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第2講　力的合成與分解 一、力的合成 1.合力與分力 (1)定義：如果幾個(gè)力共同作用產(chǎn)生的效果與一個(gè)力的作用效果相同，這一個(gè)力就叫做那幾個(gè)力的合力，那幾個(gè)力叫做這一個(gè)力的分力. (2)關(guān)系：合力與分力是等效替代關(guān)系. 2.共點(diǎn)力 作用在物體的同一點(diǎn)，或作用線的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)的幾個(gè)力.如圖1均為共點(diǎn)力. 圖1 3.力的合成 (1)定義：求幾個(gè)力的合力的過程. (2)運(yùn)算法則 ①平行四邊形定則：求兩個(gè)互成角度的分力的合力，可以用表示這兩個(gè)力的線段為鄰邊作平行四邊形，這兩個(gè)鄰邊之間的對(duì)角線就表示合力的大小和方向.如圖2甲所示，F(xiàn)1、F2為分力，F(xiàn)為合力. 圖2 ②三角形定則：把兩個(gè)矢量的首尾順次連接起來，第一個(gè)矢量的首到第二個(gè)矢量的尾的有向線段為合矢量.如圖乙，F(xiàn)1、F2為分力，F(xiàn)為合力. 自測(cè)1　(多選)關(guān)于幾個(gè)力及其合力，下列說法正確的是(　　) A.合力的作用效果跟原來幾個(gè)力共同作用產(chǎn)生的效果相同 B.合力與原來那幾個(gè)力同時(shí)作用在物體上 C.合力的作用可以替代原來那幾個(gè)力的作用 D.求幾個(gè)力的合力遵循平行四邊形定則 答案　ACD 自測(cè)2　教材P64第4題改編(多選)兩個(gè)力F1和F2間的夾角為θ，兩力的合力為F.以下說法正確的是(　　) A.若F1和F2大小不變，θ角越小，合力F就越大 B.合力F總比分力F1和F2中的任何一個(gè)力都大 C.如果夾角θ不變，F(xiàn)1大小不變，只要F2增大，合力F就必然增大 D.合力F的作用效果與兩個(gè)分力F1和F2共同產(chǎn)生的作用效果是相同的 答案　AD 二、力的分解 1.定義：求一個(gè)力的分力的過程. 力的分解是力的合成的逆運(yùn)算. 2.遵循的原則 (1)平行四邊形定則.(2)三角形定則. 3.分解方法 (1)效果分解法.如圖3所示，物體重力G的兩個(gè)作用效果，一是使物體沿斜面下滑，二是使物體壓緊斜面，這兩個(gè)分力與合力間遵循平行四邊形定則，其大小分別為G1＝Gsin θ，G2＝Gcos θ. 圖3 (2)正交分解法. 自測(cè)3　已知兩個(gè)共點(diǎn)力的合力為50 N，分力F1的方向與合力F的方向成30角，分力F2的大小為30 N.則(　　) A.F1的大小是唯一的 B.F2的方向是唯一的 C.F2有兩個(gè)可能的方向 D.F2可取任意方向 答案　C 解析　由F1、F2和F的矢量三角形圖可以看出： 因F2＝30 N＞F20＝Fsin 30＝25 N 且F2＜F，所以F1的大小有兩個(gè)，即F1′和F1″，F(xiàn)2的方向有兩個(gè)，即F2′的方向和F2″的方向，故選項(xiàng)A、B、D錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確. 三、矢量和標(biāo)量 1.矢量：既有大小又有方向的物理量，疊加時(shí)遵循平行四邊形定則，如速度、力等. 2.標(biāo)量：只有大小沒有方向的物理量，求和時(shí)按代數(shù)法則相加，如路程、速率等. 自測(cè)4　下列各組物理量中全部是矢量的是(　　) A.位移、速度、加速度、力 B.位移、時(shí)間、速度、路程 C.力、位移、速率、加速度 D.速度、加速度、力、路程 答案　A 命題點(diǎn)一　共點(diǎn)力的合成 1.兩個(gè)共點(diǎn)力的合成 |F1－F2|≤F合≤F1＋F2，即兩個(gè)力大小不變時(shí)，其合力隨夾角的增大而減小，當(dāng)兩力反向時(shí)，合力最??；當(dāng)兩力同向時(shí)，合力最大. 2.