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考點測試3 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞
高考概覽
考綱研讀
1．了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義
2．理解全稱量詞與存在量詞的意義
3．能正確地對含有一個量詞的命題進行否定
一、基礎(chǔ)小題
1．命題“所有實數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定為( )
A．所有實數(shù)的平方都不是正數(shù)
B．有的實數(shù)的平方是正數(shù)
C．至少有一個實數(shù)的平方是正數(shù)
D．至少有一個實數(shù)的平方不是正數(shù)
答案 D
解析 根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題知，把“所有”改為“至少有一個”，“是”的否定為“不是”，故命題“所有實數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定為“至少有一個實數(shù)的平方不是正數(shù)”，故選D．
2．若命題(綈p)∧q為真命題，則命題p，q的真假情況是( )
A．p真，q真 B．p假，q真
C．p真，q假 D．p假，q假
答案 B
解析 因為命題(綈p)∧q為真命題，所以綈p真且q真，所以p假，q真．
3．設(shè)x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集．若命題p：?x∈A，2x∈B，則( )
A．綈p：?x∈A，2x?B B．綈p：?x?A，2x?B
C．綈p：?x?A，2x∈B D．綈p：?x∈A，2x?B
答案 D
解析 因全稱命題的否定是特稱命題，故命題p的否定為綈p：?x∈A，2x?B．故選D．
4．命題“?x>0，>0”的否定是( )
A．?x<0，≤0 B．?x>0，0≤x≤1
C．?x>0，≤0 D．?x<0，0≤x≤1
答案 B
解析 命題“?x>0，>0”的否定是“?x>0，≤0或x＝1”，即“?x>0，0≤x≤1”，故選B．
5．已知集合A＝{x|x>2}，集合B＝{x|x>3}，以下命題正確的個數(shù)是( )
①?x0∈A，x0?B；②?x0∈B，x0?A；③?x∈A，都有x∈B；④?x∈B，都有x∈A．
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 C
解析 因為A＝{x|x>2}，B＝{x|x>3}，所以BA，即B是A的真子集，所以①④正確，②③錯誤，故選C．
6．以下四個命題既是特稱命題又是真命題的是( )
A．銳角三角形有一個內(nèi)角是鈍角
B．至少有一個實數(shù)x，使x2≤0
C．兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)
D．存在一個負數(shù)x，使>2
答案 B
解析 選項A中，銳角三角形的所有內(nèi)角都是銳角，所以A是假命題；選項B中，當x＝0時，x2＝0，所以B既是特稱命題又是真命題；選項C中，因為＋(－)＝0不是無理數(shù)，所以C是假命題；選項D中，對于任意一個負數(shù)x，都有<0，不滿足>2，所以D是假命題．故選B．
7．已知命題p：若x>y，則－x<－y；命題q：若x
y2．給出下列命題：
①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q．
其中的真命題是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
答案 C
解析 由題意可知，命題p為真命題，命題q為假命題．故p∧q為假，p∨q為真，p∧(綈q)為真，(綈p)∨q為假，故真命題為②③．故選C．
8．下列命題中的假命題為( )
A．?x∈R，ex>0 B．?x∈N，x2>0
C．?x0∈R，ln x0<1 D．?x0∈N*，sin＝1
答案 B
解析 由函數(shù)y＝ex的圖象可知，?x∈R，ex>0，故選項A為真命題；當x＝0時，x2＝0，故選項B為假命題；當x0＝時，ln ＝－1<1，故選項C為真命題；當x0＝1時，sin＝1，故選項D為真命題．綜上選B．
9．已知命題p：?a∈R，方程ax＋4＝0有解；命題q：?m>0，直線x＋my－1＝0與直線2x＋y＋3＝0平行．給出下列結(jié)論，其中正確的有( )
①命題“p∧q”是真命題；
②命題“p∧(綈q)”是真命題；
③命題“(綈p)∨q”是真命題；
④命題“(綈p)∨(綈q)”是真命題．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
答案 B
解析 因為當a＝0時，方程ax＋4＝0無解，所以命題p是假命題；當1－2m＝0，即m＝時兩條直線平行，所以命題q是真命題．所以綈p是真命題，綈q是假命題，所以①②錯誤，③④正確．故選B．
10．在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次．設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為( )
A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
答案 A
解析 綈p表示甲沒有降落在指定范圍，綈q表示乙沒有降落在指定范圍，命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”，也就是“甲沒有降落在指定范圍或乙沒有降落在指定范圍”．故選A．
11．已知p：?x∈R，x2＋2x＋a≤0，若p是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．(用區(qū)間表示)
答案 (1，＋∞)
