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第五章 曲線運(yùn)動(dòng) 章末整合提升 突破一　運(yùn)動(dòng)的合成與分解 1.運(yùn)算法則 利用平行四邊形定則或三角形定則，把曲線運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)，然后運(yùn)用直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解，合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)之間具有等效性、獨(dú)立性和等時(shí)性等特點(diǎn)。 2.小船渡河模型 (1)船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)：是水流的運(yùn)動(dòng)和船相對(duì)靜水的運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。 (2)三種速度：船在靜水中的速度v船、水的流速v水、船的實(shí)際速度v。 (3)三種情況 情況 圖示 說(shuō)明 渡河時(shí)間最短 當(dāng)船頭垂直河岸時(shí)，渡河時(shí)間最短，最短時(shí)間tmin＝ 渡河位移最短 當(dāng)v水＜v船時(shí)，如果滿足v水－v船cos θ＝0，渡河位移最短，xmin＝d 當(dāng)v水＞v船時(shí)，如果船頭方向(即v船方向)與合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移為xmin＝ 【例1】 有一只小船正在過(guò)河，河寬d＝300 m，小船在靜水中的速度v1＝3 m/s，水的流速v2＝1 m/s。小船在下列條件過(guò)河時(shí)，求過(guò)河的時(shí)間。 (1)以最短的時(shí)間過(guò)河； (2)以最短的位移過(guò)河。 解析　(1)當(dāng)小船的船頭方向垂直于河岸時(shí)，即船在靜水中的速度v1的方向垂直于河岸時(shí)，過(guò)河時(shí)間最短，則最短時(shí)間tmin＝＝ s＝100 s。 (2)因?yàn)関1＝3 m/s>v2＝1 m/s，所以當(dāng)小船的合速度方向垂直于河岸時(shí)，過(guò)河位移最短。此時(shí)合速度方向如圖所示，則過(guò)河時(shí)間t＝＝≈106.1 s。 答案　(1)100 s　(2)106.1 s 3.關(guān)聯(lián)物體速度的分解 解決“關(guān)聯(lián)”速度問(wèn)題的關(guān)鍵在于： (1)明確要分解速度的物體：該物體速度方向與繩(桿)速度方向有夾角。 (2)明確要分解的速度：物體的實(shí)際速度為合速度。 (3)明確要分解的方向：①沿著繩子(桿)伸長(zhǎng)的方向分解。②沿著垂直繩子(桿)方向分解。 【例2】 如圖1所示，當(dāng)小車(chē)A以恒定的速度v向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)于B物體，下列說(shuō)法正確的是(　　) 圖1 A.勻加速上升 B.勻速上升 C.B物體受到的拉力大于B物體受到的重力 D.B物體受到的拉力等于B物體受到的重力 解析　將小車(chē)的速度分解，如圖所示，合速度v沿繩方向的分速度等于物體B的速度vB，所以vB＝vcos θ，隨著小車(chē)的運(yùn)動(dòng)，θ變小，速度vB增大，但速度vB增大不均勻，B物體做變加速運(yùn)動(dòng)；由牛頓第二定律知，B物體受到的拉力大于B物體受到的重力。 答案　C 突破二　平拋運(yùn)動(dòng) 1.平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律 平拋運(yùn)動(dòng)是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，其規(guī)律如下表 水平方向 vx＝v0　x＝v0t 豎直方向 vy＝gt，y＝gt2 合速度 大小 v＝＝ 方向 與水平方向的夾角tan α＝＝ 合位移 大小 s＝ 方向 與水平方向的夾角tan θ＝＝ 2.解決平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的三個(gè)常用方法 (1)利用平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間特點(diǎn)解題： 平拋運(yùn)動(dòng)可分解成水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)，只要拋出的時(shí)間相同，下落的高度和豎直分速度就相同。 (2)利用平拋運(yùn)動(dòng)的偏轉(zhuǎn)角度解題 設(shè)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)下落高度為h時(shí)，水平位移為x，速度vA與初速度v0的夾角為θ，則由圖2可得 圖2 tan θ＝＝＝＝① 將vA反向延長(zhǎng)與水平線相交于O點(diǎn)，設(shè)A′O＝d，則有 tan θ＝＝，代入①式解得d＝x tan θ＝，tan α＝＝，所以tan θ＝2tan α② ①②兩式揭示了偏轉(zhuǎn)角和其他各物理量的關(guān)系，是平拋運(yùn)動(dòng)的一個(gè)規(guī)律，運(yùn)用這個(gè)規(guī)律能巧解平拋運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。 (3)利用平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡解題 平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條拋物線，已知拋物線上任一段的運(yùn)動(dòng)情況，就可求出水平初速度，其他物理量也就迎刃而解 了。設(shè)圖3為某小球做平拋運(yùn)動(dòng)的一段軌跡，在軌跡上任取兩點(diǎn)A和B，分別過(guò)A點(diǎn)作豎直線和過(guò)B點(diǎn)作水平線相交于C點(diǎn)，然后過(guò)BC的中點(diǎn)D作垂線交軌跡于E點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)再作水平線交AC于F點(diǎn)，由于小球經(jīng)過(guò)AE和EB的時(shí)間相等，設(shè)為單位時(shí)間T，則有T＝＝，v0＝＝ 。 圖3 【例3】 (2018嘉興市高一期末)如圖4所示，某校組織同學(xué)玩投球游戲。小球(視作質(zhì)點(diǎn))運(yùn)動(dòng)過(guò)程不計(jì)空氣阻力。已知sin 37＝0.6，cos 37＝0.8，g取10 m/s2。 圖4 (1)假設(shè)小明同學(xué)將球以va＝3 m/s的速度水平拋出，小球拋出時(shí)距離地面的高度為ha＝0.8 m，求小球落地時(shí)的速度v； (2)裁判老師要求小明把球投到距小球拋出點(diǎn)水平距離為x＝4 m外，則小球拋出時(shí)的初速度vb至少應(yīng)多大？ 解析　(1)小球做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，則有： v＝2gha。得：vy＝4 m/s 則小球落地時(shí)的速度為：v＝＝ m/s＝5 m/s 落地速度與水平方向夾角為α，則有：sin α＝＝ 即：α＝53 (2)由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有： ha＝gt2 x＝vbt 聯(lián)立得：vb＝x＝4 m/s＝10 m/s 答案　(1)5 m/s，方向與水平方向夾角為53斜向下 (2)10 m/s 【例4】 小球做平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖5所示，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，y1＝15 cm，y2＝25 cm，＝10 cm，D為BC的中點(diǎn)，ED⊥BC，EF⊥AC。求小球拋出點(diǎn)的坐標(biāo)和初速度的大小。(取g＝10 m/s2) 圖5 解析　由題意可知，小球經(jīng)過(guò)AE段、EB段的時(shí)間相等，由豎直方向勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律得，y2－y1＝gt2，代入數(shù)據(jù)得，t＝0.1 s。 小球經(jīng)E點(diǎn)時(shí)的豎直方向速度vEy＝＝2 m/s， 小球的水平初速度v0＝＝1 m/s 小球由拋出到E點(diǎn)的時(shí)間tE＝＝0.2 s 小球由拋出到A點(diǎn)的時(shí)間tA＝tE－0.1 s＝0.1 s 小球拋出點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0＝－v0tA＝－0.1 m， 縱坐標(biāo)y0＝－gt＝－0.05 m。 答案　(－0.1 m，－0.05 m)　1 m/s 突破三　解決圓周運(yùn)動(dòng)的基本方法 1.分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，明確圓周軌道在怎樣的一個(gè)平面內(nèi)，確定圓心在何處，半徑是多大。 2.分析物體的受力情況，弄清向心力的來(lái)源。跟運(yùn)用牛頓第二定律解直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題一樣，解圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，也要先選擇研究對(duì)象，然后進(jìn)行受力分析，畫(huà)出受力示意圖。 3.由牛頓第二定律F＝ma列方程求解相應(yīng)問(wèn)題，其中F是指向圓心方向的合外力(向心力)，a是指向心加速度，即a＝或a＝ω2r或a＝。 【例5】 (2016浙江第二次大聯(lián)考)如圖6所示為一種叫作“魔盤(pán)”的娛樂(lè)設(shè)施，當(dāng)“魔盤(pán)”轉(zhuǎn)動(dòng)得很慢時(shí)，人會(huì)隨著“魔盤(pán)”一起轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)“魔盤(pán)”轉(zhuǎn)動(dòng)到一定速度時(shí)，人會(huì)“貼”在“魔盤(pán)”豎直壁上，而不會(huì)滑下。