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考點規(guī)范練43　點與直線、兩條直線的位置關系 基礎鞏固組 1.直線2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置關系是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能確定 答案C 解析∵直線2x+y+m=0的斜率k1=-2,直線x+2y+n=0的斜率k2=-12,∴k1≠k2,且k1k2≠-1.故選C. 2.過點(1,2)且垂直于直線2x+y-5=0的直線方程為(　　) A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0 答案C 解析直線2x+y-5=0的斜率為-2,所以所求直線的斜率為12,又直線過點(1,2),所以所求直線方程為x-2y+3=0. 3.已知直線2x+(m+1)y+4=0與直線mx+3y-2=0平行,則m=(　　) A.2 B.-3 C.2或-3 D.-2或-3 答案C 解析直線2x+(m+1)y+4=0與直線mx+3y-2=0平行,則有2m=m+13≠4-2,故m=2或-3.故選C. 4.已知直線ax+4y-2=0與2x-5y+b=0互相垂直,垂足為(1,c),則a+b+c的值為(　　) A.-4 B.20 C.0 D.24 答案A 解析由兩直線垂直得-a425=-1,∴a=10,將垂足坐標代入ax+4y-2=0,得c=-2,再代入2x-5y+b=0,得b=-12, ∴a+b+c=-4. 5.若直線l1:y=k(x-4)與直線l2關于點(2,1)對稱,則直線l2經(jīng)過定點(　　) A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2) 答案B 解析∵直線l1:y=k(x-4)經(jīng)過定點(4,0),其關于點(2,1)對稱的點為(0,2),又直線l1:y=k(x-4)與直線l2關于點(2,1)對稱,∴直線l2經(jīng)過定點(0,2). 6.設直線l1:(a+1)x+3y+2=0,直線l2:x+2y+1=0,若l1∥l2,則a=　　　,若l1⊥l2,則a=　　　. 答案12　-7 解析直線l1:(a+1)x+3y+2=0,直線l2:x+2y+1=0,分別化為y=-a+13x-23,y=-12x-12. 若l1∥l2,則-a+13=-12,解得a=12. 若l1⊥l2,則-a+13-12=-1,解得a=-7. 7.點P(2,1)到直線l:mx-y-3=0(m∈R)的最大距離是　　　　　. 答案25 解析直線l經(jīng)過定點Q(0,-3),如圖所示. 由圖知,當PQ⊥l時,點P(2,1)到直線l的距離取得最大值|PQ|=(2-0)2+(1+3)2=25, 所以點P(2,1)到直線l的最大距離為25. 8.若三條直線y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0相交于同一點,則m的值為　　　　　. 答案-9 解析由y=2x,x+y=3,得x=1,y=2. 從而可知點(1,2)滿足方程mx+2y+5=0, 即m1+22+5=0,m=-9. 能力提升組 9.已知a,b都是正實數(shù),且直線2x-(b-3)y+6=0與直線bx+ay-5=0互相垂直,則2a+3b的最小值為(　　) A.12 B.10 C.8 D.25 答案D 解析∵a,b都是正實數(shù),且直線2x-(b-3)y+6=0與直線bx+ay-5=0互相垂直,∴2b-(b-3)a=0,變形可得3a+2b=ab,兩邊同除以ab可得2a+3b=1, ∵a,b都是正實數(shù),∴2a+3b=(2a+3b)2a+3b=13+6ba+6ab≥13+26ba6ab=25, 當且僅當6ba=6ab,即a=b=5時,上式取到最小值25, 故選D. 10.已知直線l1過點(-2,0)且傾斜角為30,直線l2過點(2,0)且與直線l1垂直,則直線l1與直線l2的交點坐標為(　　) A.(3,3) B.(2,3) C.(1,3) D.1,32 答案C 解析直線l1的斜率為k1=tan30=33,因為直線l2與直線l1垂直,所以k2=-1k1=-3,所以直線l1的方程為y=33(x+2),直線l2的方程為y=-3(x-2).兩式聯(lián)立,解得x=1,y=3,即直線l1與直線l2的交點坐標為(1,3).故選C. 11.若在平面直角坐標系內(nèi)過點P(1,3)且與原點的距離為d的直線有兩條,則d的取值范圍為(　　) A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(2,4) 答案B 解析設直線的方程為y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,原點到該直線的距離d=|3-k|k2+1,即(d2-1)k2+23k+d2-3=0,因為直線與原點的距離為d的直線有兩條,所以方程(d2-1)k2+23k+d2-3=0有兩個不相等的實數(shù)根,所以Δ=(23)2-4(d2-1)(d2-3)>0,化簡得d2(d2-4)<0,解得00),l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y-1=0,且l1與l2間的距離是7510. (1)求a的值; (2)能否找到一點P,使P同時滿足下列三個條件: ①點P在第一象限; ②點P到l1的距離是點P到l2的距離的12; ③點P到l1的距離與點P到l3的距離之比是2∶5. 若能,求點P的坐標;若不能,請說明理由. 解(1)因為直線l1:2x-y+a=0(a>0),直線l2的方程可化為2x-y-12=0,所以兩條平行直線l1與l2間的距離為d=a--1222+(-1)2=7510.所以a+125=7510,即a+12=72. 又a>0,所以a=3. (2)假設存在點P,設點P的坐標為(x0,y0). 若點P滿足條件②, 則點P在與l1,l2平行的直線l:2x-y+c=0上, 且|c-3|5=12c+125,即c=132或c=116, 所以直線l的方程為2x0-y0+132=0或2x0-y0+116=0; 若點P滿足條件③,由點到直線的距離公式, 有|2x0-y0+3|5=25|x0+y0-1|2, 即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|, 所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0; 由于點P在第一象限,所以3x0+2=0不可能. 聯(lián)立方程2x0-y0+132=0和x0-2y0+4=0, 解得x0=-3,y0=12(舍去); 聯(lián)立方程2x0-y0+116=0和x0-2y0+4=0, 解得x0=19,y0=3718. 所以存在點P19,3718同時滿足三個條件. 18.已知三角形的一個頂點A(4,-1),它的兩條角平分線所在直線的方程分別為l1:x-y-1=0和l2:x-1=0,求BC邊所在直線的方程. 解A不在這兩條角平分線上,因此l1,l2是另兩個角的角平分線.點A關于直線l1的對稱點A1,點A關于直線l2的對稱點A2均在邊BC所在直線l上. 設A1(x1,y1), 則有y1+1x1-41=-1,x1+42-y1-12-1=0, 解得x1=0,y1=3,∴A1(0,3). 同理設A2(x2,y2),易求得A2(-2,-1). ∴BC邊所在直線方程為2x-y+3=0.