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2、 1 20xx年高考三輪復習系列：講練測之核心熱點 【全國通用版】 熱點六 三角化簡求值 【名師精講指南篇】 【高考真題再現(xiàn)】 1.【20xx新課標全國】設當時,函數(shù)取得最大值,則______ 【答案】； 2.【20xx新課標全國】已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為,,,,則（ ） （A） （B） （C） （

3、D） 【答案】D； 【解析】因為,且銳角△ABC,故,故,解得. 3.【20xx高考全國1文】若,則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 試題分析：由,可得：同正或同負,即可排除A和B,又由,故. 4.【20xx全國1高考理】設且則（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 5.【20xx全國1理】（ ）. A. B． C． D． B. 原式.故選D． 【熱點深度剖析】 三角函數(shù)的化簡、求值及最值問

4、題,主要考查同角三角函數(shù)的基本關系式,三角函數(shù)的誘導公式,和、差、倍、半、和積互化公式在求三角函數(shù)值時的應用,考查利用三角公式進行恒等變形的技能,以及基本運算的能力,特別突出算理方法的考查． 20xx年試題主要考查三角恒等變換,及倍角公式的靈活運用、同角的三角函數(shù)關系等知識以及相應的運算能力. 20xx年的試題文主要考查三角函數(shù)的同角的三角函數(shù)關系,理科考查三角函數(shù)的同角的三角函數(shù)關系,三角恒等變換.20xx主要考查兩角和與差的三角函數(shù)公式.通過三年試題來看,二倍角公式,同角的三角函數(shù)關系是考試的重點．從近幾年的高考試題來看,利用同角三角函數(shù)的關系改變?nèi)呛瘮?shù)的名稱,利用誘導公式、和差角公式及

5、二倍角公式改變角的恒等變換是高考的熱點,常與三角函數(shù)式的求值、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角形中三角恒等變化,向量等知識綜合考查,既有選擇題、填空題,又有解答題,屬中低檔題．預測20xx年會加大對三角客觀題考查的力度,同角三角函數(shù)基本關系式、誘導公式及三角恒等變換是考查重點． 【重點知識整合】 一．三角函數(shù)誘導公式 1.對于形如即滿足中取偶數(shù)時：等于角的同名三角函數(shù),前面加上一個把看成是銳角時,該角所在象限的符號； 2.對于形如即滿足中取奇數(shù)時：等于角的余名三角函數(shù),前面加上一個把看成是銳角時,該角所在象限的符號. 3.口訣：奇變偶不變,符號看象限（看原函數(shù),同時可把看成是銳角）. 4

6、.運用誘導公式轉(zhuǎn)化角的一般步驟： (1)負化正：當已知角為負角時,先利用負角的誘導公式把這個角的三角函數(shù)化為正角的三角函數(shù)值； (2)正化負：當已知角是大于的角時,可用的誘導公式把這個角的三角函數(shù)值化為主區(qū)間內(nèi)的三角函數(shù)值； (3)主化銳：當已知角是到內(nèi)的角時,可利用的誘導公式把這個角的三角函數(shù)值化為到內(nèi)的角. 二． 兩角和與差的三角函數(shù)公式 1. 兩角和與差的正弦公式：. 變形式：； 2.兩角和與差的余弦公式： 變形式：；； 3．兩角和與差的正切公式：. 變形式：. 注意：運用兩角和與差的三角函數(shù)公式的關鍵是熟記公式,我們不僅要記住公式,更重要的是抓住公式的特征,如角的

7、關系,次數(shù)關系,三角函數(shù)名等抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對提高記憶公式的效率起到至關重要的作用,而且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特征,有利于在解題時觀察分析題設和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)想到相應的公式,從而找到解題的切入點. 三．二倍角公式的正弦、余弦、正切 1.二倍角的正弦公式:； 二倍角的余弦公式:； 二倍角的正切公式: . 2. 降冪公式：；；. 3.升冪公式：;;. 注意：在二倍角公式中,兩個角的倍數(shù)關系,不僅限于2是的二倍,要熟悉多種形式的兩個角的倍數(shù)關系,同時還要注意三個角的內(nèi)在聯(lián)系的作用,是常用的三角變換. 【應試技巧點撥】 1. 利用誘導公式求值：給角求值的原

