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7.2 等差數列及其前n項和
最新考綱
考情考向分析
1.理解等差數列的概念．
2.掌握等差數列的通項公式與前n項和公式及其應用．
3.了解等差數列與一次函數的關系．
4.會用數列的等差關系解決實際問題.
以考查等差數列的通項、前n項和及性質為主，等差數列的證明也是考查的熱點．本節(jié)內容在高考中既可以以選擇題和填空題的形式進行考查，也可以以解答題的形式進行考查．解答題往往與等比數列、數列求和、不等式等問題綜合考查.
1．等差數列的定義
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示．
2．等差數列的通項公式
如果等差數列{an}的首項為a1，公差為d，那么它的通項公式是an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中項
由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列．這時，A叫做a與b的等差中項．
4．等差數列的常用性質
(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}為等差數列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差數列，公差為d，則{a2n}也是等差數列，公差為2d.
(4)若{an}，{bn}是等差數列，則{pan＋qbn}也是等差數列．
(5)若{an}是等差數列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數列．
(6)數列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…構成等差數列．
5．等差數列的前n項和公式
設等差數列{an}的公差為d，其前n項和Sn＝或Sn＝na1＋d.
6．等差數列的前n項和公式與函數的關系
Sn＝n2＋n.
數列{an}是等差數列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數)．
7．等差數列的前n項和的最值
在等差數列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值．
概念方法微思考
1．“a，A，b是等差數列”是“A＝”的什么條件？
提示 充要條件．
2．等差數列的前n項和Sn是項數n的二次函數嗎？
提示 不一定．當公差d＝0時，Sn＝na1，不是關于n的二次函數．
3．如何推導等差數列的前n項和公式？
提示 利用倒序相加法．
題組一 思考辨析
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“”)
(1)若一個數列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數，則這個數列是等差數列．( )
(2)等差數列{an}的單調性是由公差d決定的．( √ )
(3)等差數列的前n項和公式是常數項為0的二次函數．( )
(4)已知等差數列{an}的通項公式an＝3－2n，則它的公差為－2.( √ )
(5)數列{an}為等差數列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( √ )
(6)已知數列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數)，則數列{an}一定是等差數列．( √ )
題組二 教材改編
2．[P46A組T2]設數列{an}是等差數列，其前n項和為Sn，若a6＝2且S5＝30，則S8等于( )
A．31B．32C．33D．34
答案 B
解析 由已知可得
解得 ∴S8＝8a1＋d＝32.
3．[P39T5]在等差數列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝________.
答案 180
解析 由等差數列的性質，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
題組三 易錯自糾
4．一個等差數列的首項為，從第10項起開始比1大，則這個等差數列的公差d的取值范圍是( )
A．d> B．d<
C.
0，a7＋a10<0，則當n＝________時，{an}的前n項和最大．
答案 8
解析 因為數列{an}是等差數列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0，所以a8>0.又a7＋a10＝a8＋a9<0，所以a9<0.
故當n＝8時，其前n項和最大．
6．一物體從1960m的高空降落，如果第1秒降落4.90m，以后每秒比前一秒多降落9.80m，那么經過________秒落到地面．
答案 20
解析 設物體經過t秒降落到地面．物體在降落過程中，每一秒降落的距離構成首項為4.90，公差為9.80的等差數列．所以4.90t＋t(t－1)9.80＝1960，即4.90t2＝1960，解得t＝20.
題型一 等差數列基本量的運算
1．(2018全國Ⅰ)記Sn為等差數列{an}的前n項和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5等于( )
A．－12B．－10C．10D．12
答案 B
解析 設等差數列{an}的公差為d，由3S3＝S2＋S4，
得3＝2a1＋d＋4a1＋d，將a1＝2代入上式，解得d＝－3，
故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4(－3)＝－10.
故選B.
2．(2018湖州德清縣、長興縣、安吉縣期中)已知等差數列{an}的公差為d，前n項的和為Sn，若a4＝4，a2＋a8＝10，則d＝________，an＝________.