三個(gè)共點(diǎn)力的合成 (1)最大值：三個(gè)力共線且同向時(shí)，其合力最大，為F1＋F2＋F3. (2)最小值：任取兩個(gè)力，求出其合力的范圍，如果第三個(gè)力在這個(gè)范圍之內(nèi)，則三個(gè)力的合力的最小值為零，如果第三個(gè)力不在這個(gè)范圍內(nèi)，則合力的最小值為最大的一個(gè)力減去另外兩個(gè)較小的力的大小之和. 3.幾種特殊情況的共點(diǎn)力的合成 類型 作圖 合力的計(jì)算 互相垂直 F＝ tan θ＝ 兩力等大，夾角為θ F＝2F1cos F與F1夾角為 兩力等大，夾角為120 合力與分力等大 F′與F夾角為60 4.力合成的方法 (1)作圖法 (2)計(jì)算法 若兩個(gè)力F1、F2的夾角為θ，如圖4所示，合力的大小可由余弦定理得到： 圖4 F＝ tan α＝. 例1　(多選)兩個(gè)共點(diǎn)力F1、F2大小不同，它們的合力大小為F，則(　　) A.F1、F2同時(shí)增大一倍，F(xiàn)也增大一倍 B.F1、F2同時(shí)增加10 N，F(xiàn)也增加10 N C.F1增加10 N，F(xiàn)2減少10 N，F(xiàn)一定不變 D.若F1、F2中的一個(gè)增大，F(xiàn)不一定增大 答案　AD 解析　根據(jù)求合力的公式F＝(θ為F1、F2的夾角)，若F1、F2都變?yōu)樵瓉淼?倍，合力也一定變?yōu)樵瓉淼?倍，A正確；對(duì)于B、C兩種情況，力的變化不是按比例增加或減少的，不能判斷合力的變化情況，B、C錯(cuò)誤；若F1與F2共線反向，F(xiàn)1＞F2，則F＝F1－F2，F(xiàn)1增大時(shí)，F(xiàn)增大，F(xiàn)2增大且小于F1時(shí)，F(xiàn)減小，所以D正確. 例2　(多選)一物體靜止于水平桌面上，兩者之間的最大靜摩擦力為5 N，現(xiàn)將水平面內(nèi)三個(gè)力同時(shí)作用于物體的同一點(diǎn)，三個(gè)力的大小分別為2 N、2 N、3 N.下列關(guān)于物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況判斷正確的是(　　) A.物體所受靜摩擦力可能為2 N B.物體所受靜摩擦力可能為4 N C.物體可能仍保持靜止 D.物體一定被拉動(dòng) 答案　ABC 解析　兩個(gè)2 N力的合力范圍為0～4 N，然后與3 N的力合成，則三個(gè)力的合力范圍為0～7 N，由于最大靜摩擦力為5 N，因此可判定A、B、C正確，D錯(cuò)誤. 變式1　(多選)已知力F，且它的一個(gè)分力F1跟F成30角，大小未知，另一個(gè)分力F2的大小為F，方向未知，則F1的大小可能是(　　) A. B. C. D.F 答案　AC 變式2　水平橫梁一端插在墻壁內(nèi)，另一端裝光滑小滑輪且一輕繩的一端C固定于墻壁上，另一端跨過滑輪后懸掛一質(zhì)量m＝10 kg的重物，∠CBA＝30.如圖5所示，則滑輪受到繩子的作用力為(g取10 m/s2)(　　) 圖5 A.50 N B.50 N C.100 N D.100 N 答案　C 命題點(diǎn)二　力分解的兩種常用方法 1.效果分解法 按力的作用效果分解(思路圖) 2.正交分解法 (1)定義：將已知力按互相垂直的兩個(gè)方向進(jìn)行分解的方法. (2)建立坐標(biāo)軸的原則：一般選共點(diǎn)力的作用點(diǎn)為原點(diǎn)，在靜力學(xué)中，以少分解力和容易分解力為原則(使盡量多的力分布在坐標(biāo)軸上)；在動(dòng)力學(xué)中，往往以加速度方向和垂直加速度方向?yàn)樽鴺?biāo)軸建立坐標(biāo)系. (3)方法：物體受到多個(gè)力F1、F2、F3、…作用，求合力F時(shí)，可把各力向相互垂直的x軸、y軸分解. x軸上的合力Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋… y軸上的合力Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋… 合力大小F＝ 合力方向：與x軸夾角為θ，則tan θ＝. 