8、則和步驟 (1)原則：負化正、大化小、化到銳角為終了. (2)步驟：利用誘導公式可以把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為之間角的三角函數(shù),然后求值,其步驟為： 給值求值的原則:尋求所求角與已知角之間的聯(lián)系,通過相加或相減建立聯(lián)系,若出現(xiàn)的倍數(shù),則通過誘導公式建立兩者之間的聯(lián)系,然后求解. 常見的互余與互補關系 (1)常見的互余關系有：與；與；與等. (2)常見的互補關系有： 與;與等.遇到此類問題,不妨考慮兩個角的和,要善于利用角的變換的思想方法解決問題. 2.利用誘導公式化簡三角函數(shù)的原則和要求 (1)原則：遵循誘導公式先行的原則,即先用誘導公式化簡變形,達到角的統(tǒng)一,再進行三角

9、函數(shù)名稱轉(zhuǎn)化,以保證三角函數(shù)名稱最少. (2)要求：①化簡過程是恒等變形；②結(jié)果要求項數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,結(jié)構(gòu)盡可能簡單,能求值的要求出值. 2. 利用誘導公式證明三角恒等式的主要思路 (1)由繁到簡法：由較繁的一邊向簡單一邊化簡. (2)左右歸一法：使兩端化異為同,把左右式都化為第三個式子. (3)轉(zhuǎn)化化歸法：先將要證明的結(jié)論恒等變形,再證明. 提醒：由終邊相同的角的關系可知,在計算含有的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將的整數(shù)倍去掉后再進行運算,如. 4. 正、余弦三兄妹“、”的應用 與通過平方關系聯(lián)系到一起,即, 因此在解題中若發(fā)現(xiàn)題設條件有三者之一,就可以利用上述關系

10、求出或轉(zhuǎn)化為另外兩個. 5.如何利用“切弦互化”技巧 （1）弦化切：把正弦、余弦化成切得結(jié)構(gòu)形式,這樣減少了變量,統(tǒng)一為“切”得表達式,進行求值. 常見的結(jié)構(gòu)有: ① 的二次齊次式（如）的問題常采用“”代換法求解； ②的齊次分式（如）的問題常采用分式的基本性質(zhì)進行變形． （2）切化弦：利用公式,把式子中的切化成弦.一般單獨出現(xiàn)正切、余切的時候,采用此技巧. 6.三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路 基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu).即首先觀察角與角之間的關系,注意角的一些常用變式,角的變換是三角函數(shù)變換的核心.第二看函數(shù)名稱之間的關系,通常“切化弦”；第三觀察代數(shù)式的結(jié)

11、構(gòu)特點.基本的技巧有: （1）巧變角：已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如,,,,等. (2)三角函數(shù)名互化：切割化弦,弦的齊次結(jié)構(gòu)化成切. (3)公式變形使用：如 (4)三角函數(shù)次數(shù)的降升：降冪公式與升冪公式. (5)式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化. (6)常值變換主要指“1”的變換：等. （7）輔助角公式：(其中角所在的象限由的符號確定,的值由確定.在求最值、化簡時起著重要作用,這里只要掌握輔助角為特殊角的情況即可. 如等. 【考場經(jīng)驗分享】 1．在利用三角函數(shù)定義時,點可取終邊上任一點,如有可能則取終邊與單位圓的交點．一定是正值

