2、＝1對稱，且當(dāng)x≥1時，f(x)＝2x－x，則有( )
A．f ＜ f ＜ f
B．f ＜ f ＜ f
C．f ＜ f ＜ f
D．f ＜ f ＜ f
解析：當(dāng)x≥1時，f′(x)＝2xln 2－1≥2ln 2－1＝ln 4－1＞0，故函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，得f＝f＝f，f＝f＝f，因為＜＜，所以f＜f＜f.正確選項為B.
答案：B
3． 函數(shù)f(x)＝(x2－2x)ex的最小值為f(x0)，則x0＝________.
解析： f′(x)＝(2x－2)ex＋(x2－2x)ex＝
3、(x2－2)ex，令f′(x)＝0，得x＝±.當(dāng)x∈(－，)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(，＋∞)時，f′(x)>0.所以當(dāng)x＝時，函數(shù)有最小值．
答案：
4． (2013·南寧聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍是________．
解析：f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，顯然a＞0，f′(x)＝3(x＋)(x－)，由已知條件0＜＜1，解得0＜a＜1.
答案：(0,1)
1．(2012·浙江卷)設(shè)a>0，b>0，( )
A．若2a＋2a＝2b＋3b，則a>b
B．若2a＋2a＝2b＋3b，則a
4、若2a－2a＝2b－3b，則a>b
D．若2a－2a＝2b－3b，則a2b＋2b.構(gòu)造函數(shù)：f(x)＝2x＋2x，則f′(x)＝2x·ln 2＋2>0恒成立，故有函數(shù)f(x)＝2x＋2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，即a>b成立．其余選項用同樣方法排除．故選A.
答案：A
2．(2013·廣東卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－kx2(其中k∈R)．
(1) 當(dāng)k＝1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2) 當(dāng)k∈時，求函數(shù)f(x)在[0，k]上的最大值M.
解析：(1) 當(dāng)k＝1時，f(x)＝(x－1)
5、ex－x2，
f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝xex－2x＝x(ex－2)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln 2，
當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
＋[來源:學(xué)§科§網(wǎng)]
0
－[來源:]
0
＋
f(x)
極大值
極小值
上表可知，函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為(0，ln 2)，遞增區(qū)間為(－∞，0)，(ln 2，＋∞)．
(2)f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝xex－2kx＝x(ex－2k)，令f′(x)＝0，得x
6、1＝0，x2＝ln (2k)，
令g(k)＝ln (2k)－k，則g′(k)＝－1＝＞0，所以g(k)在上遞增，
所以g(k)≤ln 2－1＝ln 2－ln e＜0，從而ln (2k)＜k，所以ln (2k)∈[0，k]，
所以當(dāng)x∈(0，ln (2k))時，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(ln (2k)，＋∞)時，f′(x)＞0；
所以M＝max{f(0)，f(k)}＝max{－1，(k－1)ek－k3}，
令h(k)＝(k－1)ek－k3＋1，則h′(k)＝k(ek－3k)，令φ(k)＝ek－3k，則φ′(k)＝ek－3＜e－3＜0，
所以φ(k)在上遞減，而φ ·φ(1)＝·(e－3
7、)＜0，
所以存在x0∈使得φ(x0)＝0，且當(dāng)k∈時，φ(k)＞0，當(dāng)k∈(x0,1)時，φ(k)＜0，
所以φ(k)在上單調(diào)遞增，在(x0,1)上單調(diào)遞減．
因為h＝－＋＞0，h(1)＝0，所以h(k)≥0在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時取得“＝”．
綜上，函數(shù)f(x)在[0，k]上的最大值M＝(k－1)ek－k3.[來源:]
答案：見解析
1．(2012·廣東金山一中等三?？记皽y試)函數(shù)y＝在區(qū)間(0,1)上( )
A．是減函數(shù) B．是增函數(shù)
C．有極小值 D．有極大值
解析：∵f′(
8、x)＝，當(dāng)x∈(0,1)和x∈(1，e)時，f′(x)<0；當(dāng)x＝e時，f′(x)＝0；當(dāng)x∈(e，＋∞)時，f′(x)>0.∴在區(qū)間(0,1)上，f(x)是減函數(shù)，當(dāng)x＝e時，f(x)有極小值f(e)＝e. 故選A.
答案：A
2．(2013·揭陽一模)已知函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，函數(shù)g(x)的圖象在點(1，g(1))處的切線平行于x軸．
(1)確定a與b的關(guān)系；
(2)試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性；
(3)證明：對任意n∈N*，都有 成立．
解析：(1)依題意得g(x)＝ln x＋ax2＋
9、bx，[來源:]
則g′(x)＝＋2ax＋b，
由函數(shù)g(x)的圖象在點(1，g(1))處的切線平行于x軸得：g′(1)＝1＋2a＋b＝0，
∴ b＝－2a－1.
(2)由(1)得g′(x)＝＝，
∵函數(shù)g(x)的定義域為(0，＋∞)，
∴①當(dāng)a≤0時，2ax－1＜0在(0，＋∞)上恒成立，
由g′(x)＞0得0＜x＜1，由g′(x)＜0得x＞1，
即函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)單調(diào)遞減；
②當(dāng)a＞0時，令g′(x)＝0得x＝1或x＝，
若＜1，即a＞時，由g′(x)＞0得x＞1或0＜x＜，由g′(x)＜0得＜x＜1，
即函數(shù)g(x)在，
10、(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；[來源:]
若＞1，即0 ＜a＜時，由g′(x)＞0得x＞或0＜x＜1，由g′(x)＜0得1＜x＜，
即函數(shù)g(x)在(0,1)，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
若＝1，即a＝時，在(0，＋∞)上恒有g(shù)′(x)≥0，
即函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
綜上得：當(dāng)a≤0時，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜a＜時，函數(shù)g(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＝時，函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞時，函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．
證明：(3)由(2)知當(dāng)a＝1時，函數(shù)g(x)＝ln x＋x2－3x在(1，＋∞)單調(diào)遞增，
∴l(xiāng)n x＋x2－3x≥g(1)＝－2，即ln x≥－x2＋3x－2＝－(x－1)(x－2)，[來源:
令x＝1＋，n∈N*，則ln＞－，[來源:]
∴l(xiāng)n ＋ln ＋ln ＋…＋ln＞－＋－＋－＋…＋－，[來源:]
∴l(xiāng)n ＞＋＋＋…＋
n
，
i = 1
即ln (1＋n)＞ ∑ .
[來源:]
答案：見解析
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