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單元檢測十　計數(shù)原理 (時間：120分鐘　滿分：150分) 第Ⅰ卷(選擇題　共40分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．3個單位從4名大學畢業(yè)生中選聘工作人員，若每個單位至少選聘1人(4名大學畢業(yè)生不一定都能被選聘上)，則不同的選聘方法的種數(shù)為(　　) A．60B．36C．24D．42 答案　A 解析　當4名大學畢業(yè)生都被選聘上時，則有CA＝66＝36(種)不同的選聘方法；當4名大學畢業(yè)生有3名被選聘上時，則有A＝24(種)不同的選聘方法．由分類加法計數(shù)原理，可得不同的選聘方法種數(shù)為36＋24＝60，故選A. 2．用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復數(shù)字，且大于3000的四位數(shù)，則這樣的四位數(shù)有(　　) A．250個B．249個C．48個D．24個 答案　C 解析　先考慮四位數(shù)的首位，當排數(shù)字4,3時，其他三個數(shù)位上可從剩余的4個數(shù)中任選3個進行全排列，得到的四位數(shù)都滿足題設(shè)條件，因此依據(jù)分類加法計數(shù)原理，可得滿足題設(shè)條件的四位數(shù)共有A＋A＝2A＝2432＝48(個)，故選C. 3．有四支足球隊進行單循環(huán)比賽(每兩隊比賽一場)，每場比賽勝者得3分，負者得0分，平局雙方各1分．比賽結(jié)束后發(fā)現(xiàn)沒有足球隊全勝，且四隊得分各不相同，則比賽中可能出現(xiàn)的最少的平局場數(shù)是(　　) A．0B．1C．2D．3 答案　B 解析　四支隊得分總和最多為36＝18，若沒有平局，又沒有全勝的隊，則四支隊的得分只可能有6,3,0三種選擇，必有兩隊得分相同，與四隊得分各不相同矛盾，所以最少平局場數(shù)是1，如四隊得分為7,6,3,1時符合題意，故選B. 4．某班上午有5節(jié)課，分別安排語文、數(shù)學、英語、物理、化學各1節(jié)課，要求語文與化學相鄰，數(shù)學與物理不相鄰，且數(shù)學不排在第一節(jié)課，則不同的排課法的種數(shù)是(　　) A．16B．24C．8D．12 答案　A 解析　根據(jù)題意分3步進行分析：①要求語文與化學相鄰，將語文與化學看成一個整體，考慮其順序，有A＝2(種)情況；②將這個整體與英語全排列，有A＝2(種)情況，排好后，有3個空位；③數(shù)學課不排在第一節(jié)，有2個空位可選，在剩下的2個空位中任選1個安排物理，有2種情況，則數(shù)學、物理的安排方法有22＝4(種)，則不同的排課法的種數(shù)是224＝16，故選A. 5．某電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中有3個不同的商業(yè)廣告，2個不同的兩會宣傳片，1個公益廣告，要求最后播放的不能是商業(yè)廣告，且兩會宣傳片與公益廣告不能連續(xù)播放，2個兩會宣傳片也不能連續(xù)播放，則不同的播放方式的種數(shù)是(　　) A．48B．98C．108D．120 答案　C 解析　首選排列3個商業(yè)廣告，有A種結(jié)果，再在3個商業(yè)廣告形成的4個空中排入另外3個廣告，注意最后一個位置的特殊性，共有CA種結(jié)果，故不同的播放方式的種數(shù)為ACA＝108. 6．C＋C＋C＋C＋…＋C的值為(　　) A．CB．CC．CD．C 答案　D 解析　C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＝C，故選D. 7．在(1＋x－x2)10的展開式中，x3的系數(shù)為(　　) A．10B．30C．45D．210 答案　B 解析　(1＋x－x2)10表示10個1＋x－x2相乘，x3的組成可分為3個x或1個x2,1個x組成，故展開式中x3的系數(shù)為C＋(－1)CC＝120－90＝30，故選B. 8．某班班會準備從包含甲、乙的7名學生中選取4人發(fā)言，要求甲、乙2人至少有1人參加，若甲、乙同時參加，則他們發(fā)言的順序不能相鄰，那么不同發(fā)言順序的種數(shù)為(　　) A．720B．520C．600D．360 答案　C 解析　分兩種情況討論： 若甲、乙2人只有1人參加，有CCA＝480(種)情況；若甲、乙2人都參加且發(fā)言的順序不相鄰，有CCAA＝120(種)情況， 則不同發(fā)言順序的種數(shù)為480＋120＝600. 9．設(shè)集合A＝{(x1，x2，x3，x4)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4}，那么集合A中滿足條件“x＋x＋x＋x≤4”的元素個數(shù)為(　　) A．