例3　如圖6所示，墻上有兩個(gè)釘子a和b，它們的連線與水平方向的夾角為45，兩者的高度差為l.一條不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩一端固定于a點(diǎn)，另一端跨過光滑釘子b懸掛一質(zhì)量為m1的重物.在繩上距a端的c點(diǎn)有一固定繩圈.若繩圈上懸掛質(zhì)量為m2的鉤碼，平衡后繩的ac段正好水平，則重物和鉤碼的質(zhì)量比為(　　) 圖6 A. B.2 C. D. 答案　C 解析　解法一(力的效果分解法)： 鉤碼的拉力F等于鉤碼重力m2g，將F沿ac和bc方向分解，兩個(gè)分力分別為Fa、Fb，如圖甲所示，其中Fb＝m1g，由幾何關(guān)系可得cos θ＝＝，又由幾何關(guān)系得cos θ＝，聯(lián)立解得＝. 解法二(正交分解法)： 繩圈受到Fa、Fb、F三個(gè)力作用，如圖乙所示，將Fb沿水平方向和豎直方向正交分解，由豎直方向受力平衡得m1gcos θ＝m2g；由幾何關(guān)系得cos θ＝，聯(lián)立解得＝. 變式3　(2018山東煙臺(tái)模擬)減速帶是交叉路口常見的一種交通設(shè)施，車輛駛過減速帶時(shí)要減速，以保障行人的安全.當(dāng)汽車前輪剛爬上減速帶時(shí)，減速帶對(duì)車輪的彈力為F，下圖中彈力F畫法正確且分解合理的是(　　) 答案　B 解析　減速帶對(duì)車輪的彈力方向垂直車輪和減速帶的接觸面，指向受力物體，故A、C錯(cuò)誤；按照力的作用效果分解，將F分解為水平方向和豎直方向，水平方向的分力產(chǎn)生的效果減慢汽車的速度，豎直方向的分力產(chǎn)生向上運(yùn)動(dòng)的作用效果，故B正確，D錯(cuò)誤. 變式4　(多選)(2016全國(guó)卷Ⅰ19)如圖7，一光滑的輕滑輪用細(xì)繩OO′懸掛于O點(diǎn)；另一細(xì)繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物塊b.外力F向右上方拉b，整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài).若F方向不變，大小在一定范圍內(nèi)變化，物塊b仍始終保持靜止，則(　　) 圖7 A.繩OO′的張力也在一定范圍內(nèi)變化 B.物塊b所受到的支持力也在一定范圍內(nèi)變化 C.連接a和b的繩的張力也在一定范圍內(nèi)變化 D.物塊b與桌面間的摩擦力也在一定范圍內(nèi)變化 答案　BD 解析　由于物塊a、b均保持靜止，各繩角度保持不變，對(duì)a受力分析得，繩的拉力FT′＝mag，所以物塊a受到的繩的拉力保持不變.由滑輪性質(zhì)，滑輪兩側(cè)繩的拉力相等，所以b受到繩的拉力大小、方向均保持不變，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；a、b受到繩的拉力大小、方向均不變，所以O(shè)O′的張力不變，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)b進(jìn)行受力分析，如圖所示.由平衡條件得：FTcos β＋Ff＝Fcos α，F(xiàn)sin α＋FN＋FTsin β＝mbg.其中FT和mbg始終不變，當(dāng)F大小在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，支持力在一定范圍內(nèi)變化，B選項(xiàng)正確；摩擦力也在一定范圍內(nèi)發(fā)生變化，D選項(xiàng)正確. 命題點(diǎn)三　力合成與分解的兩個(gè)重要應(yīng)用 應(yīng)用1　斧頭劈木柴問題 例4　刀、斧、鑿等切削工具的刃部叫做劈，如圖8是斧頭劈木柴的示意圖.劈的縱截面是一個(gè)等腰三角形，使用劈的時(shí)候，垂直劈背加一個(gè)力F，這個(gè)力產(chǎn)生兩個(gè)作用效果，使劈的兩個(gè)側(cè)面推壓木柴，把木柴劈開.