12、． 2．同角三角函數(shù)關系及誘導公式要注意象限角對三角函數(shù)符號的影響,尤其是利用平方關系在求三角函數(shù)值時,進行開方時要根據(jù)角的象限或范圍判斷符號,正確取舍． 3．使用誘導公式時一定要注意三角函數(shù)值在各象限的符號,特別是在具體題目中出現(xiàn)類似kπ±α(k∈Z)的形式時,需要對k的取值進行分類討論,從而確定三角函數(shù)值的正負． 4.重視三角函數(shù)的“三變”： “三變”是“變角”,“ 變名”,“ 變式”；變角為：對角的拆分要盡可能化為同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等．在解決求值、化簡、證明問題時,一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明

13、)問題的整體形式中的差異,再選擇適當?shù)娜枪胶愕茸冃危? 4．兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式在學習時應注意以下幾點： （1）不僅對公式的正用逆用要熟悉,而且對公式的變形應用也要熟悉； （2）善于拆角、拼角 如,等； （3）注意倍角的相對性 （4）要時時注意角的范圍 （5）化簡要求 熟悉常用的方法與技巧,如切化弦,異名化同名,異角化同角等. 5．證明三角等式的思路和方法. （1）思路：利用三角公式進行化名,化角,改變運算結(jié)構(gòu),使等式兩邊化為同一形式. （2）證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證

14、法、分析法,利用函數(shù)的單調(diào)性,利用正、余弦函數(shù)的有界性,利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等. 6．解答三角高考題的策略. （1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運算間的差異,即進行所謂的“差異分析”. （2）尋找聯(lián)系：運用相關公式,找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系. （3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當?shù)墓?促使差異的轉(zhuǎn)化. 7．加強三角函數(shù)應用意識的訓練 由于考生對三角函數(shù)的概念認識膚淺,不能將以角為自變量的函數(shù)迅速與三角函數(shù)之間建立聯(lián)系,造成思維障礙,思路受阻.實際上,三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù),也是以實數(shù)為自變量的函數(shù),它產(chǎn)生于生產(chǎn)實踐,是客觀實際的抽象,同時又廣泛地應用于客觀實際,故應培養(yǎng)實踐第一的觀點.

15、總之,三角部分的考查保持了內(nèi)容穩(wěn)定,難度穩(wěn)定,題量穩(wěn)定,題型穩(wěn)定,考查的重點是三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象,三角函數(shù)的求值問題以及三角變換的方法. 8．變?yōu)橹骶€、抓好訓練 變是本章的主題,在三角變換考查中,角的變換,三角函數(shù)名的變換,三角函數(shù)次數(shù)的變換,三角函數(shù)式表達形式的變換等比比皆是,在訓練中,強化變意識是關鍵,但題目不可太難,較特殊技巧的題目不做,立足課本,掌握課本中常見問題的解法,把課本中習題進行歸類,并進行分析比較,尋找解題規(guī)律. 針對高考中題目看,還要強化變角訓練,經(jīng)常注意收集角間關系的觀察分析方法.另外如何把一個含有不同名或不同角的三角函數(shù)式化為只含有一個三角函數(shù)關系式的訓練

16、也要加強,這也是高考的重點.同時應掌握三角函數(shù)與二次函數(shù)相結(jié)合的題目. 　三角函數(shù)求值中要特別注意角的范圍,如根據(jù)求的值時,中的符號是根據(jù)角的范圍確定的,即當?shù)姆秶沟脮r,取正號,反之取負號．注意在運用同角三角函數(shù)關系時也有類似問題． 9.本熱點一般難度不大,屬于得全分的題目,一般放在選擇題與填空題的中間位置,但是因題目解法的靈活性造成在緊張的考試氛圍里面,容易一時的思路堵塞,需冷靜處理,如果一時想不到化簡的方向,可暫且放一放,不要鉆牛角尖,否則可能造成心理負擔,情緒受到影響,因新課標高考對這個熱點考查難度已經(jīng)降低,學生應有必勝的信心. 【名題精選練兵篇】 1．【20xx屆江西師大附中