答案 1 n
解析 由題意得a2＋a8＝2a5＝10，所以a5＝5，則等差數列{an}的公差d＝a5－a4＝5－4＝1，an＝a4＋(n－4)d＝n.
思維升華 (1)等差數列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個就能求出另外兩個．
(2)確定等差數列的關鍵是求出兩個最基本的量，即首項a1和公差d.
題型二 等差數列的判定與證明
例1在數列{an}中，a1＝2，an是1與anan＋1的等差中項．
(1)求證：數列是等差數列，并求的通項公式；
(2)求數列的前n項和Sn.
解 (1)∵an是1與anan＋1的等差中項，
∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝，
∴an＋1－1＝－1＝，
∴＝＝1＋，
∵＝1，
∴數列是首項為1，公差為1的等差數列，
∴＝1＋(n－1)＝n，∴an＝.
(2)由(1)得＝＝－，
∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝.
思維升華等差數列的四個判定方法
(1)定義法：證明對任意正整數n都有an＋1－an等于同一個常數．
(2)等差中項法：證明對任意正整數n都有2an＋1＝an＋an＋2.
(3)通項公式法：得出an＝pn＋q后，再根據定義判定數列{an}為等差數列．
(4)前n項和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定義法證明數列{an}為等差數列．
跟蹤訓練1(2018溫州市高考適應性測試)已知數列{an}的前n項積為Tn，且Tn＝1－an.
(1)證明：是等差數列；
(2)求數列的前n項和Sn.
(1)證明 由Tn＝1－an得，當n≥2時，Tn＝1－，
兩邊同時除以Tn，得－＝1.
∵T1＝1－a1＝a1，∴a1＝，＝＝2，
∴是首項為2，公差為1的等差數列．
(2)解 由(1)知＝n＋1，則Tn＝，從而an＝1－Tn＝，故＝n.
∴數列是首項為1，公差為1的等差數列，
∴Sn＝.
題型三 等差數列性質的應用
命題點1 等差數列項的性質
例2已知{an}為等差數列，a2＋a8＝18，則{an}的前9項和S9等于( )
A．9B．17C．72D．81
答案 D
解析 由等差數列的性質可得，a1＋a9＝a2＋a8＝18，則{an}的前9項和S9＝＝9＝81.故選D.
命題點2 等差數列前n項和的性質
例3(1)已知等差數列{an}的前n項和為Sn.若S5＝7，S10＝21，則S15等于( )
A．35B．42C．49D．63
答案 B
解析 在等差數列{an}中，
S5，S10－S5，S15－S10成等差數列，
即7,14，S15－21成等差數列，
所以7＋(S15－21)＝214，
解得S15＝42.
(2)(2018寧波模擬)若等差數列{an}的公差為d，前n項和為Sn，記bn＝，則( )
A．數列{bn}是等差數列，且公差為d
B．數列{bn}是等差數列，且公差為2d
C．數列{an＋bn}是等差數列，且公差為d
D．數列{an－bn}是等差數列，且公差為
答案 D
解析 由題意可得an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋d，則bn＝＝a1＋d＝a1－d＋dn是關于n的一次函數，則數列{bn}是公差為d的等差數列，故A，B錯誤；由an＋bn＝2a1－d＋dn是關于n的一次函數，得數列{an＋bn}是公差為d的等差數列，故C錯誤；又an－bn＝－d＋dn是關于n的一次函數，則數列{an－bn}是公差為d的等差數列，故D正確，故選D.
思維升華等差數列的性質
(1)項的性質：在等差數列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.
(2)和的性質：在等差數列{an}中，Sn為其前n項和，則
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S2n－1＝(2n－1)an.
跟蹤訓練2(1)已知等差數列{an}，a2＝2，a3＋a5＋a7＝15，則數列{an}的公差d等于( )
A．0B．1C．－1D．2
答案 B
解析 ∵a3＋a5＋a7＝3a5＝15，
∴a5＝5，∴a5－a2＝3＝3d，
可得d＝1，故選B.