設(shè)劈背的寬度為d，劈的側(cè)面長(zhǎng)為l，不計(jì)斧頭的自身重力，則劈的側(cè)面推壓木柴的力約為(　　) 圖8 A.F B.F C.F D.F 答案　B 解析　斧頭劈木柴時(shí)，設(shè)兩側(cè)面推壓木柴的力分別為F1、F2且F1＝F2，利用幾何三角形與力的三角形相似有 ＝，得推壓木柴的力F1＝F2＝F，所以B正確，A、C、D錯(cuò)誤. 應(yīng)用2　拖把拖地問題 例5　拖把是由拖桿和拖把頭構(gòu)成的擦地工具(如圖9).設(shè)拖把頭的質(zhì)量為m，拖桿質(zhì)量可忽略.拖把頭與地板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為常數(shù)μ，重力加速度為g.某同學(xué)用該拖把在水平地板上拖地時(shí)，沿拖桿方向推拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ. 圖9 (1)若拖把頭在地板上勻速移動(dòng)，求推拖把的力的大小. (2)設(shè)能使該拖把在地板上從靜止剛好開始運(yùn)動(dòng)的水平推力與此時(shí)地板對(duì)拖把的正壓力的比值為λ.已知存在一臨界角θ0，若θ≤θ0，則不管沿拖桿方向的推力有多大，都不可能使拖把從靜止開始運(yùn)動(dòng).求這一臨界角的正切tan θ0. 答案　(1) mg　(2)λ 解析　(1)設(shè)該同學(xué)沿拖桿方向用大小為F的力推拖把.將推拖把的力沿豎直和水平方向分解，根據(jù)平衡條件有 Fcos θ＋mg＝FN ① Fsin θ＝Ff ② 式中FN和Ff分別為地板對(duì)拖把的正壓力和摩擦力. 所以Ff＝μFN ③ 聯(lián)立①②③式得F＝ mg ④ (2)若不管沿拖桿方向用多大的力都不能使拖把從靜止開始運(yùn)動(dòng)，應(yīng)有Fsin θ≤λFN ⑤ 這時(shí)，①式仍成立.聯(lián)立①⑤式得sin θ－λcos θ≤λ ⑥ λ大于零，且當(dāng)F無限大時(shí)λ 為零，有 sin θ－λcos θ≤0 ⑦ 使⑦式成立的θ角滿足θ≤θ0，這里θ0是題中所定義的臨界角，即當(dāng)θ≤θ0時(shí)，不管沿拖桿方向用多大的力都推不動(dòng)拖把.故臨界角的正切為tan θ0＝λ. 變式5　(多選)生活中拉鏈在很多衣服上得到應(yīng)用，圖10是衣服上拉鏈的一部分，當(dāng)我們把拉鏈拉開的時(shí)候，拉頭與拉鏈接觸處呈三角形，使很難直接分開的拉鏈很容易地拉開，關(guān)于其中的物理原理，以下說法正確的是(　　) 圖10 A.拉開拉鏈的時(shí)候，三角形的物體增大了拉拉鏈的拉力 B.拉開拉鏈的時(shí)候，三角形的物體將拉力分解為兩個(gè)較大的分力 C.拉開拉鏈的時(shí)候，三角形的物體將拉力分解為方向不同的兩個(gè)分力 D.以上說法都不正確 答案　BC 解析　拉頭與拉鏈的接觸處呈三角形，拉力分解為兩個(gè)分力，如圖所示，分力的大小大于拉力，且兩分力的方向不相同，所以選項(xiàng)B、C正確，A、D錯(cuò)誤. 變式6　(2018福建莆田質(zhì)檢)如圖11所示，質(zhì)量為m的物塊靜止于斜面上，物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，逐漸增大斜面的傾角θ，直到θ等于某特定值φ時(shí)，物塊達(dá)到“欲動(dòng)未動(dòng)”的臨界狀態(tài)，此時(shí)的摩擦力為最大靜摩擦力，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，求θ角滿足什么條件時(shí)物塊總與斜面保持相對(duì)靜止. 圖11 答案　tan θ≤μ 解析　物塊m受力平衡，則有FN－Gcos φ＝0，F(xiàn)fm－Gsin φ＝0.又Ffm＝μFN，解得μ＝tan φ.顯然，當(dāng)θ≤φ即tan θ≤μ時(shí)，物塊始終保持靜止.