17、、鷹潭一中高三下第一次聯(lián)考】式子的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】, 當且僅當,即時,等號成立.故C正確. 2．【20xx屆江西省高安中學等九校高三下學期聯(lián)考】在中,內(nèi)角所對的邊分別為,若則（ ） A.成等差數(shù)列 B.成等比數(shù)列 C.成等差數(shù)列 D.成等比數(shù)列 【答案】B 【解析】, ,,由正弦定理可知,所以成等比數(shù)列,故選B. 3．【20xx屆廣東省肇慶市高三上期末】已知tanα=2,則=（ ） A． B．

18、 C． D． 【答案】A 【解析】∵tanα=2,則=sinαcosα===, 故選A． 4．【20xx屆廣東省佛山市高三上期末】已知tanx=,則sin2（+x）=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】tanx=,則sin2（+x）===+ =+=+=,故選D． 5．【20xx屆四川省成都七中高三下學期模擬】直線的傾斜角是,則的值是（ ） A．-3 B．-2 C． D．3 【答案】C 【解析】由于直線的傾斜角是,所以,因此 ,故選C 6．【20xx屆浙江省寧波市“十?！备呷?lián)考】函數(shù),的單調(diào)

19、遞增區(qū)間是 . 【答案】. 【解析】, 當時,,故令,∴單調(diào)遞增區(qū)間是,故填：． 7．【16屆浙江省寧波市“十校”高三聯(lián)考】已知,,且有,,則 . 【答案】. 【解析】,, ∴,故填：. 8．【20xx屆江蘇省蘇中三市高三第二次調(diào)研】若存在,使得,則實數(shù)的取值范圍是 ． 【答案】 【解析】令,當時,． 當時,由得,故, 即存在,使得成立, 利用導數(shù)知識可得為上的單調(diào)增函數(shù),所以, 為上的單調(diào)減函數(shù),所以,從而． 9．【20xx屆福建省廈門第一中學高三下模擬】的三個內(nèi)角的對邊分別為,若,,則的取值范圍是 .

20、 【答案】 10．【20xx屆甘肅省河西五市部分普通高中高三第一次聯(lián)考】已知,則的值為 【答案】. 【解析】,故填：. 11．【20xx屆湖北省襄陽市高三上學期期末】若tanα=2tan,則= ． 【答案】 【解析】：∵tanα=2tan,則=== === ====, 故答案為：． 12. 【20xx屆新高考單科綜合調(diào)研卷（浙江卷）】若,是第三象限的角,則 （ ） A． B． C． D． 【答案】B. 【解析】由題意,因為是第三象限的角,所以, 因此

21、. 13. 【惠安一中、養(yǎng)正中學、安溪一中20xx屆高三上學期聯(lián)合考試】已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的非負半軸重合,終邊上一點,則 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D. 【解析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義,,,. 14. 【宿遷市20xx屆高三年級摸底考試】若,則的值是 ． 【答案】. 【解析】. 15. 【浙江省效實中學20xx屆高三上學期期末考試】化簡： A． B． C． D． 【答案】D 【解析】,答案D. 16. 【拉

22、薩中學高三年級（20xx屆）第三次月考試卷】若, ,則=（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D. 17. 若,,,則 A． B． C． D． 【答案】C. 【解析】因為,,所以,且；又因為,且,所以,且．又因為,所以 ．故應選C. 18. 【北京101中學20xx—20xx學年度高三第一學期期中模擬】在中,若 . 【答案】2 【解析】因為,所以 【名師原創(chuàng)測試篇】 1. 若銳角滿足,則的值為（ ） A.

23、 B. C. D. 【答案】A 2. 已知,則____． 【答案】2 【解析】由已知得,所以． 3. 已知第三象限角的終邊經(jīng)過點,則( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題可得,因為角是第三象限角,所以,根據(jù)三角函數(shù)的概念可得,故選C. 4. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出結(jié)果的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B． 【解析】由程序框圖可知. 5.在中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知,則角______________. 【答案】 【解析】, , 兩式相減得, 由正弦定理得 .