(2)(2018金華模擬)設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S13>0，S14<0，則Sn取最大值時n的值為( )
A．6B．7C．8D．13
答案 B
解析 根據S13>0，S14<0，可以確定a1＋a13＝2a7>0，a1＋a14＝a7＋a8<0，所以可以得到a7>0，a8<0，所以Sn取最大值時n的值為7，故選B.
1．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S2＝3，S4＋S6＝31，則S8＋S10等于( )
A．91B．85C．78D．55
答案 A
解析 方法一 設{an}的公差為d，
則
即解得
故S8＋S10＝＋＝91.
方法二 因為{an}是等差數列，所以可設Sn＝an2＋bn，則
即解得a＝b＝，
故S8＋S10＝＋＝91.
2．(2018嘉興基礎測試)在等差數列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，則a3＋a4＋a5等于( )
A．45B．42C．21D．84
答案 A
解析 根據等差數列的性質，可得a1＋a2＋a3＝3a2＝21，∴a2＝7，設等差數列{an}的公差為d，又a1＝3，∴d＝4，∴a3＋a4＋a5＝3a4＝3a2＋6d＝21＋24＝45，故選A.
3．(2018溫州市適應性測試)已知數列{an}是公差不為0的等差數列，bn＝2an，數列{bn}的前n項和、前2n項和、前3n項和分別為A，B，C，則( )
A．A＋B＝C B．B2＝AC
C．(A＋B)－C＝B2 D．(B－A)2＝A(C－B)
答案 D
解析 令an＝n，則bn＝2n，設數列{bn}的前n項和為Sn，令A＝S1＝2，則B＝S2＝21＋22＝6，C＝S3＝21＋22＋23＝14，可以排除選項A，B，C，故選D.
4．程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩云“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏．次第每人多十七，要將第八數來言．務要分明依次弟，孝和休惹外人傳．”意為：996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第一個開始，以后每人依次多17斤，直到第八個孩子為止．分配時一定要等級分明，使孝順子女的美德外傳，則第八個孩子分得斤數為( )
A．65B．176C．183D．184
答案 D
解析 根據題意可得每個孩子所得棉花的斤數構成一個等差數列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.
由等差數列前n項和公式可得8a1＋17＝996，
解得a1＝65.
由等差數列通項公式得a8＝65＋(8－1)17＝184.
5．(2018浙江杭州二中期中)已知兩個等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn，且＝，則使得為整數的正整數n的個數是( )
A．5B．4C．3D．2
答案 B
解析 由等差數列前n項和性質知，＝＝＝＝6＋，故當n＝1,2,4,10時，為整數，故使得為整數的正整數n的個數是4，故選B.
6．在等差數列{an}中，若<－1，且它的前n項和Sn有最小值，則當Sn>0時，n的最小值為( )
A．14B．15C．16D．17
答案 C
解析 ∵數列{an}是等差數列，它的前n項和Sn有最小值，
∴公差d>0，首項a1<0，{an}為遞增數列．
∵<－1，∴a8a9<0，a8＋a9>0，
由等差數列的性質知，
2a8＝a1＋a15<0，a8＋a9＝a1＋a16>0.
∵Sn＝，∴當Sn>0時，n的最小值為16.
7．(2018紹興教學質量調測)已知數列{an}中，a3＝3，an＋1＝an＋2，則a2＋a4＝________，an＝________.
答案 6 2n－3
解析 因為an＋1－an＝2，所以{an}為等差數列，所以公差d＝2，由a1＋2d＝3得a1＝－1，所以an＝－1＋(n－1)2＝2n－3，a2＋a4＝2a3＝6.
8．在等差數列{an}中，若a7＝，則sin2a1＋cosa1＋sin2a13＋cosa13＝________.
答案 0
解析 根據題意可得a1＋a13＝2a7＝π，
2a1＋2a13＝4a7＝2π，
所以有sin2a1＋cosa1＋sin2a13＋cosa13
＝sin2a1＋sin(2π－2a1)＋cosa1＋cos(π－a1)＝0.