60B．65C．80D．81 答案　D 解析　由題意可得x＋x＋x＋x≤4成立，需要分五種情況討論： ①當x＋x＋x＋x＝0時，只有1種情況，即x1＝x2＝x3＝x4＝0； ②當x＋x＋x＋x＝1時，即x1＝1，x2＝x3＝x4＝0，有2C＝8種； ③當x＋x＋x＋x＝2時，即x1＝1，x2＝1，x3＝x4＝0，有4C＝24種； ④當x＋x＋x＋x＝3時，即x1＝1，x2＝1，x3＝1，x4＝0，有8C＝32種； ⑤當x＋x＋x＋x＝4時，即x1＝1，x2＝1，x3＝1，x4＝1，有16種， 綜合以上五種情況，則總共有81種，故選D. 10．已知關(guān)于x的等式x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝(x＋1)4＋b1(x＋1)3＋b2(x＋1)2＋b3(x＋1)＋b4，定義映射f：(a1，a2，a3，a4)→(b1，b2，b3，b4)，則f(4,3,2,1)等于(　　) A．(1,2,3,4) B．(0,3,4,0) C．(0，－3,4，－1) D．(－1,0,2，－2) 答案　C 解析　因為x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝[(x＋1)－1]4＋a1[(x＋1)－1]3＋a2[(x＋1)－1]2＋a3[(x＋1)－1]＋a4，所以f(4,3,2,1)＝[(x＋1)－1]4＋4[(x＋1)－1]3＋3[(x＋1)－1]2＋2[(x＋1)－1]＋1，所以b1＝C(－1)＋4C＝0，b2＝C(－1)2＋4C(－1)＋3C＝－3，b3＝C(－1)3＋4C(－1)2＋3C(－1)＋2＝4，b4＝C(－1)4＋4C(－1)3＋3C(－1)2＋2(－1)＋1＝－1，故選C. 第Ⅱ卷(非選擇題　共110分) 二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．把答案填在題中橫線上) 11．若CA＝42，則＝________. 答案　35 解析　由2＝42，解得n＝7，所以＝＝35. 12．(2018嘉興市期末測試)已知(1－x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，則x2項的二項式系數(shù)是________；|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________. 答案　15　64 解析　二項式(1－x)6的展開式的通項公式為 Tk＋1＝C(－x)k＝(－1)kCxk， 令k＝2得x2項的二項式系數(shù)為C＝15. 由二項展開式的通項公式得x的奇數(shù)次冪的項的系數(shù)小于零，偶數(shù)次冪的項的系數(shù)大于零， 則|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6， 則在(1－x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6中，令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝[1－(－1)]6＝64. 13．(2018浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知5的展開式中含的項的系數(shù)為30，則實數(shù)a＝________，展開式的第3項是________． 答案?。?　360 解析　5的展開式的通項 Tk＋1＝C()5－kk＝(－a)kC， 當－k＝時，k＝1.∴(－a)1C＝－5a＝30，∴a＝－6. 第3項為T3＝C()5－22＝C62＝360. 14．(2019臺州市期末質(zhì)量評估)若(x2－2x－3)n的展開式中所有項的系數(shù)之和為256，則n＝________，含x2項的系數(shù)是________．(用數(shù)字作答) 答案　4　108 解析　令x＝1，則有(－4)n＝256，解得n＝4， 所以(x2－2x－3)n＝(x2－2x－3)4＝(x－3)4(x＋1)4， 所以x2項的系數(shù)是C(－3)2＋C(－3)4＋C(－3)3C＝108. 15．(2018紹興市嵊州高考適應性考試)已知多項式(x＋b)5＝(x－1)5＋a1(x－1)4＋a2(x－1)3＋a3(x－1)2＋a4(x－1)－32，則b＝________，a2＝________. 答案?。?　40 解析　設(shè)x＝1，則(1＋b)5＝－32，解得b＝－3； 因為(x＋b)5＝(x－3)5＝[(x－1)－2]5， 所以a2＝C(－2)2＝40. 16．(2018麗水、衢州、湖州三地質(zhì)檢)現(xiàn)有7名志愿者，其中只會俄語的有3人，既會俄語又會英語的有4人．