d≤52. 因此,d的取值范圍為73,52. (2)由條件知,an=b1+(n-1)d,bn=b1qn-1. 若存在d,使得|an-bn|≤b1(n=2,3,…,m+1)成立, 即|b1+(n-1)d-b1qn-1|≤b1(n=2,3,…,m+1), 即當(dāng)n=2,3,…,m+1時,d滿足qn-1-2n-1b1≤d≤qn-1n-1b1. 因為q∈(1,m2],則1下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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