解析 由題意知?x∈R，x2＋2x＋a>0恒成立，
∴關(guān)于x的方程x2＋2x＋a＝0的根的判別式Δ＝4－4a<0，∴a>1．∴實數(shù)a的取值范圍是(1，＋∞)．
12．已知全集U＝R，A?U，B?U，如果命題p：x∈(A∩B)，那么綈p是________．
答案 x?A或x?B
解析 x∈(A∩B)即x∈A且x∈B，所以其否定為：x?A或x?B．
二、高考小題
13．(2015全國卷Ⅰ)設(shè)命題p：?n∈N，n2>2n，則綈p為( )
A．?n∈N，n2>2n B．?n∈N，n2≤2n
C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n
答案 C
解析 根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，所以綈p：?n∈N，n2≤2n，故選C．
14．(2016浙江高考)命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．?x∈R，?n∈N*，使得nn
B．?n∈N*，f(n)?N*或f(n)>n
C．?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)>n0
D．?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)>n0
答案 D
解析 “f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定為“f(n)?N*或f(n)>n”，全稱命題的否定為特稱命題，故選D．
17．(2017山東高考)已知命題p：?x>0，ln (x＋1)>0；命題q：若a>b，則a2>b2．下列命題為真命題的是( )
A．p∧q B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)
答案 B
解析 ∵?x>0，x＋1>1，∴l(xiāng)n (x＋1)>0，∴命題p為真命題；當b0
B．存在四邊相等的四邊形不是正方形
C．“存在實數(shù)x，使x>1”的否定是“不存在實數(shù)x，使x≤1”
D．若x，y∈R且x＋y>2，則x，y中至少有一個大于1
答案 C
解析 x2＋x＋1＝x＋2＋≥，A是真命題；菱形的四邊相等，但不是正方形，B是真命題；“存在實數(shù)x，使x>1”的否定是“對于任意實數(shù)x，有x≤1”，C是假命題；“若x，y∈R且x＋y>2，則x，y中至少有一個大于1”的逆否命題是“若x，y均不大于1，則x＋y≤2”是真命題，D是真命題，故選C．
22．(2018湖南湘東五校4月聯(lián)考)已知命題“?x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A．(－∞，0) B．[0，4]
C．[4，＋∞) D．(0，4)
答案 D
解析 因為命題“?x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命題，所以其否定命題“?x∈R，4x2＋(a－2)x＋>0”是真命題，則Δ＝(a－2)2－44＝a2－4a<0，解得0x；命題q：?x∈，＋∞，2x＋21－x>2．則下列命題中是真命題的為( )
A．綈q B．p∧(綈q)
C．p∧q D．(綈p)∨(綈q)
答案 C
解析 取x0＝，可知>2，故命題p為真；因為2x＋21－x≥2＝2，當且僅當x＝時等號成立，故命題q為真；故p∧q為真，即選項C正確，故選C．
24．(2018湖北八市3月聯(lián)考)已知平面α，β，直線a，b．命題p：若α∥β，a∥α，則a∥β；命題q：若a∥α，a∥β，α∩β＝b，則a∥b，下列為真命題的是( )
A．p∧q B．p∨(綈q)
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧q
答案 D
解析 命題p中，直線a與平面β可能平行，也可能在平面β內(nèi)，所以命題p為假命題，綈p為真命題；由線面平行的性質(zhì)定理知命題q為真命題，綈q為假命題，所以(綈p)∧q為真命題，故選D．
25．(2018江西贛州摸底)已知命題m：“?x0∈0，，x0x0”，則在命題p1：m∨n，p2：m∧n，p3：(綈m)∨n和p4：m∧(綈n)中，真命題是( )
A．p1，p2，p3 B．p2，p3，p4
C．p1，p3 D．p2，p4
答案 A
解析 如圖，由指數(shù)函數(shù)y＝x與對數(shù)函數(shù)y＝logx的圖象可以判斷命題m是真命題，命題n也是真命題，根據(jù)復(fù)合命題的性質(zhì)可知p1，p2，p3均為真命題，故選A．
26．(2018廣東華南師大附中測試三)設(shè)有兩個命題：
p：關(guān)于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0}；
q：函數(shù)y＝lg (ax2－x＋a)的定義域為R．
如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案 00，x∈R恒成立，則
解得a>．由p∨q為真命題，p∧q為假命題可得命題p，q中一真一假，若p真q假，則若p假q真，則則0x2，即m>－1時，必須大根x1＝2m<1，即m<．
(2)當x1－4．
(3)當x1＝x2，即m＝－1時，x1＝x2＝－2<1也滿足條件．
∴滿足條件①的m的取值范圍為－4－1時，小根x2＝－m－3<－4且m<0，無解．
(2)當m<－1時，小根x1＝2m<－4且m<0，
解得m<－2．
(3)當m＝－1時，f(x)＝－(x＋2)2≤0恒成立，
∴不滿足②．
∴滿足①②的m的取值范圍是{m|－4
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第一章
集合與常用邏輯用語
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