從中選出4人負責“一帶一路”峰會開幕式翻譯工作，2人擔任英語翻譯，2人擔任俄語翻譯，共有________種不同的選法． 答案　60 解析　不選只會俄語的，有CA＝6種選法；選1名只會俄語的，有(CC)C＝36種選法；選2名只會俄語的，有CC＝18種選法，所以共有60種不同的選法． 17．有6張卡片分別寫有數(shù)字1,1,1,2,3,4，從中任取3張，可排出不同的三位數(shù)的個數(shù)是________．(用數(shù)字作答) 答案　34 解析　當取出的3張卡片中不含寫有數(shù)字1的卡片時，只有1種取法，可構(gòu)成A個不同的三位數(shù)；當取出的3張卡片中，含1張寫有數(shù)字1的卡片時，有C種取法，可構(gòu)成CA個不同的三位數(shù)；當取出的3張卡片中，含2張寫有數(shù)字1的卡片時，有C種取法，可構(gòu)成個不同的三位數(shù)；當取出的3張卡片都為寫有數(shù)字1的卡片時，有1種取法，只能構(gòu)成1個三位數(shù)．綜上所述，構(gòu)成的不同的三位數(shù)共有A33＋CA＋＋1＝34(個)． 三、解答題(本大題共5小題，共74分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 18．(14分)有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，共有多少種不同的排法？ 解　∵前排中間3個座位不能坐， ∴實際可坐的位置前排8個，后排12個． (1)兩人一個前排，一個后排，方法數(shù)為CCA； (2)兩人均在后排左右不相鄰，方法數(shù)為A－AA＝A； (3)兩人均在前排，又分兩類： ①兩人一左一右，方法數(shù)為CCA； ②兩人同左或同右，方法數(shù)為2(A－AA)． 綜上，不同的排法種數(shù)為CCA＋A＋CCA＋2(A－AA)＝346. 19．(15分)已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展開式中x的系數(shù)為19，求x2的系數(shù)的最小值及此時展開式中x7的系數(shù)． 解　由題設(shè)知，m＋n＝19.又m，n∈N*，∴1≤m≤18， ∴x2的系數(shù)為C＋C＝(m2－m)＋(n2－n) ＝m2－19m＋171. ∴當m＝9或10時，x2的系數(shù)取最小值81，此時x7的系數(shù)為C＋C＝156. 20．(15分)某人有4種顏色的燈泡(每種顏色的燈泡足夠多)，要在如圖所示的6個點A，B，C，A1，B1，C1上各裝一個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，求每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法的種數(shù)． 解　第一步，在點A1，B1，C1上安裝燈泡，A1有4種方法，B1有3種方法，C1有2種方法，則共有432＝24(種)方法． 第二步，從A，B，C中選一個點安裝第4種顏色的燈泡，有3種方法． 第三步，再給剩余的兩個點安裝燈泡，有3種方法． 由分步乘法計數(shù)原理可得，安裝方法共有43233＝216(種)． 21．(15分)已知n的展開式的各項系數(shù)之和等于5的展開式中的常數(shù)項，求： (1)展開式的二項式系數(shù)和； (2)展開式中a－1項的二項式系數(shù)． 解　依題意，令a＝1，得n展開式中各項系數(shù)和為(3－1)n＝2n，5展開式中的通項為Tk＋1＝C(4)5－kk＝(－1)kC45－k. 若Tk＋1為常數(shù)項，則＝0，即k＝2， 故常數(shù)項為T3＝(－1)2C435－1＝27， 于是有2n＝27，得n＝7. (1)n展開式的二項式系數(shù)和為2n＝27＝128. (2)7的通項為Tk＋1＝C7－k(－)k ＝C(－1)k37－k，令＝－1，得k＝3， ∴所求a－1項的二項式系數(shù)為C＝35. 22．(15分)已知a，b，c∈{－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，則對于方程ay＝b2x2＋c所表示的曲線中不同的拋物線共有多少條？ 解　將方程ay＝b2x2＋c變形可得x2＝y(tǒng)－，若表示拋物線，則a≠0且b≠0，所以分b＝－2,1,2,3四種情況： ①當b＝－2時， 當＝時，＝0，，； 當＝時，＝0，，； 當＝時，＝0，，. ②當b＝2時， 當＝－時，＝0，，； 當＝時，＝－，0，； 當＝時，＝－，0，. ③當b＝1時， ④當b＝3時， 由于b＝－2或b＝2時，b2＝4，①與②中有4條重復的拋物線，所以方程ay＝b2x2＋c所表示的曲線中不同的拋物線共有92－4＋92＝32(條)．