9．(2018浙江省部分重點中學調研)設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S6>S7>S5，則使an>0的最大正整數n＝________，滿足SkSk＋1<0的正整數k＝________.
答案 6 12
解析 依題意得a6＝S6－S5>0，a7＝S7－S6<0，a6＋a7＝S7－S5>0，則使an>0的最大正整數n＝6，S11＝＝11a6>0，S12＝＝>0，S13＝＝13a7<0，所以S12S13<0，即滿足SkSk＋1<0的正整數k＝12.
10．已知數列{－}是公差為2的等差數列，且a1＝1，a3＝9，則an＝________.
答案 (n2－3n＋3)2
解析 數列{－}是公差為2的等差數列，
且a1＝1，a3＝9，
∴－＝(－1)＋2(n－1)，
－＝(－1)＋2，
∴3－＝(－1)＋2，∴a2＝1.
∴－＝2n－2，
∴＝2(n－1)－2＋2(n－2)－2＋…＋2－2＋1
＝2－2(n－1)＋1＝n2－3n＋3.
∴an＝(n2－3n＋3)2，n＝1時也成立．
∴an＝(n2－3n＋3)2.
11．已知數列{an}滿足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.
(1)證明：數列{bn}是等差數列；
(2)求數列{an}的通項公式．
(1)證明 ∵－
＝＝，
∴bn＋1－bn＝，∴{bn}是等差數列．
(2)解 由(1)及b1＝＝＝1.
知bn＝n＋，∴an－1＝，∴an＝.
12．(2018嘉興基礎測試)設數列{an}是公差不為零的等差數列，Sn為其前n項和，且滿足a＋a＝a＋a，S7＝7.
(1)求an和Sn；
(2)試求所有正整數m，使得為數列{an}中的項．
解 (1)設數列{an}的公差為d(d≠0)，∵S7＝＝7，
∴a4＝1.
又a＋a＝a＋a，即a－a＝a－a，
∴a4＋a2＝－(a3＋a5)＝－2a4，
因此有1＋a2＝－2，a2＝－3，∴2d＝4，∴d＝2，a1＝－5，
因此有an＝2n－7，Sn＝n2－6n.
(2)令＝＝2n－7，
令2m－3＝t，則m＝，n＝＋＋，易知僅當t＝1時，n為正整數，m為正整數，
因此可得m＝2時成立．
13．設等差數列{an}的公差為，前8項和為6π，記tan＝k，則數列的前7項和是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 等差數列{an}的公差d為，前8項和為6π，
可得8a1＋87＝6π，解得a1＝π，
tanantanan＋1＝－1
＝－1，
則數列{tanantanan＋1}的前7項和為(tana8－tana7＋tana7－tana6＋…＋tana2－tana1)－7
＝(tana8－tana1)－7＝－7
＝－7
＝－7
＝－7＝.故選C.
14．(2018寧波模擬)已知{an}，{bn}是公差分別為d1，d2的等差數列，且An＝an＋bn，Bn＝anbn，若A1＝1，A2＝3，則An＝________；若{Bn}為等差數列，則d1d2＝______.
答案 2n－1 0
解析 因為{an}，{bn}是公差分別為d1，d2的等差數列，所以{An}也為等差數列，所以An＝1＋(n－1)2＝2n－1，
Bn＝[a1＋(n－1)d1][b1＋(n－1)d2]
＝d1d2n2＋(a1d2＋b1d1－2d1d2)n＋(a1－d1)(b1－d2)，
因為{Bn}為等差數列，所以由等差數列的通項公式的特征可知d1d2＝0.
15．(2019紹興期中)已知數列{an}的奇數項依次構成公差為d1的等差數列，偶數項依次構成公差為d2的等差數列(其中d1，d2為整數)，且對任意n∈N*，都有ana2，即1＋d1>2，解得d1>1；又所以解得－1＋d1
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浙江專用2020版高考數學新增分大一輪復習
第七章
數列與數學歸納法
7.2
等差數列及其前n項和講義含解析
浙江
專用
2020
高考
數學
新增
一輪
復習
第七
數列
歸納法
等差數列
及其
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