若“魔盤(pán)”半徑為r，人與“魔盤(pán)”豎直壁間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，在人“貼”在“魔盤(pán)”豎直壁上隨“魔盤(pán)”一起轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，重力加速度為g，下列說(shuō)法中正確的是(　　) 圖6 A.人受重力、彈力、摩擦力和向心力作用 B.如果轉(zhuǎn)速變大，人與器壁之間的摩擦力變大 C.如果轉(zhuǎn)速變大，人與器壁之間的彈力不變 D.“魔盤(pán)”的轉(zhuǎn)速一定大于 解析　向心力不是一種性質(zhì)力，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；在轉(zhuǎn)速增大時(shí)，雖然向心力增大，彈力增大，但是摩擦力始終等于重力，故選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤；根據(jù)彈力提供向心力，設(shè)最小彈力為N，由μN(yùn)＝mg，N＝mω2r，ω＝2πn，得最小轉(zhuǎn)速n＝，故選項(xiàng)D正確。 答案　D 突破四　圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題 1.臨界狀態(tài)：當(dāng)物體從某種特性變化為另一種特性時(shí)發(fā)生質(zhì)的飛躍的轉(zhuǎn)折狀態(tài)，通常叫做臨界狀態(tài)，出現(xiàn)臨界狀態(tài)時(shí)，既可理解為“恰好出現(xiàn)”，也可理解為“恰好不出現(xiàn)”。 2.輕繩類(lèi)：輕繩拴球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，臨界速度為v＝，此時(shí)F繩＝0。 3.輕桿類(lèi) (1)小球能過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件：v＝0； (2)當(dāng)0時(shí)，F(xiàn)為拉力。 4.汽車(chē)過(guò)拱橋：如圖7所示，當(dāng)壓力為零時(shí)，即mg＝m，v＝，這個(gè)速度是汽車(chē)能正常過(guò)拱橋的臨界速度。v<是汽車(chē)安全過(guò)拱橋的條件。 圖7 5.摩擦力提供向心力：如圖8所示，物體隨著水平圓盤(pán)一起轉(zhuǎn)動(dòng)，汽車(chē)在水平路面上轉(zhuǎn)彎，它們做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力等于靜摩擦力，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大時(shí)，物體運(yùn)動(dòng)速度也達(dá)到最大，由Fm＝m得vm＝，這就是物體以半徑r做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界速度。 圖8 【例6】 如圖9所示，細(xì)繩的一端系著質(zhì)量為M＝2 kg的物體，靜止在水平圓盤(pán)上，另一端通過(guò)光滑的小孔吊著質(zhì)量為m＝0.5 kg的物體，M的中心點(diǎn)與圓孔的距離為0.5 m，并已知M與圓盤(pán)的最大靜摩擦力為4 N，現(xiàn)使此圓盤(pán)繞中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，求角速度ω在什么范圍內(nèi)可使m處于靜止?fàn)顟B(tài)？(g取10 m/s2) 圖9 解析　當(dāng)ω取較小值ω1時(shí)，M有向O點(diǎn)滑動(dòng)趨勢(shì)，此時(shí)M所受靜摩擦力背離圓心O， 對(duì)M有：mg－Ffmax＝Mωr， 代入數(shù)據(jù)得：ω1＝1 rad/s。 當(dāng)ω取較大值ω2時(shí)，M有背離O點(diǎn)滑動(dòng)趨勢(shì)， 此時(shí)M所受靜摩擦力指向圓心O，對(duì)M有： mg＋Ffmax＝Mωr 代入數(shù)據(jù)得：ω2＝3 rad/s 所以角速度的取值范圍是：1 rad/s≤ω≤3 rad/s。 答案　1 rad/s≤ω≤3 rad/s 【例7】 如圖10所示，AB為半徑為R的金屬導(dǎo)軌(導(dǎo)軌厚度不計(jì))，a、b為分別沿導(dǎo)軌上、下兩表面做圓周運(yùn)動(dòng)的小球(可看做質(zhì)點(diǎn))，要使小球不脫離導(dǎo)軌， 重力加速度為g，則a、b在導(dǎo)軌最高點(diǎn)的速度va、vb應(yīng)滿足什么條件？ 圖10 解析　對(duì)a球在最高點(diǎn)，由牛頓第二定律得： mag－FNa＝ma① 要使a球不脫離軌道，則FNa≥0② 由①②得：va≤ 對(duì)b球在最高點(diǎn)，由牛頓第二定律得： mbg＋FNb＝mb③ 要使b球不脫離軌道， 則FNb≥0④ 由③④得：vb≥。 答案　見(jiàn)解析